0. Prakata

Di masa kebelakangan ini analisaan sejagat (berlawanan dengan analisaan tempatan) telah menular di kalangan matematikawan dan matematikawati sebegitu rupa sehinggakan telah menjadi hasrat mereka untuk merumuskan segala analisaan klasik kepada analisaan sejagat. Umpamanya jejak langkah Morse \(^{1)}\) yang telah menjadi peneroka dalam mensejagatkan Kalkulus Ubahan dalam tahun tigapuluhan itu kemudiannya telah diikuti oleh matematikawan-matematikawan seperti Smale \(^{2)}\), Palais \(^{3)}\), dan

^*) Berdasarkan kepada ceramah yang telah diberikan oleh pengarang ini di Kolokium Jabatan Matematika Universiti Kebangsaan Malaysia, Kuala Lumpur, 12 September 1975.

^**) Ketua Jabatan Matematika, Universiti Kebangsaan Malaysia.

,.\ Heroann-', uotuk menyebut aegellntlr darlnya, 1alu neughldupkan bldang klaslk lnl ke tengah-tengatr gelanggang penyeltdtk- €m. Eegltulatr Juga dengan naslb geonetri bedaot yang tqa ltu dl mana baru-baru lnl Sptvak5) a"1*, rengunpulkan eegala nrtnuaan seJagat geonetrl'bedaao yaDg teLah dlbuat sebelr.urya (sepertl oreh Ehree*oo6) dan chernT)) a"o or*, bellau eendLr1, telah menanpakkan bagalmana bldang 1nt dapat menampung kehaueqr penyelldtk-penyelldlk eekaraog. Aotara bldang-bidang laln lagl yang Eengalaml perubahan yang sarna Deneruai anallsaan eeJagat lnl laleh maealah-paealah dalm Aekqi.ka8) , I(estabilqt9) dao tldak kurang Juga btdang lir,llatlual0)

Dl antara naealah eeJagat dalan kalkulus yang ""od1r1. uaelh belum saya llhat penyeleealan eelengkaPnya lalah maealah meneeJagatkart Teorem Pemetaot Teraimt'eama dalao rusng Eaelideut, atau rtsng Bqneh atau leblh dalamya atae auatu LipatbanyakLl> . ilenglkut pendapat aaya seauatu anal"leaan sejagat ltu mestllah nempunyal clrl-clrl berl-kut:

• (0.1) Rrnusan ltu !0est11ah bebas koordi,nat atau aecarc eetarcnya bebas asas. Sebagal contoh yang nudatr k(ta boleh snbll kaJlarr penajelnaan Linear t, : .nP * nF. Jlka klta katakan pen-Jeloaan ltnear L ltu talah satu matrlt" (ltt), tereirat di dalannya lalatr pengguraan fiP dan n8. i.r Jrt. e,(J - 1r ....., n) aaas np a"o bn(k - 1, ...., n) aeae Rn, 1,., I rr1bt. Jadl lnl ktta katakan kaJlan ateu rumusan tldak eeJagat.
• (0.11) Rumusan d8n keputuaan yang dtperolehl ltu bukan hanya sah pada sesuatu tltlk dalam ntang yang tertentu atau d! ii- ?arrcrn tltlk ltu. Umpananya ungkapan seperti "Jlka H benar maka wuJudlah aatu set terbuka yang nenglmpllkan T benar" adaLah s atrr p ernA at asn t errpatart.
• (0.111) Rumusan ltu neetllah nengandungl olalnn-olaltmt bersaha;ja eedapat mungkln. Uupananya telah dlketahul uoum bahawa olaltot terbitot D tldak bereatraJa karena la, mleaLnya' tldak menelihara ftngei gubahqt l.f D(f o S) # Df o Dg. Jadl eeeuatu rumuaan seJagat ltu nestllah tiada menggunakan olahan 1n1.
• (0.1v) Rumueaa ltu nestLlatr sah bulcan sahaJa hanya. setakat dl dalam ruang Banach tetapL Jrga sah dl atas llpatbanyak.

Adalah nenJadi haerat eaya trntuk nenyelesalkan beberapa pereoalan dalam oeneeJagatkan teorem pemetaan tersirat 1n1. Tetapl dl dalan kertae lni ttdaklatr ntrngkln aaya menseJagatkan teorem lnl dernlklan eehtngga ke eoPat-empat elfat (0.1) -

The Police Court for the Continuous Remagai-bagan Dipotesis teorem and a second to the execution of entires at the more entires.

Fig. 198 - a chimeskva suato teetem memetaam tersiran se 2000 - Chuchii Libu, endi jega aira melumat ciri-ciri teme Tabus o g termenen holis hatiomma coran terrem pemetaam tersilas sukuntaas.

The war in entage to entirent a model

l. The sage performance due corak teores ini dan members diagennya.

