0.1. Produk Langsung Luar dari Grup.

Djika A dan B dua buah grup (tak perlu keduanja berlainan), maka prociui: I'lrtesisrrja jaitu kumpulan A t. B dapatdibangunrnendjadi sebualt grup dengan mendefinisikan suatu operasi jang sangat eviden didalamnja, jaitu sbb.:

\[(a, b) (c, d) = (ac, bd)\]

Grup jang terdjadi ini dinarnakan Produk Langsung Luar dari grup A clan B, dan dinjatal<an dcngan notasi : A ,l B L r

Grup ini isomorf dengan grup B -r A

Demikian pula untuk ,.aju*lon koleksi hingga grupe Gr, Gr, ...... G dapat didefinisikan dengatr djalan jang serupa, apa jang dinamakan produk langsung luarnja. Jaitu dari produk kartesisnja. Grupjang terdjadi dituliskarr sebagai:

\[G = \stackrel{\operatorname{nn}}{\underset{\mathrm{i}=\mathrm{i}}{\pi}} \times G_{1}\]

Walaupun grup jang terdjadi ber-beda' bila urutan faktorznja berbeda, rlamun kesemuanja isomorf. Kemudian hal ini bisa dilandjutkan santpai suatu koleksi tak-hingga jang masih terhitung.

Misalkan | : { Ct } suatu koleksi terhitung dari grup. (N adalah ktrmiEN pulan senrua bilangan aslil

Untuk tahap pertama kita rnisalkan sernuauja berbeda. Kita pandang sekalang kr,rr.r.rpulan G - G, x G2 x ...... x Ci .. ...... jang unsur2nja terdiri dari barisarnr:

\[\mathbf{x} = (\mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}, \mathbf{g}, \ldots)\] dengan \(\mathbf{g_i} \in \mathbf{G_i}\) untuk setiap i.

Kemudian kita delinisikan sebuah operasi dalam G sbb.:

bila \[x = (g_1, g_2, \dots)\] dan \(x' = (g'_1, g'_2, \dots)\) maka \(xx' = (g_1 g'_1, g_2 g'_2, \dots)\)

Maka G nrendjadi sebuah grup dan disebLrt produk langsung luar dari grup' G1, G2, .. serta dituliskan sebagai :

\[G = \underset{i \mid L_r}{\pi} \times G_i\]

S;dangkan rnasing: G1 disebut faktor langsung dari G.

Bila diantara faktor langsungnja terdapat grup jang sama, maka konsep ini akan lebih mudah diterangkan bila kita memakai pengertian kumpulan berindeks. Seperti diketahui definisi kumpulan berindeks adalah seperti dibawah ini.

Definisi 0.1.1: Sebuah kumpulan K dikatakan berindekskan kumpulan \(\bigwedge\) djika dapat didefinisikan suatu pemetaan

\[f: \wedge \rightarrow K\] jang surdjektif.

Sebagai tjontoh, sebuah barisan ialah suatu kumpulan jang berindekskan kumpulan N, jaitu kumpulan semua bilangan asli.

Selandjutnja misalkan \(\Gamma\) sebuah koleksi grup jang berindekskan N. Dalam hal ini maka \(\Gamma\) adalah sebuah barisan jang dapat dituliskan sbb.:

\[\Gamma = (G_1, G_2, G_3, \ldots, G_i, \ldots)\]

Dimana boleh terdjadi suku jang sama pada indeks jang berlainan. Maka unsur² dari produk langsung luarnja berbentuk:

\[(g_1,g_2,\ldots,g_i,\ldots)\] dengan \(g_i \to G_i\) untuk setiap i.

Dalam fatsal 2 akan diuraikan bagaimana kita membentuk produk kumpulan dari suatu koleksi sebarang dari grup, dan bagaimana membangunnja mendjadi sebuah grup jang disebut Produk Langsung Lengkap.

