l. Pendahuluan.
I
Dalam tulisan ini R menjatakan lapangan bilangan riil. Ruang vektor atas R senantiasa kita misalkan berdimensi hingga, dan kita rrjatakan dengan V. Vektor dalam V kita nJatakan dengan a, 6, ,.., i, j, Z , dan koordinatnja terhadap suatu basis kita tuliskan sebagai rnatriks ko lom .
Misalkan V berdimensl n, dan G adalah suatu matriks n x n; Can misalkan X dan Y ber-turut2 koordinat vektor2 i dan ] dalam V terhadap suatu basis dari V. Kita akan menurunkan suatu sjaraE dan tjukup bilamana XrGY membentuk suatu hasilkali-dalarn pada V.
Dalam paragraf 2 kita bitjarakan bentuk bilinier, jaitu suatu transformasi f: V x \,/ + R jang bersifat bilinier. liasilkali-dalarn pada V kita pandang sebagai bentuk bilinier jang simetris dan positif. Semua sifat dan dali1 jang kita turunkan dalam paragraf ini dapat kita temui dalam t2l, t4l, dar. [5] . Terurama Dalil 2,13 daDar kita temui dalam [5], halaman 170, Theorern 6.6G.
* \' Bagian Matematika Institut Teknologi Bandung.
Daiarn paragraf 3 kiEa berikan definlsi natriks fundanental tingkat n. Definisi ini adalah perluasan dari definlsi naEriks fundarnental tingkat 3 (lihat: [3] ) jang deterrninannja berharga posltif. Dalil 3.3 adalah Da1i1 2.13 jang kita tuliskan kerubali dengan roenggunakan definisi tersebut.
Maksud dari tulisan ini adalah sebagai koreksi dari rulisan mengenai matriks fundamental dalam [3], Bab V; paragraf 5.I2.
2. Bentuk bilinier.
Dlketahul suatu ruang vektor \I jang berdlrnensl hlngga, atas b1- Langan riil R .
Definlsi 2.1. Bentuk blllnier f pada V adalah transformasl
\[f: V \times V \longrightarrow R\]
: a-^ L^-^J €^!. JdrrE usrsrrdL.
- (l) f(arx, + arir, y; = arf(ir, y) + art(ir, !), unruk seriap bil----- ^ J^- - l^t^- n langan al dan a2 dalam R, dan setiap vektor *1, i2, dan ! dalam V .
- (2) f(x, brlr * b2t) = b1f(i, tl) + b.f(i, fr), untrk setiap bilangan b, dan b, dalam R, dan setiap vektor i, !r, dan f, dalam V.
Misalkan A = { eI, ..,, Un} suatu basis dari V, dan f suatu bentuk bilinier pada V, Bentuk suatu matriks n x n
\[G = \| g_{ij} \|\], dimana g*. = f (5., a.). Setiap vektor i dan ! dalan V, dengan koordir J nac terhadap A ber-turuc2 adalah X dan Y, memenuhi hubungan
\[f(\bar{x}, \bar{y}) = X^{\dagger}GY\]
dinana Xr nenjatakan transpose dari matriks X. Kita katakan, bahwa terhadap basis A, bentuk bilinier f berkorespondensi dengan matriks G.
Sebaliknja, djika diketahui suatu matriks n x n, rnisalnja G = ff ll ! - - r ll tr, lI , maka t.erhadap basis A = { a1, ..., Un} , suatu transformasi f: v x V - R jang didefinisikan oleh f(i, y) = X'GY, untuk setiap vektor2 i dan y dalan V, membentuk suatu bentuk bilinier pada V. Selandjutnja, C.. = f(a-, e.). Djadi kita mempunjai sifat berikut. rJ r I
- Sifat 2.2. l!ketahui Y suatu ruang uektor berdinenei n. Maka' terharlap sii.tt.u basi.s ti.tt'i Y seLiap bentuk l:ilLnLez' pada V bev'korespondensi dengari satu d,art hanja satu naLriks n x n.
