I. PENDAHULUAN

Di dalam mengukur internal consistensi dari suatu test, Kuder dan Richardson menciptakan rumus yang dinamakan KR-20. Rumus tersebut adalah

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{s_{t}^{2} - \sum_{i=1}^{n} p_{i}q_{i}}{s_{t}^{2}}\] (1)

dimana: n = banyaknya item dari test

s. = deviasi standard dari nilai test

\(p_i = proporsi yang benar dari item ke-i\)\(<math>q_i = 1 - p_i\).

Rumus tersebut tentunya dimaksudkan hanya untuk penilaian 1 untuk yang benar dan 0 untuk yang salah pada setiap itemnya. Kemudian yang dimaksudkan dengan nilai test adalah jumlah dari nilai-nilai item.

Dalam hal penilaian tiap item tidak 0 atau 1, kita dapat memperluas rumus tersebut dengan menggantikan \(p_1q_1\) dengan variansi dari nilai item ke-i. Apabila \(\mathbf{s_i}\) menyatakan deviasi standard dari nilai item ke-i, maka rumus KR-20 dapat ditulis sebagai

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{s_t^2 - \sum_{i=1}^n s_i^2}{s_t^2}\] (2)

Dalam tulisan ini pertama-tama akan ditunjukkan bahwa r < 1, sedang r = 1 hanya tercapai bila selisih antara dua nilai item konstan atau dapat dikatakan bahwa deviasi standard dari selisih nilai dua item sama dengan O. Untuk r maksimal ini (r = 1), item-item dari testnya dinamakan homogin atau konsisten; setiap mahasiswa dengan nilai tertinggi pada suatu item akan mendapat nilai tertinggi pula pada item-item lainnya yang berarti pula akan mendapat nilai tertinggi pada testnya. Sebagai contoh, misalnya pada suatu test terdapat 20 item, dimana untuk setiap item diberi nilai 0 atau 1. Apabila ternyata r = l maka akan berarti bahwa hanya ada dua macam nilai test yaitu 0 atau 20.

Disamping itu apabila kita akan menggunakan rumus (1) atau (2) maka item-itemnya direncanakan untuk sama sukarnya, sehingga tidak ada kebebasan untuk kita dalam menyusun itemitem untuk suatu test. Selain itu pula, apabila kita menghendaki suatu koefisien reliabilitas yang tinggi maka nilai dari setiap itemnya haruslah sejenis. Misalnya, apabila untuk suatu item diberikan nilai 0, 1, 3 maka untuk item lainnya harus 0 + C, 1 + C, 3 + C dimana C suatu konstanta, misalnya 2, 3, 5 dimana untuk C disini diambil sama dengan 2.

Melihat pada kekhususan cara penilaian yang harus dipenuhi dalam menggunakan rumus (1) maupun (2), maka penulis mempunyai idea untuk memperluas dasar pengertian yang dimaksud oleh rumus (2) tersebut. Idea perluasan tersebut oleh penulis diarahkan pada dua hal, yaitu:

a. dalam hal- penilaian tiap-tiap ltemnya tldak sejenis b. dalam hal test terdlrl dari ltem yang tidak sama sukar.

Perluasan tersebut dlcerninkan dengan menberlkan bobot pada setiap itemnya sedemikian rupa sehingga koefislen rellabilitas r adalah rnaksimal. Jelas kiranya bahwa dengan pemberian bobot tersebut, tujuan perluasan yang dinaksud dalam b akan dapat dlpenuhi. Selanjutnya, bahwa tujuan yang dlrnaksud dalam a pun dapat dipenuhi dapat dijelaskan dengan menggunakan prinsip korelasi multipel dalam teori statistlk asal saJa hubungan tersebut kira-kira dapat dianggap l-inier. Dalam ha1 tidak dapat dianggap linier, maka biasanya digunakan suatu transformasi.

