1 Pendahuluan.
Dalam teori relativitas umum disebutkan bahwa tjahaja dibawah pengaruh medan gravitasi akan mengalami tiga matjam pengaruh. Pertama, bila diamati oleh pengamat jang djauh, pandjang gelombang tjahaja akan bertambah besar. Kedua, ketjepatan tjahaja akan diperlambat. Dan jang ketiga, arah lintasan tjahaja akan dibelokkan. Pengaruh jang ketiga inilah jang akan dibahas dalam tulisan ini.
Pulsar, jaitu benda² langit jang ditemukan oleh Hewish et al. (1968), diduga adalah bintang² neutron jang rapat massanja sanga ttinggi, jaitu dalam orde 10¹³ gram tiap cm³ atau lebih. Bintang² jang semampat ini akan menimbulkan medan gravitasi jang sangat kuat disekitar bintang² tersebut.
Maksud tulisan ini adalah untuk membahas bagaimanakah pengaruh medan gravitasi dari bintang² sematjam itu pada lintasan tjahaja atau photon jang bergerak disekitar bintang² tersebut.
2. Persamaan gerak tjahaja.
Atkinson (1965) mempostulatkan geometri ruang-waktu jang dinjatakan oleh metrik jang orthogonal, simetri sferis dan statis dalam bentuk jang sangat umum dimana sebagai titik pangkal koordinat diambil pada pusat bintang, jaitu
\[ds^{2} = -e\rho dr^{2} - e^{\sigma}r^{2} (d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}) + e^{\tau} c^{2}dt^{2}, \dots (1)\]
\(\rho\), \(\sigma\) dan \(\tau\) merupakan fungsi<sup>2</sup> jang hanja bergantung pada r. Karena geometri ruang-waktu mendjadi Euclidean ditempat jang djauh maka untuk r == \(\sim\) harga<sup>2</sup> \(\rho\), \(\sigma\) dan \(\tau\) adalah nol.
Dengan memetjahkan persamaan null geodesik, Atkinson (1965, pers. 10 dan 25) memperoleh persamaan gerak photon sbb.:
\[r^2 \frac{d\varphi}{dt} - h e^{\tau - \sigma},\] (2)
\[\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 = c^2 e^{\tau - \rho} \left[1 - \frac{h^2}{c^2} \frac{e^{\tau - \sigma}}{r^2}\right], \qquad (3)\]
dimana h adalah konstanta integrasi. Dalam persamaan ini diambil bidang \(0 - \frac{\pi}{2}\) sebagai bidang gerak photon. Dari kedua persamaan diatas dapat ditentukan persamaan lintasan dari photon:
\[\left(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\tau}\right)^2 - e^2 \sigma^{-\tau - \rho} \left| A - \frac{e^{\tau - \sigma}}{r^2} \right|, \tag{4}\]
dimana \(\Lambda = c^2/h^2\).
Dalam pengaruh medan gravitasi jang sangat kuat, defleksi dari gerak photon dapat sedemikian besarnja sehingga photon bergerak dalam orbit lingkaran. Dengan mengambil \(dr/dt = d^2r/dt^2 = 0\) sebagai sjarat photon jang bergerak dalam orbit lingkaran, \(\Delta t\)kinson (1965, pers. 33) mendapatkan
\[r\left(\tau'-\sigma'\right)=2\tag{5}\]
tebagai persamaan untuk radius orbit lingkaran photon (simbol dengan apossrop menundjukkan diferensiasi terhadap r).