0.2. Produk Langsung Dalam dari subgrup.

Definisi 0.2.1 : Sebuah grup G disebut produk langsung dalam dari subgrup² \(G_{\alpha}\), dimana \(\Gamma=\{G_{\alpha}\}\) suatu koleksi subgrup dari G djika: (i) Untuk setiap \(\alpha\), subgrup \(G_{\alpha}\) invarian

(ii) \[G = \begin{bmatrix} U & G_{\alpha} \\ \alpha & \end{bmatrix}\]
(iii) \(G_{\alpha} \cap \begin{bmatrix} U & G_{\beta} \\ \beta_{\beta \neq \alpha} \end{bmatrix} = \{e\}\)

Ditulis dengan notasi:

\[G = \underset{\alpha}{\pi} \underset{\text{Dlm}}{\times} G_{\alpha}\]

Untuk suatu koleksi hingga dituliskan \(G = \frac{n}{n} \times G_i\)

Dan chusus untuk dua subgrup dituliskan \(G = A \times B\)

Teorema² jang terkenal mengenai Produk Langsung Dalam antara lain:

Teorema 0.2.1: Djika \[G = A \underset{Dim}{\times} B\] maka \(G/A = B\) dan \(G/B = A\)

Tcorcma 0.2.1.a: Djika G: I " G;, maka untuk setiap j berlaku: i' I Dl",

\[G_{j} \overset{\sim}{=} G / \underset{\substack{i = 1 \\ i \neq j}}{\overset{n-1}{\xrightarrow{}}} \times G_{i}\]

I. HUBUNGAN ANTARA PRODUK LANGSUNG LUAR DAN PRODUK LANGSUNG DALAM

Teorcma jang penting jang menjatakan hubungan antara produk langsung luar dan produk langsung dalam dari suatu koleksi subgrup suatu grup adalah tcorcr.na2 bcrikut.

Tcorema 1.1.: Djika {G;} sebuah kolcksi hingga dari subgrup' dari suatu grup G dan G - rc x G1, makaG]r x G r IDlm 'Lr

'Icorcma 1.2.: Djika {G1 } suatu koleksi hinggadari grup, dan G : r )2. Gi, I i-r maka untuk setiap i, teldapat subgrup G dari G schingga:

(i) \[G_i = \overline{G}_i\]
(ii) \(G = \pi \times \overline{G}_i\)

Untuk suatu koleksi jang takhingga kedua teorema tersebut tidak benar lagi, ketjuali bagian pertana dari teorerna 1.2. Namun masih ada hubungan antara rr X Gi dengan suatu subgrup dari r x G1, jang akan dibahas dalam iDlut il'' tirtsal 2.

2. PRODUK LANGSUNG LENGKAP DARI GRUP.

Misalkan f - {Ga} sebuah koleksi grup jang berindekskan suatu kumpulan ,\.Ini berarti bahwaterdapat suattt pemetaan g: ,\ -> F jang surdjcktif. Untuk mudahnja kita tuliskan g(q,) -. Ca untuk setiap a. Kcmudian kita perhatikan kulnpulan' berikut:

\[\begin{split} \bar{\Phi} &= \{f \mid f : \wedge \to \mathsf{U} \; \mathsf{G}\alpha\} \\ \Phi &= \{f \mid f \; \mathsf{E} \; \bar{\Phi} \;, \; f(\alpha) \; \mathsf{E} \; \mathsf{G}\alpha \; \text{untuk setiap } \alpha\} \\ \Phi &= \{f \mid f \; \mathsf{E} \; \Phi \;, \; f(\alpha) = \mathsf{e}_{\mathsf{G}_\alpha} \;, \; \text{ketjuali sedjumlah terhitung}\} \\ \Phi_{\mathsf{Lem}} &= \{f \mid f \; \mathsf{E} \; \Phi \;, \; f(\alpha) = \mathsf{e}_{\mathsf{G}_\alpha} \;, \; \text{ketjuali sedjumlah hingga}\} \end{split}\]

Kunrpulan O dinamakan produk kumpulan dari f jang berindekskan 1. Akan kita buat O mendjadi sebuah sistim aldjabar dengan rnendefinisikan suatu operasi o didalamnja, seperti berikut:

(f o g) (\[\alpha\]) = f(\(\alpha\)) . g (\(\alpha\)) untuk setiap \(\alpha\), dimana . menjatakan operasi dalam G\(\alpha\)

Mudah dilihat bahwa (O , o) rnembentuk sebuah grup, sebab:

• (i) o tertutup
• (ii) o asosiatip , sebab . asosiatip dalam tiap Gz
• (iii) pandang pemetaan e E tD jang bersifat e(cr) : e661 trntuk setiap a, maka e o x -- x untuk setiap x E O
• (iv) untuk setiap x E <D, pandanglah pemetaan x-r jang didef,inisikan sebacai berikut:

\[x^{-1}\left(\alpha\right)=[x\left(\alpha\right)]^{-1}\] , untuk setiap \(\alpha\) maka \(x^{-1}\) o \(x=e\)

Grup (tf , o) disebut produk langsrrng len-'Ikap dari grup Ga dalam koleksi Ijang berindekskan A dan dituliskan sebagai:

\[\Phi = \frac{\operatorname{Leng}}{\pi} G \alpha\] \[\alpha \mathsf{E} \ \wedge\]

'I'corcma 2.1.: ([)r..,,,, subgrup dari O dan tlr subgrup dari <Ir

tsukti: f ukup dibuktikan bahwa 4)r.",,, subgrupdari tll dan O subgrupdari rlr'

Misalkan x dan y darlam (I)1.",,,, lnilka x (a) : e63a tlfituk setiap a kctjuali sedjuntlah hingga, dan y 1x) =. €cy_ untuk setiap a ketjuali sedjurnlah hingga.

Djadi (x o y) (a) .= x(a). y (a") : a-cu. e<;t : cGx untuk setiap a ketjuali scdjtrrnlah hingga. Scdangkan x-l(a) : lx(r)l-l - (eccr)-1 - e<;v. r.rntuk sctiap a. ketjuali scdjunrlah hingga.

lni berarti bahwa xoy dan x- 1 dalam <p,.",,,. Djadi O1."- subgrup dari 4r.

Selandjutnja rnisalkan x dan y dalarn <Ir. Maka x(a") : €cr, ketjuali pada suatu A1 C ,\ jang terhitung. Dan y(a) =-- eGt, ketjuali pada [, C ,\ jong terhitung. Maka (xoy) (e)'= x("). y(a): e<;e. e6r4: €G4 ketjuali pada ,n,, U Ar. Dan {, U 7\,, terhitung. Djadi xoy dalarn <lr. Dernikian pula x-t (a-) .- (x(v"))-l " ";;: ece untuk setiap a ketjuali pada [t. Maka tcrbukti bahwa O subgrup dari <0.

([)r.",, discbut produk langsung lcmah atau produk langsung sadja dari Ge Dittrliskant

\[\Phi_{\mathrm{Lem}} = \stackrel{\mathrm{Lem}}{\pi} G_{\alpha}\]

Dalanr hal ,1 terlritung maka O ,-, (0. Dan dalatn hal ,\ Itingga rnaka (D .- :L tl)r..n,'

Teorema 2.2:Djika,O t,.'bo.. maka urttuk setiap e terdapat subgrup inaEA

varian (lr" dari <D jang isomorf dengan Go.

Bukti:

Pandang subkumpulan \(\Phi_{\alpha}\) dari \(\Phi\) jang berikut

\[\Phi \alpha = \{ f \setminus f \to \Phi, f(\xi) = E_G \xi, \text{ untuk } \xi \neq \alpha \}\]

Bila f dan g dalam \(\Phi_{\alpha}\), maka fog dan f^-1 djuga dalam \(\beta_{\alpha}\), sebab (fog) (\(\xi\)) = \(f(\xi)\). \(g(\xi) = e_G \xi\). \(e_G \xi = e_G \xi\), untuk \(\xi \neq \alpha\).

Djadi fog dalam Ф

Sedangkan f^-1 (\[\xi\]) = [f(\(\xi\))]^-1 = \(e_G^{-1}\xi\) = \(e_G\xi\), untuk \(\xi \neq \alpha\)

Djadi f^-1 djuga dalam \(\Phi_{\alpha}\). Maka \(\Phi_{\alpha}\) adalah sebuah subgrup dari \(\Phi\).