Di dalam tulisan ini dibahas cara urendapatkan bobot yang dapat memberikan koefisien rellabilttas maksimal. Pembahasan tersebut pertama-tama berklsar pada eksistensi secara matematls dari bobot yang optimal tersebut. Secara matematl-s, untuk menunjuklcan bobot yang optimal tersebu! tldak selalu mudah, hal ini disebabkan adanya ketentuan bahwa bobot tersebut -ticlak boleh negatip. 01eh karena Ltu, penulls membatasl diri pada pembahasan di.mana korelasi antar item-iternnya tidak negatip. Dan ternyata bahwa bobot dapat diptlih non-negatlp. Bahwa klta mernbatasi diri pada korelasi antar ltem yang non-negatlpr s€ benarnya bukanlah suatu pembatasan yang rnengekang, mengingat bahwa dalarn penyusunan suatu test tentunya klta mengusahakan untulc nenggunakan itern yang nenberlkan korelasl posltip dengan tujuannya.

Disamping itu dalam tullsan inl dlbahas pula mengenai bobot yang harus nol. Darl segi penilaian, bobot no1 dapat dlartikan sebagai tldak menglkut sertakan itemirya.

Selanjutnya penullspun beranggapan bahwa hasil darl pernbahasan ini dapat pula diterapkan pada pemberian bobot apablla kita akan menetapkan penllaian suatu mahasiswa dalam rangka studinya, yaitu dengan mengarnbLl course sebagai itemnya.

Perlu pul-a ditambahkan dislni bahwa koeflslen re11ab111 tas r tersebut dapat pula dikaltkan dengan presisl suatu penilaian. F\aitan tersebut dihubungkan dengan standard error (SE) dari nilai sebagai

\[SE = s_r \sqrt{1 - r}\] (3)

Dalam penilalan, SE tersebut blasanya dlgunakan sebagai pernyataan besarnya kesalahan atau ketidak-tepatan dalam penllaian (atau kebalikan dari presisi).

II. SIFAT-SIFAT DASAR DARI KOEFISIEN RELIABILITAS

Di dalam membahas koefisien reliabilitas ini penulis akan menggunakan cara statistis, sehingga istilah dan notasinya akan diambil dari teori statistik.

Misalkan \(X_1, \ldots, X_n\) adalah variabel random yang nilainya menyatakan nilai item-item dalam suatu test, dimana testnya terdiri dari n item. Rumus (2) dapat dithlis sebagai

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{\operatorname{Var}(D_n) - \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}(X_i)}{\operatorname{Var}(D_n)}\](4)

dimana:

\[D_{n} = \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad Var = variansi.\]

Oleh karena \(Var(D_n) = \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) + 2\sum_{j=i+1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} Cov(X_i, X_j) dinmana Cov adalah covariansi, maka (4) dapat ditulis sebagai\)

\[r = \frac{n-1}{n-1} \frac{\sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{Cov}(X_{i}, X_{j})}{\operatorname{Var}(D_{n})}\] (5)

Selanjutnya oleh karena variansi bernilai non-negatip, maka kita mendapat

\[0 \leq \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} Var(X_i - X_j)\]

= \[(n-1)\] \(Var(D_n)\) - \(2n \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} Cov(X_i, X_j)\)

Apabila \(Var(D_n) \neq 0\) maka ketidak samaan di atas ekivalen dengan \(r \leq 1\). Selanjutnya, r = 1 ekivalen dengan \(Var(X_i - X_j) = 0\) untuk setiap \(i \neq j\) yang ekivalen pula dengan \(X_i - X_j = C_{ij}\) dengan kemungkinan satu untuk \(i \neq j\) dimana \(C_{ij}\) konstanta.

Perlu dicatat disini bahwa:

1. Apabila \(Var(X_i) = 0\) untuk setiap i (hal ini biasanya harus dihindarkan), maka \(Var(D_n) = 0\). Dalam hal ini kita definisikan r = 1.

2. Apabila \(Var(D_n) = 0\) dan \(\sum_{i=1}^{n} Var(X_i) \neq 0\), maka \(r = -\infty\). Hal ini kemungkinan untuk dapat terjadi sangat kecil.