3. Orbit lingkaran photon diluar dan didalam bintang.
Disekeliling sebuah bintang dengan massa M dimana tidak terdapat distribusi materi, geometri ruang-waktu dapat dinjatakan oleh metrik (lihat Mc Vittie, 1962, hal. 83).
\[ds^{2} = -\frac{1}{\left(1 - \frac{2m}{r}\right)} dr^{2} - r^{2}(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}) + \left(1 - \frac{2m}{r}\right) c^{2}dt^{2} .. (6)\]
dimana
\[m = \frac{GM}{c^2} \tag{7}\]
G adalah konstanta gravitasi. Ini disebut metrik Schwarzschild eksterior dan hanja berlaku diluar bintang dimana tak terdapat distribusi materi. Metrik ini diturunkan dengan memetjahkan persamaan medan gravitasi Einstein dimana diambil tensor energi momentumnja nol dan konstanta integrasi diambil sedemikian hingga sebagai aproksimasi pertamanja diperoleh persamaan gerak dalam medan gravitasi Newton jaitu \(d^2r/dt^2 = -GM/r^2\).
Dengan mengandaikan berlakunja metrik Schwarzschild cksterior rrraka dari pers. (5) diperoleh bahwa radius orbit lingkaror ro -. 3rrr (untuk bintang jang nrassanja sama dengan rnassa rnatahari ru - 4,434 knl). Karena rnctrik Schwarzschild eksterior hanja berlaku diluar bintangl nraka agar photon dapat bergerak dalam orbit lingkaran haruslah rr,...- r,,, dimana 11, ar,lalnh radius bintang.
Bilarnana dianggap bahwa rapat massa didalam bintang konstan, nraka geometri ruang-waktu didalam bintang jang nrassanju M dan radiusn.ja rr, dapat dinjatakan oleh rnetrik Schwarzsclrild intclior jrritu (lihat Chiu, 1965, hal. 9l),
\[ds^{2} = -\left(\frac{dr^{2}}{1 - r^{2}/R^{2}} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2}\theta d\phi^{2}\right) + \dots (8)\] \[+ \frac{1}{4} \left(3\sqrt{1 - r_{b}^{2}/R^{2}} - \sqrt{1 - r^{2}/R^{2}}\right)^{2} c^{2} dt^{2}\]
(llmanA
\[R^2 = r_b^3/2m\] , \(m = GM/c^2\) (9)
dan 0 < r { rs. Dari pcrs. (5) dapat dipcrolch b:rhrva rtrdirrs olbit lingkuian didalarrr bintang adalah :
\[r_{o} = \frac{r_{b}}{3} \left[ \frac{r_{b}}{m} \frac{4r_{b} - 9m}{r_{b} - 2m} \right]^{\frac{1}{2}}\] (10)
Agar photon dapat bergcrak dalam olbit lirrgkalan didalanr scbuuh bintang, harus dipenuhi bahwa r, { 15, atar"r (dcngan rncnggunakurt pcrs. l0) rarlitrs bintang r5 { 3m.
Pcrlu dikcmukakan disini bahwa dalanr hal bcrlakunja rnctrik Schwarzschild harus selalLr dipcnuhi bahwa raclius bin{.alrg r'1, )' 2nr. Ililanrana 16 ( 2nr maka akan ada daerah dimana landa ljrklor dari cll dirlanr mct rik (6) mcndjadi negatif, dan ini tidak menggambarkan gconrctri ruanu-walitLr jarrg riil (Landau dan Lifshitz, l95l , hal. 256). *) Dacrlh irr idrsc.hut clacrah "singularitas Schwarzschild".
4. Sjarat photon tertarik kemhali oleh mcdan gravitasi.
Medan gravitasi jang kuat disekitar sebuah bintang nrctnLrnskiukan photon jang dipantjarkan disekitar bintang tersebut dilengkurrgkiLn gcraknia hingga djatuh kenrbali kebintang. Synge ( 1966) menentukarr sjrrrati agrir photon bergerak djatuh kebintang dengan nrenggunal<arr nrctrik Schrvarzschild eksterior. Tjara Synge tersebut akan dibitjarakan disini dcrrgan mcngetrnakan bentuk metrik jang umum jaitu pers. (l).
*). l)alanr Landnu dan Lifshitz. (1951) untuli liomponcn') rnctrik digunrl<rrn trrncl:r , i I - , buli:utni,r I scpcrti rlitlitttr tulis:ur ini, djlcli f:tlitor dlLti dt djustru harus r.rcgatif.