Kemudian akan dibuktikan bahwa \(\Phi_{\alpha}\) subgrup invarian dari \(\Phi\). Misalkan f E \(\Phi_{\alpha}\) dan h E \(\Phi\). Harus dibuktikan bahwa hofoh^-1 E \(\Phi_{\alpha}\). (hofoh^-1) \((\xi) = h(\xi)\). \((h(\xi))^{-1} = h(\xi)\). \(e_G \xi\). \((h(\xi))^{-1} = e_G \xi\), untuk \(\xi \neq \alpha\) Djadi \(\Phi_{\alpha}\) sebuah subgrup invarian dari \(\Phi\).

Achirnja akan dibuktikan bahwa \(\Phi_{\alpha} = G_{\alpha}\)

Untuk setiap x dalam \(G_{\alpha}\), terdapat f dalam \(\Phi_{\alpha}\) sehingga \(f(\alpha) = x\).

Kita njatakan pemetaan seperti ini dengan \(f_x\). Kemudian kita buat pemetaan \(\phi\colon G_\alpha \to \Phi_\alpha\) seperti berikut: \(\phi(x) = f_x\)

Tinggal diperiksa apakah \(\varphi\) suatu isomorfisma. Per-tama² \(\varphi(x.y) = f_{x.y}\)

Sedangkan \(\varphi(x)o \ \varphi(y) = f_x \ o \ f_y\)

Selandjutnja \(f_{x,y}\left(\xi\right)=e_{G\xi}\) , bila \(\xi\neq\alpha.\)

Adapun \[(f_x \circ f_y)(\alpha) = f_x(\alpha) \cdot f_y(\alpha) = x.y \text{ dan } f_{x.y}(\alpha) = x.y\]

Ini berarti bahwa \[\varphi(x.y) = f_{x.y} = f_x\] o \(f_y = \varphi(x)\) o \(\varphi(y)\)

Maka \(\phi\) adalah suatu homomorfisma. Disamping itu \(\phi\) suatu pemetaan jang bidjektif atau 1 — 1 pada, karena bila \(x \neq y\), maka \(\phi(x) = f_x \neq \phi(y) = f_y\), sedangkan untuk setiap \(f \to \Phi\) terdapat \(z \to G_\alpha\) sehingga \(\phi(z) = f\)

Teorema 2.3: Djika \(\Gamma = \{G_{\alpha}\}\) suatu koleksi sebarang dari subgrup² suatu grup G, dan \(G = \pi \times G_{\alpha}\), maka \(G \cong_{\alpha \in \Lambda}^{\text{Lem}} G_{\alpha}\), dimana \(\Lambda\) suatu

kumpulan jang kardinalnja sama dengan kardinal Γ.

Sengadja buktinja tak diberikan disini.

Achirulkata perlu didjelaskan bahwa bila \(\Gamma = \{G_i\}\) suatu koleksi takhingga dari subgrup² suatu grup G (walaupun terhitung), dan \(G = \pi \times G_i\), maka \[\pi \times G_i \overset{\sim}{\neq} G\]

4. TJONTOH'

Kita anrbil grup multiplikatip dari kumpulan semua positip Q+. Biasanja dituliskan dengan notasi (Q+, x) bilangan rasional

Untuk sctiap billrrgan prirn p kita pandang subgrup Gn. .: [p'] Maka Qr i,j*Go, sebab:

(i) Go, subgrup invarian untuk sctiap i karena Ql komutatip

(ii) \[Q^+ = \begin{bmatrix} \bigcup_i G_{p_i} \end{bmatrix}\]

(iii) \[G_{p_i} \cap \left[ \begin{array}{c} U & G_{p_j} \\ J & \neq i \end{array} \right] = \{1\}\]

D.ielas disini bahrva Q" - I,;LOpi tidak isomorf dengan T,) Gn" scbab Q F tcrhitung scdangkan jang tcrachir tidak

Anrbil set'ruah kolcksi grup dcngan satu unsur sadja G. Kita pilih sebagai G, grup aditip dari bilangan riiljaitu (R, -1-). Untuk kumpulan indeksnja diambil R. Maka disini Uc;". .- U R - R 2 .