- Sifat 2.3. DikeLahui Y suatu ru,trry uektot', dan f suatu bentuk bi-Li.rtfsv Oo4u u, Mfsalkan, tethadnp dua basis dan'i. v, bentuk bilinier f l,erkoresportdcnsi dengan matriks2 G dan H, Maka terd.apat suatu natt'Lks ' 1'1-siagvl tr P teltlaggc H = PrGP.
<u>Bukti</u>: Misalkan A = { \(\bar{a}_1\), ..., \(\bar{a}_n\)} dan B = { \(\bar{b}_1\), ..., \(\bar{b}_n\)} adalah basis2 dari V, dan
\[\bar{b}_{j} = \sum_{i=1}^{n} p_{ij} \bar{a}_{i}\] untuk \(j = 1, \ldots, n\).
Tulis
\[P = \| P_{ij} \|\].
Maka P adalah matriks n x n jang non-singulir. Ambil \(\bar{x}\) dan \(\bar{y}\) vektor2 dalam V; koordinatnja terhadap A ber-turut2 adalah \(X_A\) dan \(Y_A\), dan terhadap basis B ber-turut2 adalah \(X_B\) dan \(Y_B\). Maka kita punjai
\[X_A = PX_B \text{ dan } Y_A = PY_B\] dan
\[f(\overline{x}, \overline{y}) = X_A^{\dagger}GY_A = (PX_B)^{\dagger}G(PY_B) =\] \[= X_B^{\dagger} (P^{\dagger}GP)Y_B\] \[= X_B^{\dagger} H Y_B.\]
Djadi H = P'GP.
Definisi 2.4. Bentuk bilinier f\(\,\)pada ruang vektor V kita katakan simetris djika untuk setiap vektor \(\overline{x}\) dan \(\overline{y}\) dalam V dipenuhi
\[f(\bar{x}, \bar{y}) = f(\bar{y}, \bar{x})\].
Sifat 2.5. Diketahui V suatu ruang vektor, dan f suatu bentuk bilinier pada V. Misalkan, terhadap suatu basis dari V, bentuk bilinier f berkorespondensi dengan matriks G. Maka f simetris djika dan hanja djika G simetris.
<u>Bukti</u>: Misalkan A = \(\{\bar{a}_1, \ldots, \bar{a}_n\}\) suatu basis dari V, dan
\[f(\bar{x}, \bar{y}) = X'GY.\]
Djadi
\[G = \| g_{ij} \|\]
dimana
\[g_{ij} = f(\bar{a}_i, \bar{a}_j).\]
Misalkan f simetris. Maka
\[g_{ij} = f(\bar{a}_i, \bar{a}_j) = f(\bar{a}_j, \bar{a}_i) = g_{ji}.\]
Djadi G suatu matriks simetris. Sebaliknja, misalkan G simetris. Maka untuk setiap vektor \(\bar{\mathbf{x}}\) dan \(\bar{\mathbf{y}}\) dipenuhi
\[f(\overline{x}, \overline{y}) = X'GY = (X'GY)' = Y'G'X = Y'GX = f(\overline{y}, \overline{x}).\]
Djadi f simetris.
Misalkan f suatu bentuk bilinier simetris pada suatu ruang vektor V; dan \(\{\bar{e}_1,\ \dots,\ \bar{e}_n\}\) suatu basis dari V.
Definisi 2.6. Basis \(\{\bar{e}_1, \ldots, \bar{e}_n\}\) kita katakan <u>ortogonal</u> terhadap bentuk bilinier simetris f djika untuk setiap i \(\neq\) j dipenuhi f\((\bar{e}_i, \bar{e}_j)\) = 0.
Sifat 2.7. Like taked V state meany vektor length \(\dim(V) \geq 1\), dan f state lentak lilinder almotria pada V. Maka V mempenjal basis ontogenal terhadap f.