3. Apabila \(Cov(X_i, X_j) = 0\) untuk setiap \(i \neq j\) dan \(Var(D_n) \neq 0\), maka r = 0. Hal ini bisa terjadi apabila variabel-variabel randomnya saling bebas, atau korelasi setiap dua item sama dengan nol.

III. BOBOT UNTUK MEMAKSIMUMKAN KOEFISIEN RELIABILITAS

Misalkan \(\alpha_1,\;\dots,\;\alpha_n\) adalah bobot untuk n item dalam suatu test, maka

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{\sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} Cov(X_{i}, X_{j})}{\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} Cov(X_{i}, X_{j})}\] \[(6)\]

Untuk menyederhanakan, kita tuliskan:

\[Y_k = X_k (Var(X_k))^{-\frac{1}{2}}, \quad \beta_k = \alpha_k (Var(X_k))^{\frac{1}{2}}\] dan selanjutnya misalkan \(Var(X_k) \neq 0\) untuk setiap k. Kemudian definisikan matriks \(A = (a_i)\) sebagai matriks kovariansi dari \(Y_1, \ldots, Y_n\). Artinya \(a_{ij} = Cov(Y_i, Y_j)\). Maka A merupakan matriks n x n yang simetri dan definit non-negatip dengan unsurunsur diagonalnya sama dengan 1.

Selanjutnya kita tulis \(\beta\) sebagai matriks kolom dengan unsur-unsurnya \(\beta_1, \ldots, \beta_n\), atau dapat ditulis sebagai \(\beta' = (\beta_1 \ldots \beta_n)\) dimana tanda 'adalah transpose. Maka (6) dapat ditulis sebagai

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{\beta' A \beta - \beta' \beta}{\beta' A \beta}\] (7)

Jika kita tulis \(\lambda = \frac{\beta'A\beta}{\beta'\beta}\) maka (7) dapat ditulis sebagai

\[r = \frac{n}{n-1} \frac{\lambda - 1}{\lambda} \tag{8}\]

Jelas kiranya bahwa r adalah monoton naik (strict) dalam \(\lambda\), sehingga memaksimumkan r ekivalen dengan memaksimumkan \(\lambda\). Juga jelas bahwa

\[0 < \lambda < n \tag{9}\]

dimana: \(\lambda = 0 \iff r = -\infty\)\(\lambda = n \iff r = 1\).

LEMMA I: Jika \(\lambda_1\), ..., \(\lambda_n\) harga-harga karakteristik dari matriks A dan \(\lambda_k = \max_{\substack{k \leq 1 \leq n \\ \text{dimana } \beta}} \lambda_i\), maka \(\max_{\substack{\beta \in A\beta \\ \beta \in \beta}} \frac{\beta^* A\beta}{\beta^* \beta}\) tercapai untuk \(\beta = \beta^{(k)}\) dimana \(\beta^{(k)}\) adalah vektor karakteristik dari A korespon pada \(\lambda_k\).

Bukti: Jika \(\beta^{(k)}\) vektor karakteristik korespon pada \(\lambda_k\) maka

\[\frac{\beta^{(k)'}A\beta^{(k)}}{\beta^{(k)'}\beta^{(k)}} = \lambda_k\]

Misalkan D matriks diagonal dengan unsur-unsur diagonal \(\lambda_1\), ..., \(\lambda_n\) dan misalkan C matriks ortogonal sehingga A = C'DC, maka \(\frac{\beta'A\beta}{\beta'\beta} = \frac{(C\beta)'D(C\beta)}{(C\beta)'(C\beta)} \leq \lambda_k\).

Dari ketidak samaan yang terakhir ini jelas kiranya kesimpulan yang tercantum dalam lemma ini.

Jika dalam Lemma I kita ketahui bahwa \(\beta^{(k)}\) dapat mencapai maksimum dari \(\frac{\beta'A\beta}{\beta'\beta}\), maka dalam lemma berikut kita mendapatkan hal yang sebaliknya, yaitu bila suatu vektor dapat memaksimumkan \(\frac{\beta'A\beta}{\beta'\beta}\) maka \(\beta\) harus merupakan vektor karakteristik korespon pada \(\lambda_k\).

