I. Pendahuluan
というというできている。これは大きななどのではないできないからいかはまたないでは、「あれないないでは、これできないないというできないないできないできない。これでは、これでは、これでは、これでは、100mmのできないできない。
Artikel ini merupakan suatu review terhadap artikelnya P.A.M. Dirac yang dimuat dalam, Rev. Mod. Phys. <u>21</u>, 3, 329 (1947).
Tujuan utama dari artikel ini adalah memperluaskan notasi Poisson Bracket (PB) dalam Mekanika Klassik yang biasanya didefinisikan terhadap momentum dan koordinat dalam ruang tiga dimensi ke dalam formulasi ruang-waktu berdimensi empat dari Teori Relativitas Khusus dengan memperkenalkan momentum-empat dari momentum-energi yang relativistik dan koordinat - empat dari ruang-waktu.
*) Sebuah tinjauan ulang.
**) Departemen Fisika, Institut Teknologi Bandung.
Dalam Bab II diberikan secara singkat suatu resume terhadap PP ini dalam Mekanika Klassik, yang untuknya diberikan notasi (F,G)3.
Perluasannya ke dalam ruang-waktu berdimensi empat diberikan dalam pab III dengan notasi \([F,G]_{\Lambda}\).
Formulasi ini ternyata sangat menarik sekali, karena memberikan persamaan-persamaan gerak Hamilton dan persamaan gerak untuk suatu variabel dinamika muncul secara wajar sebagai konsekwensinya.
II. Resume terhadap Poisson Bracket klassik
Formulasi dasar dari Poisson Bracket diperkenalkan melalui suatu transformasi kanonik dalam Mekanika Klassik dan untuk ini pembaca dipersilahkan mengadakan referensi ke Literatur 2, halaman 220 dan Literatur 3, halaman 247. Resume berikut ini diberikan secara langsung dari Persamaan gerak Hamilton Klassik.
Fungsi Hamilton H yang menyatakan energi total dari suatu sistim dinamika yang terdiri dari n-bendatitik-bendatitik, diberikan oleh,
\[H = p_S \dot{x}^S - L, \quad s = 1, 2, ..., 3n\] (II.1)
dimana \(L = L(x^S, \dot{x}^S, t)\) adalah fungsi Lagrange, \(x^S\) dan \(p^S\) adalah koordinat dan momentum yang masing-masing didefinisikan dalam ruang tiga dimensi. Tanda menyatakan turunan eksak terhadap waktu t dan telah dipergunakan di atas notasi indeks dummy yang menyatakan bahwa munculnya indeks kembar dalam suatu perkalian menyatakan penjumlahan terhadapnya.
Dengan demikian ternyata bahwa fungsi Hamilton adalah merupakan suatu fungsi \(H(\mathbf{x}^{\mathbf{S}},\ \mathbf{p}^{\mathbf{S}},\ t)\).
Bentuk persamaan gerak Hamilton adalah, didefinisikan langsung dari (II.1) sebagai,
\[\dot{x}^{S} = \frac{\partial H}{\partial p^{S}}, \ \dot{p}^{S} = -\frac{\partial H}{\partial x^{S}}\] (II.2)
Bila F adalah suatu variabel dinamika, maka persamaan geraknya adalah,
\[\dot{F} = \frac{\partial F}{\partial x} \dot{x}^{S} + \frac{\partial F}{\partial p} \dot{p}^{S} + \frac{\partial F}{\partial t}\] (II.3)
dengan mempergunakan (II.1), maka ia berubah menjadi,
\[\dot{\mathbf{F}} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}^{\mathbf{S}}} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \mathbf{p}^{\mathbf{S}}} - \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{p}^{\mathbf{S}}} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \mathbf{x}^{\mathbf{S}}} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{t}}\] \[= [\mathbf{F}, \mathbf{H}] + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{t}}\] (II.4)
notasi [F,H] adalah Poisson Bracket yang dimaksud, yang secara umum didefinisikan sebagai,
\[[F,G] = \frac{\partial F}{\partial x^{S}} \frac{\partial G}{\partial p^{S}} - \frac{\partial F}{\partial p^{S}} \frac{\partial G}{\partial x^{S}}\] (II.5)
Beberapa sipat-sipat aljabar yang dimilikinya dapat diperoleh melalui differensiasi yang sederhana diberikan di bawah ini,
\[[x^{s}, x^{r}] = [p^{s}, p^{r}] = 0\] \[[x^{s}, p^{r}] = -[p^{s}, x^{r}] = \delta^{rs} = \begin{cases} = 0, & r \neq s \\ = 1, & r = s \end{cases}\] (II.6a)
dan
\[[F,F] = 0\]
\([F,c] = 0\) bila c adalah suatu konstanta (II.6b)
Bila F dalam (II.4) adalah masing-masing \(\mathbf{x}^S\) dan \(\mathbf{p}^S\) maka diperoleh persamaan gerak Hamilton yang dituliskan di dalam notasi Poisson Bracket sebagai,
\[\dot{\mathbf{x}}^{\mathbf{S}} = [\mathbf{x}^{\mathbf{S}}, \mathbf{H}] = \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \mathbf{p}^{\mathbf{S}}}; \ \dot{\mathbf{p}}^{\mathbf{S}} = [\mathbf{p}^{\mathbf{S}}, \mathbf{H}] = -\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \mathbf{x}^{\mathbf{S}}}\] (II.7)
dan bila F adalah H sendiri, maka diperoleh
\[\dot{H} = [H,H] + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}\] (II.8)
karena [H,H] = 0.