Bukti: Tulis
\[K = \{ \overline{x} \in V \mid f(\overline{x}, \overline{y}) = 0, \text{ untuk semua } \overline{y} \in V \}.\]
Kita akan membuktikan dalam dua bagian.
(1) Misalkan K = { 0 } (dalam hal ini kita katakan bahwa f non - degenerate). Kita membuktikan dengan induksi lengkap. Kalau dim (V) = 1, maka djelas bahwa setiap vektor jang tak-nol dalam V membentuk basis jang ortogonal terhadap f. Sekarang misalkan dim (V) = n > 1. Karena K = { 0 } , kita dapat memilih vektor \(\bar{\mathbf{e}}_1\) dalam V sehingga f (\(\bar{\mathbf{e}}_1\), \(\bar{\mathbf{e}}_1\)) \(\neq\) 0.
Bentuk ruang bagian
\[W = R\bar{e}_i\] dan
\[W' = \{ \overline{x} \in V \mid f(\overline{x}, \overline{e}_i) = 0 \}\]
Kita akan menundjukkan bahwa V = W + W'. Ambil \(\bar{z}\) dalam V. Tulis \(a = f(\bar{z}, \bar{e}_1)/f(\bar{e}_1, \bar{e}_1),\)
dan
\[x = a\bar{e}_1\], dan \(\bar{y} = \bar{z} - \bar{x}\).
Maka \(\bar{z} = \bar{x} + \bar{y}\), dimana \(\bar{x}\) dan \(\bar{y}\) ber-turut2 adalah vektor2 dalam W dan W'. Djadi
\[V = W + W'\]
Selandjutnja, ambil \(\vec{x}\) vektor dalam W \(\cap\) W'. Maka \(\vec{x}\) = \(\vec{be}_1\), dan
\[f(\bar{x}, \bar{x}) = f(be_1, b\bar{e}_1) = b^2 f(\bar{e}_1, \bar{e}_1) = 0.\]
Kita peroleh b = 0, atau \(\bar{x}\) = 0. Djadi
\[V = W + W'\]
Kita punjai bahwa \(\dim(W') = n - 1\), dan f/W' (jaitu f dibatasi pada W') non-degenarate. Menurut hypothese induksi lengkap W' mempunjai basis ortogonal terhadap f, misalnja { \(\overline{e}_2\), ..., \(\overline{e}_n\) }.
Djadi \(\{\bar{\mathbf{e}}_1,\ \bar{\mathbf{e}}_2,\ \dots,\ \bar{\mathbf{e}}_n\}\) adalah basis dari V jang ortogonal terhadap f.
(2) Misalkan K \(\neq\) \(\mid\) 0 \(\mid\) (dalam hal ini kita katakan bahwa f degenerate). Tulis
\[V = K + V'\]
dimana V suatu ruang bagian dari V. Misalkan \(\{\bar{e}_1,\dots,\bar{e}_r\}\) suatu basis dari K. Bentuk bilinier f/V' non-degenerate. Menurut (1), V' mempunjai basis ortogonal terhadap f, misalnja \(\{\bar{e}_{r+1},\dots,\bar{e}_n\}\). Maka \(\{\bar{e}_1,\dots,\bar{e}_r,\bar{e}_{r+1},\dots,\bar{e}_n\}\) membentuk suatu basis dari V jang ortogonal terhadap f.
Definisi 2.8. Bentuk bilinier f pada V kita katakan positif djika untuk setiap vektor \(\bar{x}\) jang tak-nol dalam V dipenuhi f\((\bar{x}, \bar{x}) > 0\).
Sifat 2.9. Diketahui V suatu ruang vektor, dan f suatu bentuk bilinier simetris pada V. Misalkan terhadap suatu basis dari V, bentuk bilinier f berkorespondensi dengan matriks G. Maka f positif djika dan hanja djika terdapat suatu matriks non-singulir P sehingga G = P'P.