LEMMA II: Jika \(\frac{\beta^* \dot{A}\beta^*}{\beta^* \dot{\beta}^*} = \max_{\beta} \frac{\beta' \dot{A}\beta}{\beta' \dot{\beta}}\) maka \(\beta^*\) adalah vektor karakteristik dengan \(\lambda^*\) sebagai harga karakteristiknya apabila \(\lambda^* = \max_{i} \lambda_i\).

Bukti: Oleh karena A simetri maka kita dapat memilih n vektor karakteristik yang saling ortogonal, misalnya \(\beta^{(1)}\), ... ..., \(\beta^{(n)}\). Selanjutnya misalkan B adalah matriks n x n dengan kolom-kolomnya vektor-vektor karakteristik tersebut. Misalkan \(\beta^*\) = Bp maka

\[\frac{\beta * {}^{\dagger}A\beta *}{\beta * {}^{\dagger}\beta *} = \frac{(Bp) {}^{\dagger}A(Bp)}{(Bp) {}^{\dagger}(Bp)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} (Bp)_{i}^{2}}{\sum_{i=1}^{n} (Bp)_{i}^{2}}\] dan menurut Lemma I, ruas kiri harus sama dengan \(\lambda*\). Dengan demikian maka \((\lambda*-\lambda_{\mathbf{i}})(\mathrm{Bp})_{\mathbf{i}}^2=0\) untuk setiap i sehingga \(\lambda*=\lambda_{\mathbf{i}}\) atau \((\mathrm{Bp})_{\mathbf{i}}=0\).

Dengan demikian ABp = \(\lambda*Bp\), sehingga \(\beta*\) = Bp merupakan vektor karakteristik korespon \(\lambda*\).

Dari Lemma I dan Lemma II kita dapat menarik kesimpulan bahwa vektor karakteristik yang korespon pada harga karakteristik yang terbesar merupakan syarat yang perlu dan cukup agar \(\frac{\beta^{\,\prime} A \beta}{\beta^{\,\prime} \beta}\) maksimal. Untuk selanjutnya vektor \(\beta\) tersebut akan dinamakan \(\beta\) optimal, dan ditulis dengan \(\beta_{opt}\). Sedang harga karakteristiknya dinamakan \(\lambda\) optimal dan ditulis dengan \(\lambda_{opt}\).

Kini kita meningkat pada pembahasan mengenai positipitas dari komponen-komponen \(\beta_{opt}.\) Oleh karena \(\alpha_i\) merupakan bobot tentunya nilainya harus non-negatip, yang berarti bahwa \(\beta_i\) harus pula non-negatip. Hal ini ternyata tidak selalu dapat terjamin untuk komponen-komponen \(\beta_{opt}\) dari matriks A. Oleh karena itulah maka pada pasal yang berikut kita membatasi diri dengan mengambil matriks dengan sifat-sifat tertentu, agar komponen-komponen dari \(\beta_{opt}\) dapat diusahakan bernilai non-negatip. Pembatasan untuk matriks A tersebut adalah dengan menganggap unsur-unsurnya non-negatip.

Unsur-unsur matriks A non-negatip adalah ekivalen dengan \(\operatorname{Cov}(X_1, X_j)\) non-negatip untuk setiap i tidak sama dengan j. Syarat terakhir ini, ekivalen dengan mengatakan bahwa koefisien korelasi untuk setiap pasangan i dan j adalah non-negatip, atau korelasi antar dua item harus non-negatip.

IV. DALAM HAL ANTAR ITEM MEMPUNYAI "KOEFISIEN KORELASI NON-NEGATIP

Dalam pasal ini pembahasan dibatasi dalam hal \(Cov(X_i, X_j) \ge 0\) untuk setiap i dan j, yang berarti pula bahwa unsur-unsur dari matriks A adalah non-negatip.