Poisson Bracket yang didefinisikan di atas dalam koordinat dan momentum dalam ruang tiga dimensi, selanjutnya diberikan notasi \([F,G]_2\).
III. Perluasan Poisson Bracket ke dalam ruang-waktu berdimensi empat
Bahasan selanjutnya ini bertujuan memperluaskan [F,G]<sub>3</sub> ke dalam ruang-waktu empat dimensi dalam Teori Relativitas Khusus. Dalam Mekanika Relativistik ditunjukkan bahwa perluasan dari momentum ruang yang biasa ke dalam momentum empat dalam ruang-waktu berdimensi empat ini, memberikan komponen keempatnya sebagai energi total dari sistim. Formulasi ini diberikan dalam Literatur 1, halaman 100 dan Literatur 4, halaman 210 dan 224.
Secara kwantitatip, koordinat - koordinat ini dituliskan sebagai,
\[x^{\mu} = (x^{o} = ct, x^{s})\] (III.1)
dan momentum.
\[p^{\mu} := (p^{o} = \frac{H}{c}, p^{s})\] (III.2)
dimana \(H = H(x^{\mu}, p^{s})\) adalah Hamilton relativistik dan \(p^{s}\) adalah momentum relativistik.
\[[F,G] = \frac{\partial F}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial G}{\partial p^{\mu}} - \frac{\partial F}{\partial p^{\mu}} \frac{\partial G}{\partial x^{\mu}}, \quad \mu = 0,s \quad (III.3)\] dengan notasi [F,G]4, dan dikenal sebagai Poisson Bracket relativistik.
Secara matematis, dianggap bahwa setiap \(\mathbf{x}^{\mu}\) dan \(\mathbf{p}^{\mu}\) adalah tak bergantungan satu sama lainnya. Jadi dipenuhinya pula sipat-sipat aljabar dalam Bab II, yakni
\[[x^{\mu}, x^{\nu}]_4 = [p^{\mu}, p^{\nu}]_4 = 0\]
\[[x^{\mu}, p^{\nu}]_4 = -[p^{\mu}, x^{\nu}]_4 = \delta^{\mu\nu} = \{ \begin{matrix} 0, & \mu \neq \nu \\ 1, & \mu = \nu \end{matrix} \}\] (III.4a)
dan
\[[F,F]_4 = 0\]
\([F,c]_4 = 0\) bila c adalah konstan (III.4b)
IV. Persamaan gerak relativistik dalam Poisson Bracket relativistik dan konsistensi-cheknya
Persamaan gerak Hamilton relativistik diperoleh dengan mengevaluasi Poisson Bracket relativistik dari \(x^S\) dan \(p^S\) dengan \(p^O\) dan mengingat bahwa \(x^S\) adalah tak bergantungan terhadap \(p^S\) dan bahwa baik \(x^S\) maupun \(p^S\) kedua-duanya adalah bukan fungsi explisit dari \(x^O\).
Sebelumnya, perlu dibuktikan terlebih dahulu akan pernyataan berikut: Bila \(F = F(x^{\mu}, p^{S})\) adalah suatu variabel dinamika, maka
\[\frac{\partial F}{\partial p^{o}} \frac{\partial p^{o}}{\partial x^{o}} = \frac{dF}{dx^{o}}\] (IV.1)
Buktinya adalah sebagai berikut,
\[\frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} = \frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}} \text{ karena } \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} = \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}} \text{ (lihat Literatur 4, halaman 224) maka}\]
\[\frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}} = \frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \left( \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} \frac{dx^{\circ}}{dx^{\circ}} + \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}} + \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} \right)\] \[= \frac{\partial F}{\partial x^{\circ}} \frac{dx^{\circ}}{dx^{\circ}} + \frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}} + \frac{\partial F}{\partial x^{\circ}}\] \[= \frac{dF}{dx^{\circ}}\]
terbukti.