Bukti: Misalkan A = { \(\bar{a}_1\), ..., \(\bar{a}_n\)} suatu basis dari V, dan terhadap basis itu
\[f(\bar{x}, \bar{y}) = X_A'GY_A'\] untuk setiap vektor \(\bar{x}\) dan \(\bar{y}\) dalam V. Karena f simetris, menurut Sifat 2.7, V mempunjai suatu basis ortogonal, misalnja \(\{\bar{b}_1, \ldots, \bar{b}_n\}\).
Misalkan f positif. Maka \(f(\bar{b}_i, \bar{b}_i) > 0\) untuk i = 1, ..., n. Bentuk basis \(E = \{\bar{e}_1, ..., \bar{e}_n\}\) dimana
\[\bar{\epsilon}_{i} = \bar{b}_{i}/\{f(\bar{b}_{i}, \bar{b}_{i})\}^{\frac{1}{2}}, i = 1, ..., n.\]
Maka E adalah basis ortogonal dengan \(f(\bar{e}_i, \bar{e}_i) = 1\) untuk semua \(i = 1, \dots, n\). (Basis E kita katakan ortonormal).
Selandjutnja, misalkan
\[\bar{a}_j = \sum_{i=1}^n p_{ij} \bar{e}_i, \quad j = 1, \ldots, n.\]
Bentuk matriks n x n
\[P = \| p_{ij} \|\].
Maka P adalah suatu matriks non-singulir; dan kita punjai
\[f(\overline{x}, \overline{y}) = X_E'Y_E = (PX_A)'(PY_A)\] \[= X_A(P'P)Y_A\] \[= X_A'GY_A.\]
Djadi G = P'P.
Sebaliknja misalkan G=P'P untuk suatu matriks non-singulir P. Tulis \(Q=P^{-1}\). Maka \(Q'GQ=I_n\), dimana \(I_n\) adalah matriks kesatuan tingkat n. Pilih basis \(D=\{\overline{d}_1,\ldots,\overline{d}_n\}\); koordinat \(\overline{d}_j\) terhadap basis A adalah kolom ke-j dari matriks Q. Maka koordinat setiap vektor \(\overline{x}\) dalam V memenuhi hubungan
\[X_A = QX_D\];
dan untuk setiap vektor \(\bar{\mathbf{x}}\) dan \(\bar{\mathbf{y}}\) dalam V kita punjai
\[f(\bar{x}, \bar{y}) = X_D^{\dagger} Y_D\]
Djadi f(\(\bar{x}\), \(\bar{y}\)) = \(X_D'X_D > 0\) untuk semua vektor \(\bar{x}\) jang tak-nol dalam V. Menurut Definisi 2.8, f positif.
Akibat 2.10. Misalkan f suatu bentuk bilinier jang simetris dan positif pada V, dan terhadap suatu basis dari V bentuk bilinier f berkorespondensi dengan matriks G. Maka \(\det(G)>0\).
Definisi 2.11. Suatu submatriks H dari suatu matriks kwadratis G kita katakan \(\underline{\text{utama}}\) djika H kwadratis, dan komponen diagonal dari H adalah komponen diagonal dari G.
Sebelum kita berlkan da1il Jang berhubungan dengaa tubtiEtrlks utana, Iebih dahulu klta berlkan leua berlkut.
Lerma 2.12. Diketahui f suotu bentuk bilinier jang ainetrLe dan ran-degenerate pada v. I,laka ada satu dan haryia aatu bilangot bulat t z o, aehingga setiap basie { dl, ..., en} dl"iv jang ortogortal terhadap f nengandung r rsektor i, iang nenenuhi t(AL, El) > 0 dan n ^ r uekton d, jang nenenuh'i. f(E., a.) < 0. JJJ
Buktl: Mlsalkan a, = f(5r' Er) untuk i - 1r ..., n. llaka a, / 0. DJelas bahwa ada bllangan bulat r z 0; dan dapet klta nlealkan .1 t 0 untuk l- < r dan .1 . 0 untuk I > r.