LEMMA III: Jika \(Cov(X_i, X_j) \ge 0\) untuk setiap i dan j, maka \(\lambda_{opt}\) \(\ge 1. \text{ Tanda sama } (\lambda_{opt} = 1) \text{ terjadi jika } Cov(X_i, X_j)\) \(= 0 \text{ untuk setiap i } \ne i.\)

Bukti: Untuk membuktikan bahwa \(\lambda_{\text{opt}} \geq 1\), cukuplah kalau dapat ditunjukkan bahwa ada \(\beta\) sehingga \(\frac{\beta' A \beta}{\beta' \beta} \geq 1\). Untuk \(\beta\) tersebut dapat diambil vektor dengan komponen-komponen semua sama dengan 1. Selanjutnya, jika \(\text{Cov}(X_i, X_j) = 0\) untuk setiap \(i \neq j\), maka \(a_{ij} = 0\) untuk \(i \neq j\), sehingga \(\beta' A \beta = \beta' \beta\) untuk setiap \(\beta\).

Dari Aljabar Linier telah kita ketahui bahwa apabila \(\beta\) merupakan vektor karakteristik maka \(-\beta\) juga vektor karakteristik, dan harga karakteristiknya adalah sama. Lepas dari soal tanda, maka mudah untuk dimengerti bahwa apabila multiplisitas dari \(\lambda_{\rm opt}\) adalah satu, maka vektor karakteristik yang korespon pada \(\lambda_{\rm opt}\) tersebut adalah tunggal. Sedang apabila multiplisitasnya lebih dari satu maka vektor karakteristik yang korespon pada \(\lambda_{\rm opt}\) adalah tak hingga banyaknya.

DALIL I: Jika \(Cov(X_i, X_j) \ge 0\) untuk setiap \(i \ne j\), maka komponen-komponen dari \(\beta_{opt}\) dapat diambil non-negatip.

Bukti: Andaikata ada komponen dari \(\beta_{opt}\) yang negatip dan positip, maka tanpa menghilangkan keumumannya kita dapat membuat partisi \(\beta'_{opt} = (\beta'_1 \beta'_2)\) dimana komponen-komponen \(\beta_1\) non-negatip dan paling sedikit ada satu komponen yang positip. Sedang \(\beta_2\) mempunyai komponen - komponen yang negatip. Selanjutnya buat pula partisi dari A yang disesuaikan dengan partisi \(\beta_{opt}\) di atas. Misalkan kita dapat menuliskan

\[A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\]

dimana \(A_{11}\) dan \(A_{22}\) matriks bujur sangkar dan \(A_{12} = A_{21}^{\dagger}\).

Selanjutnya kita mempunyai hal yang berikut

\[\lambda_{\text{opt}} = \frac{\beta_{\text{opt}}^{\dagger} A \beta_{\text{opt}}}{\beta_{\text{opt}}^{\dagger} \beta_{\text{opt}}} = \frac{\beta_{1}^{\dagger} A_{11} \beta_{1} + \beta_{2}^{\dagger} A_{22} \beta_{2} + 2\beta_{1}^{\dagger} A_{12} \beta_{2}}{\beta_{1}^{\dagger} \beta_{1} + \beta_{2}^{\dagger} \beta_{2}}\] \[\leq \frac{\beta_{1}^{\dagger} A_{11} \beta_{1} + \beta_{2}^{\dagger} A_{22} \beta_{2} - 2\beta_{1}^{\dagger} A_{12} \beta_{2}}{\beta_{1}^{\dagger} \beta_{1} + \beta_{2}^{\dagger} \beta_{2}}\]

Oleh karena ruas kiri harus maksimum, maka tanda tidaksama menjadi tanda sama. Dan selanjutnya dengan menggunakan Lemma II kita dapat mengambil kesimpulan bahwa vektor \((\beta_1' - \beta_2')'\) juga merupakan vektor karakteristik yang optimal, yaitu vektor karakteristik yang korespon pada \(\lambda_{\text{opt}}\). Perhatikan bahwa komponen - komponen dari \((\beta_1' - \beta_2')'\) adalah non-negatip.