Djadi tlt {f 1 l': R t l{} kurnpulan semlra pernetaan (fungsi berharga satu) dari R kc R. I)alam hal ini <[r - tp

Opcrasi dalanr tlr tidak lain adalah pcndjurrlahan dua furrgsi.

Hal unrLrnr dari tjontoh ini jaitu scbuah koleksi f jang terdiri dari SATIJ grup G, dcngan kumpulan indeksnja C sendiri. Dengan lnengambil grup jang tal< terhitung, produk langsr.rng lcngkapnja tidak lain adalah kumpulan scrnuir pernctaan dari C kc G. Dan operasi dalam tI) adalah (f o g) (x; l(x).g(x) untuk setiap x dalam G.

Arnbil f - {C} den.can G (R -- {o}, >l ) jaitu grup mLrltiplikatip dari kumpulan bilangan riil taknol. Dan untuk kumpulan indeksnja diambil A ., R. Maka produk langsung lcngkapnja 4r .- kunrpulan sernua fungsi jang tak pernah nol (graliknja 1ak tncmolong sumbu-x). Operasinja aclulah ncrkalian dtta litngsi. J .

4. Ambil \(\Gamma = \{G\}\) dan \(G = (R^+, x)\) jaitu grup multiplikatip dari bilangan riil positip, sedangkan kita pilih \(\wedge = R\)Produk langsung lengkapnja \(\Phi =\) kumpulan semua fungsi jang berharga positip dan operasinja adalah perkalian dua fungsi.

Х

5. \(\Gamma = \{(R^+, x), (Z, +), (Q - 0, x)\}\) dan \(\Lambda = R\)Pengindeksannja didefinisikan dengan pemetaan g: \(R \rightarrow \Gamma\) sbb:

\[g(x) = Z\], djika x bulat

\[g(x) = Q - \{0\}\], djika x rasional tidak bulat

\[g(x) = R^+\], djika x irasional

Dapat "digambarkan" sebagai.:

6. \(G = \{G_1, G_2, G_3, (Z, +), (Q, +), (R^+, x)\}\) dan \(\wedge = R\)

Dimana \(G_1 = grup siklis tingkat 2\)

\(G_2 = grup \text{ siklis tingkat } 3\)

\(G_3 = grup Klein\)

Pengindeksan dari G oleh \(\wedge\) didefinisikan dengan pemetaan g ; \(R \rightarrow \Gamma\) sbb.:

g(x) = Z, bila x bulat dan \(x \neq 0\) serta \(x \neq 10\)

\(g(0) = G_3\)

\(g(10) \sim R^{4}\)

g(x) = Q, bila x rasional tidak bulat

\(g(x) = G_1\) bila x irasional aldjabar

\(g(x) = G_2\) bila x transenden

Maka \(\overline{\Phi}=\) kumpulan fungsi² dengan argumen riil dan harga fungsinja unsur dari salah satu anggauta dari G. Sedangkan \(\Phi=\) kumpulan semua fungsi jang termasuk \(\overline{\Phi}\) jang memenuhi \(f(x) \to g(x)\) untuk setiap x riil. Operasi dalam \(\Phi\) dapat dilakukan "titik" demi "titik".

7. \(\Gamma=\) koleksi semua grup siklis bertingkat hingga = \(\{G_i\}\), \(G_i=\) grup siklis tingkat i.

\(\wedge\) = kumpulan bilangan riil positif = \(R^+\).

Pengindeksannja didefinisikan dengan pemetaan \(g: R^+ \to \Gamma\) sbb.:

g(x) = grup siklis tingkat satu bila x dalam interval (0,1]

g(x) = grup siklis tingkat 2 bila x dalam interval (1.2]

g(x) = grup siklis tingkat n bila x dalam interval (n-1,n]

\(\Phi \longrightarrow \{f/f: \land \rightarrow U \ G_i, \ f(x) \ E \ g(x)\}\)