Mlsalkan { b-1, ..., 6r. } euatu basls ortogonal' dan memenuhl f(51,5',1) =blt0untukl1B danf(b-r, u-r) =u,<o untuk 1> a .
Klta akan menundJukkan bahra r = s. Pandang kumpulan
\[\{\overline{a}_1, \ldots, \overline{a}_r, \overline{b}_{s+1}, \ldots, \overline{b}_n\},\\] dan hubungan
\[x_1^{\bar{a}}_1 + \dots + x_r^{\bar{a}}_r + y_1^{\bar{b}}_{s+1} + \dots + y_{n-s}^{\bar{b}}_n = 0\]
Klta punjal
\[x_1 \bar{a}_1 + \dots + x_r \bar{a}_r = -y_1 \bar{b}_{s+1} + \dots + -y_{n-s} \bar{b}_n;\] dan kita peroleh
\[f(x_{1}\bar{a}_{1} + \dots + x_{r}\bar{a}_{r}, x_{1}\bar{a}_{1}, + \dots + x_{r}\bar{a}_{r}) =\] \[f(-y_{1}\bar{b}_{s+1} + \dots + -y_{n-s}\bar{b}_{n}, -y_{1}\bar{b}_{s} + \dots - y_{n-s}\bar{b}_{n}),\]
aEau
\[x_1^2 a_1 + \dots + x_r^2 a_r = y_1^2 b_s + \dots + y_{n-s}^2 b_n\]
Dalam kesanaan jang terachir ruas kl.ri berharga positif, sedangkan ruas kanan berharga negatlf. llal ini beraklbat bahwa
\[x_1 = \dots = x_r = y_1 = \dots = y_{n-s} = 0\]
DJadl { al, ..., 8., 5s+1, ..., 6, } bebas llnler. oleh karenanJa r + n - s:: n, atau r 1 s. Dengan tjara Jang sedJalan klta peroleh slr.Djadir=s.
Untuk selandjutnja klta tulis p(f) = r. DJadl kalau f suatu bentuk b1l1nler simetris pada sualu ruang vektor V, maka f poeltlf dJlka dan hanja djlka p(f) = dlm(V).
Untuk suatu matrlks kr{adratLs G, submatrlke utaDa Jang didapat dari G dengan nenghapuskan semua barls dan kolon ketJuall baria dan kolorn ke i1, ..., lk (11.12... .lt) klta njatakan dengan c I ir, ..., ik I 1r, ..., lk ] .
Sekarang kita buktikan dalil berikut.
Dalil 2.13. Diketahui V suatu ruang vektor, dan f suatu bentuk bilinier simetris pada V. Misalkan terhadap suatu basis dari V bentuk bilinier f berkorespondensi dengan matriks G. Maka sifat2 berikut ekivalen:
- (1) Determinan setiap submatriks utama dari G berharga positif.
- (2) Untuk setiap bilangan s, \(1 \le s \le dim V\) dipenuhi
det ( G [ 1, ..., \[s\] | 1, ..., \(s\) ] ) > 0.
(3) f positif.
Bukti: (1) --- (2). Hal ini djelas.
(2) \(\Longrightarrow\) (3). Kita membuktikan dengan induksi lengkap. Misalkan A = {\(\bar{a}_1, \ldots \bar{a}_n\)} suatu basis dari V, sehingga untuk setiap vektor \(\bar{x}\) dan \(\bar{y}\) dalam V, dengan koordinat terhadap A ber-turut2 X dan Y, berlaku \(f(\bar{x}, \bar{y}) = X'GY\).
Njatakan ruang bagian jang dibangun oleh \(A_s = \{\bar{a}_1, \ldots \bar{a}_s\}\) dengan \(W_s\). Bentuk bilinier \(f/W_s\) terhadap basis \(A_s\) berkorespondensi dengan
\[G_{s} = G [1, ..., s | 1, ..., s].\]
Untuk S = 1, karena \(det(G_1) = f(\bar{a}_1, \bar{a}_1) > 0\) djelas bahwa \(f/W_1\) positif.