Jadi persamaan gerak Hamilton untuk koordinat ruang \(x^{S}\), adalah
\[[x^{s}, p^{o}]_{4} = \frac{\partial x^{s}}{\partial x^{s}} \frac{\partial p^{o}}{\partial p^{s}} + \frac{\partial x^{s}}{\partial x^{o}} \frac{\partial p^{o}}{\partial p^{o}} - \frac{\partial x^{s}}{\partial p^{s}} \frac{\partial p^{o}}{\partial x^{s}} - \frac{\partial x^{s}}{\partial p^{o}} \frac{\partial p^{o}}{\partial x^{o}}\] \[= \frac{\partial p^{o}}{\partial p^{s}} - \frac{dx^{s}}{dx^{o}}\] menurut (IV.1)
= 0 menurut (III.4)
memberikan,
\[\frac{dp^{S}}{dx^{O}} = -\frac{\partial p^{O}}{\partial x^{S}} \text{ at au } \dot{p}^{S} = -\frac{\partial H}{\partial x^{S}}\] (IV.3)
yang mana mirip pula dengan persamaan gerak Hamilton non-relativistik untuk p\(^{S}\) yang didefinisikan dalam (II.3). Selanjutnya, kita membuktikan pula pernyataan Bila \(F = F(x^{\mu}, p^{S})\) adalah suatu variabel dinamika maka
\[[F, p^{\circ}]_4 = 0\] (IV.4)
Ini dibuktikan sebagai berikut,
\[[F, p^{\circ}]_{4} = \frac{\partial F}{\partial x^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} + \frac{\partial F}{\partial x^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} - \frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} - \frac{\partial F}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}}\]
menurut (IV.1), (IV.2) dan (IV.3) ruas kanan berubah menjadi
\[\frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx^{S}}{dx^{O}} + \frac{\partial F}{\partial x^{O}} + \frac{\partial F}{\partial p^{S}} \frac{dp^{S}}{dx^{O}} - \frac{dF}{dx^{O}}\] tetapi
\[\frac{dF}{dx^{o}} = \frac{\partial F}{\partial x^{s}} \frac{dx^{s}}{dx^{o}} + \frac{\partial F}{\partial p^{s}} \frac{dp^{s}}{dx^{o}} + \frac{\partial F}{\partial x^{o}}\] dengan demikian pernyataan di atas terbukti.
Dengan mempergunakan (IV.4), maka persamaan gerak relativistik untuk suatu variabel dinamika F, yang didefinisikan dalam (II.4) dalam bentuk non-relativistiknya, adalah
\[[F, p^{o}]_{4} = \frac{\partial F}{\partial x^{S}} \frac{\partial p^{o}}{\partial p^{S}} + \frac{\partial F}{\partial x^{o}} \frac{\partial p^{o}}{\partial p^{o}} - \frac{\partial F}{\partial p^{S}} \frac{\partial p^{o}}{\partial x^{S}} - \frac{\partial F}{\partial p^{o}} \frac{\partial p^{o}}{\partial x^{o}}\] \[= [F, p^{o}]_{3} + \frac{\partial F}{\partial x^{o}} - \frac{dF}{dx^{o}} \qquad \text{menurut (IV.1)}\]
= 0
menurut (IV.4)
memberikan,
\[\frac{dF}{dx^{o}} = [F, p^{o}]_{3} + \frac{\partial F}{\partial x^{o}} \text{ atau } \dot{F} = [F, H]_{3} + \frac{\partial F}{\partial t}\] (IV.5)
yang mana menunjukkan kemiripannya. Bila F adalah p<sup>o</sup> sendiri, maka
\[[p^{\circ}, p^{\circ}]_{4} = \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} + \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} - \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} - \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}}\] \[= \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} - \frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} = 0 \qquad \text{menurut (III.5)}\]
menurut (IV.1), \(\frac{\partial p^{\circ}}{\partial p^{\circ}} \frac{\partial p^{\circ}}{\partial x^{\circ}} = \frac{dp^{\circ}}{dx^{\circ}}\), memberikan
\[\frac{dp^{\circ}}{dv^{\circ}} = \frac{\partial p^{\circ}}{\partial v^{\circ}} \text{ at au } \dot{H} = \frac{\partial H}{\partial t}\] (IV.6)
yang mana mirip pula dengan bentuk non-relativistik (II.7).
V. Bahasan dan Kesimpulan
Perkataan Poisson Bracket relativistik bukannya berarti ia adalah suatu bentuk yang covariant dalam Teori Relativitas Khusus. Dikatakan relativistik, karena ia memberikan bentuk persamaan-persamaan gerak relativistik yang sesuai. Komentar serupa pula diberikan kepada perkataan Hamilton relativistik dalam Bab III dan Bab IV. Formulasi covariant dari Hamilton telah diturunkan dalam Literatur 1, halaman 2 dan Literatur 4, halaman 223.