Dalam cara pembuktian dalil di atas kita lihat bahwa apabila kita mendapat komponen yang negatip untuk \(\beta_{opt},\) maka kita dapat menggantikan komponen tersebut dengan harga mutlaknya. Dengan demikian kita akan mendapat vektor dengan komponen-komponen non-negatip, dan vektor yang terakhir inipun merupakan vektor karakteristik korespon pada \(\lambda_{opt}.\)

Setelah kita mengetahui bahwa komponen-komponen dari \(\beta_{opt}\) dapat diambil non-negatip, maka pembahasan selanjutnya adalah menyelidiki bilamana komponen bernilai nol harus/dapat terjadi, dan disamping itu perlu difahami arti dari ke-nol-an tersebut dalam rangka penilaian. Hal ini penting ditinjau oleh karena dengan memberikan nilai O pada komponen tersebut, sama saja artinya dengan tidak mengikut sertakan item yang bersang-kutan dalam penilaian test secara keseluruhan.

Jika komponen ke-j dari \(\beta_{opt}\) sama dengan nol, maka

\[\sum_{i=1}^{n} a_{ji} \beta_{i} = 0\] yang berarti pula bahwa a \(\beta_i = 0\) untuk setiap i. Misalkan N himpunan bilangan asli yang merupakan indeks

darl konponen bernil-al nol, atau dapat ditulls sebagai

\[N = \{k | 1 \le k \le n, \ \beta_k = 0\}\]

dlmana 8O adaLah komponen ke-k darl Bona yang klta dapat. Inl berartl bahwa trf Bf = 0 untuk setlap k dl N. Dan dengan nudah kLta nrendapatkan kes lnpulan-kes lnpulan seb agal b erikut :

DALIL II: Misalkan \[Cov(X_i, X_j) \ge 0\] untuk setiap \(i \ne j\).
a. \(\beta_i = 0\) dan \(\beta_j \ne 0 ===> Cov(X_i, X_j) = 0\).
b. Jika \(Cov(X_i, X_j) > 0\) untuk suatu i dan j, maka \(\beta_i = 0 <===> \beta_i = 0\).

Dengan menggunakan Dalll II 1n1, ktr-ta bagl hlnpunan bllangan as1l darl 1 sampal deogan n dalam keloupok-kelourpck sebagal berlkut:

DEFINISI: Bllangan asll I dan k dinaobkan masuk lonpok Jlka ada 1 = Jy 72, ..., Jt Cov(X.t,X. )>O untuk eetlap s -s Js*1 dalan eatu ke- : k, sehlngga = 1, ..., t-1.

Jelae klranya bahwa penbaglan dalam keJ-onpok-kelompok Lnl dapat dl-lakukan secaia tunggal, dan tiap dua kelompok yang berbeda adalah terplsah (dleJotnt).

I'Iisalkan klta mempunyal m kelonpok Kl , ...., Kr. Tanpa nenghlLangkan keuoumannya (dengan penyusunan kenbal_l dart ututan), klta dapat membuat partlsl darl natriks A sebagal

\[A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & A_m \end{pmatrix}\]

I

t

dlmana Ai, ..., A, merupakan natrlks simetrl yang deflnlt nonnegatlp.

Dengan menggunakan pengelonpokan tersebut klta dapat roengambll keslnpulan-kes lupulan s ebagai berlkut :

• 1. Jika \(\beta\) merupakan vektor karakteristik dari \(A_1\) dengan harga karakteristik \(\lambda\), maka (\(\beta\)' 0 ... 0)' juga merupakan vektor karakteristik dari A dengan harga karakteristik \(\lambda\). Demikian pula halnya dengan \(A_2\), ..., \(A_m\).
• 2. Jika λ^(t) opt harga karakteristik optimal dari A_t, maka max 1<t<m λopt adalah harga karakteristik optimal dari A.
• 3. Jika \(\beta\) vektor karakteristik optimal dari \(A_t\), dan jika \(\lambda\) (t) = \(\lambda\) (t) = \(\lambda\) (t) = \(\lambda\) opt = \(\lambda\) (t) = \(\lambda\) opt = \(\lambda\) (t) maka:

\[\begin{pmatrix} \beta_{\text{opt}}^{(1)} \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ \beta_{\text{opt}}^{(2)} \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \text{dan} \begin{pmatrix} c_1 \beta_{\text{opt}}^{(1)} \\ c_2 \beta_{\text{opt}}^{(2)} \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\] adalah vektor-vektor karakteristik optimal dari A untuk setiap konstanta \(c_1\) dan \(c_2\) yang tidak keduanya nol.