Misalkan untuk s < n bentuk bilinier f/W positif. Akan kita buktikan bahwa f/W \(_{\rm s+1}\) djuga positif.
Bentuk bilinier f/W s+1 simetris, dan dim(W s+1) \(\geq\) 1. Menurut Sifat 2.7, W mempunjai basis ortogonal terhadap f, misalnja
\[\{\bar{b}_1, \ldots, \bar{b}_{s+1}\}\].
Tulis
\[h_{i} = f(\bar{b}_{i}, \bar{b}_{i})\] untuk \(i = 1, ..., s + 1.\)
Menurut Sifat 2.3, terdapat suatu matriks kwadratis P tingkat s + 1 jang non-singulir, sehingga
\[P'G_{s+1}P = \| h_i \delta_{ij} \|\], dimana \(\delta_{ij}\) adalah simbol Kronecker. Menurut Hyphothese \(\det(G_{s+1}) > 0\), sehingga kita peroleh hubungan berikut:
\[0 < \det(G_{s+1}) (\det(P))^2 = \det(P'G_{s+1}P) = \prod_{i=1}^{s+1} h_i\]
Djadi \(h_i \neq 0\) untuk semua \(i = 1, \ldots, s+1\). Ini berarti bahwa \(f/W_{s+1}\) non-degenerate. Pula karena setiap basis ortogonal (terhadap f) dari \(W_s\) senantiasa terkandung dalam suatu basis ortogonal (terhadap f) dari \(W_{s+1}\), menurut Lemma 2.12 kita punjai:
\[p(f/W_{s+1}) \ge p(f/W_s) = s.\]
Kesamaan jang terachir dalam hubungan ini adalah menurut hypothese induksi lengkap.
Andaikan p(f/Ws+t) = s, Maka ada suatu hl jang berharga negatif. Ini berakibat
\[II_{i=1}^{s+1} h_i < 0.\]
t
t
Ha1 ini bertentangan dengan jang kita punJai diaEas bahwa hasllkali tersebuc berharga positlf. Djadi p(f/W"+l) t Klta peroleh
\[p(f/W_{s+1}) = s + 1,\] dan ini berarri bahwa f/W"+1 positif.
(3)- (1). Seperti dJatas, rni-salkan n = { Ir, ..., 5r} suatu basis dari V, sehingga f(i, t) = XiGY untuk seEiap vekror i aan j dalam V. Pandang subnatrlks utama
\[G[i_1, ..., i_k | i_1, ..., i_k]\]
Nlatakan ruang baglan jang dlbangun oleh {ai , ..., 5' } dengan W. I-k Maka f/W suaEu bentuk bilinier jang sinetrls dan positlf, dan terhadap basis {El , .. ., Er- } berkorespondensl dengan natriks I K c I i1, ..., ik | 1r, ... , tk ]
Menurut Akibat 2.10.
det ( G [ \[i_1\], ..., \(i_k\) | \(i_1\), ..., \(i_k\) ] ) > 0
3. Matriks f'rndanental.
l,eblh dahulu kita berikan dua definlsl.
Definisi 3.1. Bencuk bllinier, pada suatu ruang vektor V, Jang bersifat simetris dan posltif klta namakan has11ka11 dalan.
Definisi 3.2. Suatu matriks kwadratis G kita katakan fundeqenlgl, dj ika:
- (1) G sirnetris, dan
- (2) Determinan setiap submatriks utama dari G berharga posiclf.
Dengan kedua definisl diatas Dalil 2.13 dapat klta tullskan kenbali sebagai dalil berikut.
Dalil 3.3. Diketahui f suatu bentuk bilinier pad.a suatu luang uektor Y. Misalkan terhadap suatu basis dayi Y bentuk biliniez, f bez, korespondensi dengan natriks G. Maka f suatu hasi,Lkali-dnlon \jika. dnn hanja *jika G fundanental.