Dari pers. (3) djelas bahwa untuk gerak suatu photon harus dipenuhi
\[A > \frac{e^{\tau - \sigma}}{r^2} \tag{11}\]
Beberapa sifat dari gerakan photon dapat dilihat dengan membuat diagram A terhadap r (Gambar 1). Bagi suatu photon harga A selalu konstan, maka gerak photon dalam diagram tersebut adalah lurus dalam arah horizontal.
Bilamana dalam diagram tersebut digambarkan kurva \(A=e^{\tau-\sigma}/r^2\) (kita sebut kurva C), maka berhubung dengan sjarat (11) titik² representasi photon dalam diagram tidak mungkin terletak dibawah kurva C. Daerah tersebut merupakan "daerah terlarang".
Misalkan kurva C mentjapai harga maksimum \(A = A_o\) pada \(r = r_o\). Dapat ditundjukkan bahwa \(r_o\) akan memenuhi pers. (5), djadi \(r_o\) tak lain adalah radius orbit lingkaran photon.
Misalkan photon dipantjarkan dari titik \(r=r_s\) dimana \(r_s < r_o\) dan photon bergerak kearah luar. Bilamana untuk photon tersebut \(A < A_o\), photon akan bergerak kekanan hingga bertemu dengan kurva C. Dan karena daerah disebelah kanan kurva C merupakan daerah terlarang, photon akan bergerak kembali djatuh kebintang. Tetapi bila \(A > A_o\), photon akan bergerak mentjapai tempat tak hingga.
Bilamana photon dipantjarkan dari titik \(r = r_s\) dimana \(r_s > r_o\) dan photon bergerak kearah luar, maka semua photon akan lepas ketempat tak terhingga.
Djadi sjarat agar photon tertarik djatuh kembali kebintang, photon harus dipantjarkan dari \(r_s < r_o\) dan harus dipenuhi,
\[A < A_0 \tag{12}\]
Bila \(A > A_o\) photon akan lepas dan bilamana \(A = A_o\) photon akan mentjapai radius \(r = r_o\) dan bergerak dalam orbit lingkaran. Orbit lingkaran ini tidak stabil, gangguan sedikit sadja akan menjebabkan photon bergerak spiral djatuh kembali kebintang atau lepas ketempat tak hingga.
5. Arti fisis A.
Harga A sebuah photon ditentukan oleh sudut arah pemantjarannja. Misalkan photon dipantjarkan dari \(r=r_s\) dengan sudut arah \(\psi\) terhadap arah normal. Untuk geometri ruang-waktu dinjatakan oleh metrik (1), sudut \(\psi\) didefinisikan memenuhi
\[\cot \psi = \frac{e^{\frac{1}{2}\rho}}{e^{\frac{1}{2}\sigma}} \frac{1}{r} \frac{dr}{d\psi} . \tag{13}\]
Dari pers. 2 (11) dan (13) maka ketidaksamaan (12) dapat dituliskan:
\[\sin^2 \psi > \frac{e^{\tau_s - \sigma_s}}{e^{\tau_o - \sigma_o}} \frac{r_o^2}{r_s^2}\] (14)
dimana \(r_s < r_o\) (indeks² s dan o pada \(\tau\) dan \(\sigma\) masing² berarti harga² fungsi \(\tau\) dan \(\sigma\) pada \(r_s\) dan \(r_o\)). Ini adalah sjarat agar photon djatuh kembali kebintang.
Sjarat ini dapat dituliskan,
\[\Psi > \Psi_{kr}\] (15)
dimana sudut \(\psi_{kr}\) didefinisikan sbb.:
\[\sin^2 \psi_{kr} = \frac{e^{\tau_s - \sigma_s}}{e^{\tau_o - \sigma_o}} \frac{r_o^2}{r_s^2}\] (16)
\(\psi_{kr}\) disebut sudut kritis. Djadi agar tertarik kembali kebintang photon harus dipantjarkan sedemikian hingga sudut arah pemantjaran terletak diluar suatu kerutjut batas dengan setengah sudut puntjak \(\psi_{kr}\). Bilamana \(\psi=\psi_{kr}\) photon akan bergerak dalam orbit lingkaran, sedangkan bilamana \(\psi<\psi_{kr}\) photon akan lepas. Dengan menggunakan metrik Schwarzschild eksterior, Synge (1966) memperoleh,
\[\sin^2 \psi_{kr} = \frac{27 \text{ m}^2 (r_s - 2m)}{r_s^3}\] (17)
Dapat dilihat, bila \(r_s \to 2m\), maka \(\psi_{kr} \to 0\), artinja hanja photon jang dipantjarkan dengan arah radial jang dapat lepas.