• 4. Jika kita hanya mempunyai satu kelompok, maka komponen-komponen dari β_opt tidak ada yang sama dengan nol, dan komponen-komponennya dapat dipilih positip semuanya. Hal demikian misalnya dapat terjadi apabila unsur-unsur dari A semuanya positip. Tetapi perlu diingat bahwa syarat unsur-unsur dari A semuanya positip bukanlah syarat yang perlu, oleh karena mungkin ada unsur A sama dengan nol, sedang kita hanya mempunyai satu kelompok.
• 5. Apabila kelompoknya lebih dari satu, maka kita pilih kelompok yang memberikan nilai terbesar pada

\[\frac{n_{t}}{n_{t}-1} \frac{\lambda_{opt}^{(t)}-1}{\lambda_{opt}^{(t)}}\]

apabila \(n_t\) banyaknya unsur dari kelompok \(K_t\).

V. LANGKAH-LANGKAH KOMPUTAST

Dari uraian di atas telah kita ketahui bahwa bobot optimal merupakan vektor karakteristik dari A dimana komponen-komponennya diambil yang non-negatip. Oleh karena itu, di dalam menentukan bobot penulis menyarankan langkah-langkah komputasinya sebagai berikut:

1. Pertama-tama menentukan variansi dari setiap item dari data yang ada, yaitu

\[Var(X_i) = \frac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (x_{it} - \overline{x}_i)^2\]

dimana N menyatakan banyaknya data, \(x_{it}\) nilai item ke-i dari data yang ke-t dan \(\bar{x}_i\) nilai rata-rata dari item ke-i. Selanjutnya dihitung covariansi antar item-itemnya, misal-nya covariansi dari item ke-i dengan item ke-j adalah

\[Cov(X_{i}, X_{j}) = \frac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (x_{it} - \bar{x}_{i})(x_{jt} - \bar{x}_{j})\] 2. Kemudian menentukan unsur-unsur dari matriks A, dimana unsur pada baris ke-i dan kolom ke-i adalah

\[a_{ij} = \frac{Cov(X_i, X_j)}{Var(X_i).Var(X_j)}\]

Apabila i tidak sama dengan j maka \(a_{ij}\) adalah koefisien korelasi dari \(X_i\) dengan \(X_j\), sedang \(a_{ii} = 1\).

• 3. Misalkan kita mendapat matriks A dengan unsur-unsurnya nonnegatip. Berdasarkan unsur-unsur dari A kita coba untuk meneliti apakah kita harus membuat pengelompokan. Apabila terdapat lebih dari satu kelompok, maka item-itemnya dikelompokkan berdasarkan prinsip pengelompokan seperti yang diuraikan dalam pasal yang lalu. Selanjutnya komputasi dilakukan perkelompok, sehingga komputasi dilakukan untuk tiap sub-matriks dari A.
• 4. Misalkan kita hanya mempunyai satu kelompok, maka dari Dalil II kita dapat menarik kesimpulan bahwa \(\beta\) yang mempunyai komponen-komponen positip adalah tunggal (artinya

hanya ada satu vektor karakteristik yang korespon pada \(\lambda_{\text{opt}}\), yaitu vektor dengan komponen-komponen positip dan vektor karakteristik lainnya yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut).

5. Apabila \(\beta_{\mbox{\scriptsize opt}}\) telah didapat maka bobot \(\alpha\) adalah

\[\alpha_{k} = \alpha \frac{\beta_{k}}{\overline{Var(X_{k})}}\]

dimana \(\alpha_k^{}\) bobot dari item ke-k, sedang \(\beta_k^{}\) adalah komponen ke-k dari \(\beta_{\text{opt}}^{}.\)

6. Apabila terdapat lebih dari satu kelompok, maka kita pilih kelompok yang memberikan koefisien reliabilitas yang terbesar.