Kesamaan atara persamaan-persamaan gerak dalam Bab II dan Bab III adalah tidak eksak karena Hamilton dan momentum dalam Bab IV adalah relativistik. Kesamaannya akan kelihatan bila dituliskan Hamilton relativistik ini sebagai \(H = H' + mc^2\), dimana H' teredusir menjadi Hamilton non-relativistik dalam Bab II bila kecepatannya adalah kecil sekali dibandingkan terhadap kecepatan cahaya, v << c.
Akhirnya, disimpulkan bahwa adalah sangat ekonomis seka11, wrtuk menyalakan suatu persamaan gerak reLatlvlstik dalarn notasl Polsson Bracket relatLvlstik lnl, karena semuanya telah terdapat di dalaur notasl yang indah inl.
Perlu dlte'nbahkan pula dislnl bahwa, artlkel lnl barulah merupakan suatu konsl.stensi check dari pada formulasi notasi Polsson Bracket relatlvlsttk untuk persamaan gerak relatlvlstlk. Untuk penakaiannya dalam menfornulasikan suatu bentuk dinamlka rel-atlvlstik yang leblh Luas dal-am flsisnya, pembaca dlpersllahkan membaca artikel yang cukup menarik dari piontr Mekanlka Kwanturn reLatlvistlk kenamaan P.A.M. Dirac, dalan Rev. Mod. Phys. 21., 3, 329 (L947),
Ueapot tey"ima kasih
PenuLls sangat berterLma kaslh kepada para revlewer Proceedlngs ITB yang telah menunjukkan akan kesamaan form.ulas 1 Polsson Bracket rel-ativlstik di atas dengan yang terdapat dalan artlkelnya Dirac yang lebth luas, dan pula atas kesediaannya untuk memuatkan. kenball artlkel lnl sebagal suatu revle\il terhadapnya.
Literatut
- 1. Bergmann P.G.: Introduction to the Theory of Rel-atlvl-ty, Japan Publ. Trad. Co., Ltd. (l-960).
- 2. Corbean H.C. and Stehle Phlllp: CLassical Mechanlcs, Topan Prlnr., Lrd. (2nd ed.).
- 3. Dlrac P.A.M.: Fotr of R€latlvlstlc Dynamlcs, Rev. Mod. Phys. 2L, 3, 392 (L947).
- 4. Goldsteln H.: Classlcal Mechanlcs, Japan Publ. Trad. Co., Lrd. (1962).
(nituz"Lma I )ktober L973)
I It
PROCEEDINGS ITB . VOLUME 7 ISI - CONTENTS
| Hal-aman | |
|---|---|
| P. Soedigdo, Rochestri Ijad, dan Tan Hrvie Liep, Pe nentuan Deradjat Pernbusukan pada Udang | t |
| U. Suriawiria, Efek Stimulatif dari Bakteria terhadap (VoluatieLla Pernbentukan Tubuh-buah djarnur Padi Voluacea (Fr.) Sine.) | 11 |
| Sri Sudarulati, Mesodermal Competence of The Presump Ecto - neuroderm at Varlous tive Developmental (DAUDIN) Stages, Ln Xenopus Laeuis | L7 |
| I4.T. Zen, Geothermy and Its Future in Indonesia | 2 7 |
| P. Soedigdo, Tinjauan Ulang mengenai Bloklmla DllA dan RNA serta Bioslntesa Proteln | 4L |
| Hari jono Djojodihardjo, A SlrnpJ.e Merhod to Cal"cut_are The Oscillatlng Llft on A Ctrcular Cylinder ln Potentlal Flow | 57 |
| B. Hidajat and I. Rad'iman, The dB and gK Srars near The Direction of The Galactic Center | 7 7 |
| U. Surjawiria, Evaluasi Nodulasl Alaml terhadap 102 species Polong-polongan dari beberapa ternpat dl Jawa Barat | 87 |
| Harijono Djojodihardjo, Sorne Nores on The Deslgn, and Performance of The Low - Constructlon Speed Wind-Tunnel at ITB | 103 |
| 11. Hidajatr Evolution of Stars toward The Maln Se quence | 119 |
| Reproduksl pada Sri Sudarwati dan Lien A. Sutasurja, Suatu jenis Tada Chlroptera darl Daerah Tropis (ItorsfleLd) rida plicatus plicatus | 131 |
| Harijono Djojodihardjo, Vinrl's Surface Densiry as A I'leans of Representlng The Earthf s Disturbance Potential | 139 |
| Hans J. Wospakrik, Poisson Bracket Relativistik | 163 |