Tjara seperti diatas djuga dapat digunakan untuk menindjau apakah ada tjahaja jang dipantjarkan dari dalam bintang jang tidak dapat lepas keluar permukaan bintang tersebut. Jaffe (1970), dengan menganggap berlakunja metrik Schwarzschild interior untuk daerah didalam bintang, menundjukkan bila radius bintang \(r_b < 3m\) ada kerutjut batas dimana tjahaja jang dipantjarkan dengan arah didalamnja akan lepas keluar permukaan bintang, sedang jang dipantjarkan dengan arah diluarnja tidak mungkin lepas. Tetapi bila \(r_b > 3m\), semua tjahaja lepas.
6. Kesimpulan.
Dari uraian diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa bintang jang radiusnja terletak antara 2m dan 3m akan memiliki medan gravitasi jang sangat kuat jang mampu mengikat sebagian photon jang dipantjarkan dari dalam atau luar bintang. Photon tersebut akan bergerak dalam orbit lingkaran atau djatuh kembali kebintang.
Bilamana radius bintang mendekati harga 2m (djadi bintang hampir "masuk" dalam daerah singularitas Schwarzschild) maka hanja photon jang dipantjarkan dengan arah radial jang dapat lepas. Dengan demikian sebagian besar photon akan djatuh kembali kebintang dan bintang hampir tidak mungkin dilihat.
Untuk bintang jang massanja sama dengan massa matahari peristiwa penangkapan kembali photon tersebut hanja bisa terdjadi kalau rapat massa rata² bintang jaitu \(\bar{\rho}=3M/4\,\pi\,r_b{}^3\) lebih besar dari 5,4 \(\times\) 1015 gram per cm³. Ini adalah orde rapat massa bintang² neutron. Djadi mungkin sekali didalam
Galaksi kita ini terdapat banjak bintangx neutron jang tidak terlihat kareua tjahajanja tidak sampai pada kita. Apakah mcdan gravitasi disekitar pulsar tjukup kuat untuk menarik kembali sebagian tjahaja jang dipantjarkannja, ini belurn dapat ditest setjara observasi.
Tulisan ini merupakan scbagian dari tugas penulis guna melcngkapi sjarat2 untr.rk mentjapai tingkat sardjana astronomi. Tcrimakasih pcnulis uljapkan pada Drs. Jorga lbrahirn M.Sc. jang telah membimbing scrta membcrikan saranz dalam tugas ini. Djuga perrulis utjapkan terima kasih pada Dr. Tjia May On dan Dr. Bambang Hidajat jang telah berkenan rncmeriksa tulisan ini dcrrgan teliti.
DN FTAR BATJAAN:
Atkinsorr, R. d'E., 1965, Astron. J.,70, 517.
Chiu, H. Y., 1965, Neutrino Astrophysics (Gordon and Breach, New York).
Hcwislr, A., Bell, S.J., Pilkington, J.D.H., 1968, NatLrre, 217, 109.
Jnf le, J., 1970, Mon. Not. R. astr. Soc., 749, 395.
Landau, L., and Lifshitz, E., 1951, The Classical Theory of Fields (Addison-Weslcy Publishing Co., Reading, Mass.).
McVittic, G.C., 1962" Generzrl Relativity ernd Cosrnology (The Univcrsity of Illinois Prcss, Urberna)-
S),nge, J.L.,1966, Mon. Not. R. astr. Soc., 131, 463.