Parol I I delian rum Euricidean

Figure of dan h adalah dua rang haritagan biasa itu dan g . A C \(h^0\) x \(h^0\) — adalah fungsi boleh-beda secara selarjan. Katakan \((x_0,y_0)\) : A di mana \(g(x_0,y_0)\) = 0 dan Jacobian \(\left|\frac{\partial g^1}{\partial y^0}\right| \neq 0\) i, j = 1, ..., n, maka wujudlah \(J_g(x_0)\) sebuah jiranan \(x_0\) dan \(N_g(y_0)\) sebuah jiranan \(y_0\) di mana fungsi \(F: J_g(x_0) = N_g(y_0)\) menyerobul

\[g(x, f(x)) = 0, y = f(x)\]

bagi semua \(\mathbf{x} \in J_{\delta}(\mathbf{x}_0)\) dan \(\mathbf{Y} \in N_{\varepsilon}(\mathbf{y}_0)\). Tambahan pula \(\mathbf{f} \in C^{(1)}(J_{\delta}(\mathbf{x}_0))\).

Buktinya: (lihat Spivar (12))

Ciri tempatan yang jelas di dalam teorem di atas ialah tentang penggunaan Jacobian. Jacobian itu bersifat tempatan kerana ia tidak lain dari penentu perwakilan sebuah penjelmaan linear terhadap asas pirwai. Malahan, telah diketahui umum bahawa matriks

\[\left(\frac{\partial g^{i}}{\partial y^{j}}\right) = \left(Dg^{i}(x_{o}, y_{o})\right) (e_{j})\] di mana \(\mathbf{e}_{\frac{1}{2}} \in \mathbb{R}^{N}\) yang mempunyai komponen sifar melainkan dikeaudukan ke-j dan \(\mathrm{Dg}^1(\mathbf{x}_g,\mathbf{y}_g)\) talan merbitan komponen ke-i bagi fungsi g di \((\mathbf{x}_g,\mathbf{y}_g)\), yang memang diketahui sebagai

\[Dg^{i}(x_{c}, y_{c}) : \mathbb{R}^{n} + \mathbb{R}^{n}\]

suatu pemetaan linear.

Sifat tempatan yang kedua yang terdapat di dalam teorem di atas ialah sudah tentu tentang penggunaan jiranan.

Versi II (dalam ruang Banach)

Katakan E, F, G adalah tiga ruang Banach dan g sebuah pemetaan boleh-beda secara selanjar atas subset terbuka ACE x F ke dalam G. Katakan \((\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\) satu titik dalam A dimana \(\mathbf{g}(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\) = 0 dan terbitan \(\mathbf{D}_2\mathbf{g}(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\) homeomorfisme linear ke seluruh G. Maka; wujudlah sebuah jiranan terbuka \(\mathbf{J}_{\xi}(\mathbf{x}_0)\) pada \(\mathbf{x}_0\) sehinggakan akan terdapat sebuah pemetaan selanjar yang unik atas \(\mathbf{J}_{\xi}(\mathbf{x}_0)\) ke dalam F demikian sehingga \(\psi(\mathbf{x}_0) = \mathbf{y}_0\), \((\mathbf{x}, \psi(\mathbf{x})) \in \mathbf{A}\) dan \(\mathbf{g}(\mathbf{x}, \psi(\mathbf{x})) = 0\) bagi setiap \(\mathbf{x} \in \mathbf{J}_{\xi}(\mathbf{x}_0)\) di mana \(\psi\) bolehbeda secara selanjar dalam \(\mathbf{J}_{\xi}(\mathbf{x}_0)\), dan terbitannya ialah

\[D \psi(x) = -(D_2 g(x, \psi(x))^{-1} o(D_1 g(x, \psi(x)).\]

Bukti: Lihat Dieudonné¹³⁾, halaman 265 - 267.

Perhatikan bahawa terbitan separa \(\hat{v}_2\) \(g(x_0, y_0)\) tidak bersifat sejagat kerana ia melibatkan asas. Malahan jika

\[g : A \subset E \times F \rightarrow G \tag{1}\]

maka

\[Dg : A \to L(E \times F, G)\] (2)

di mana ianya ditakrifkan sebagai

(L(E x F, G) islab set personal linear part F x F ke datas C). Seterusnya jika c: \(I \subset \mathbb{A} + \mathbb{C}\) r F satu lengkungan datas F x I maka \(Dc(t) \in L(\mathbb{A}, E \times F)\). Tetapi \(L(\mathbb{A}, E \times F)\) isomorfle (secara bersahaja) kepada \(E \times F\) dengan menyengutakan Dc(t) can Pc(t) (1), \(1 \in \mathbb{A}\). Jika kita tulis

\[Dc(t) (1) = \frac{dc}{dt} (t)\] (4)

dan cleh sebab

\[g \circ c : I + G, \tag{5}\]

maka \(D(g \circ c)(t) \in L(R, G)\) dan

\[D(g \circ c)(t)(1) = \frac{d(g \circ c)}{dt}(t), 1 \in R.\] (6)

Tetapi

\[D(g \circ c)(1) = Dg(c(t)) \cdot Dc(t)(1)\] \[= Dg(c(t)) \cdot \frac{dc}{dt}(t). \tag{7}\]

Pilih c(t) = at + b, maka (6), (7) dan (8) memberikan

\[Dg(c(t))(a) = \frac{d}{dt} (g \circ c)(t)\] \[= had \frac{(g \circ c)(t + h) - g \circ c(t)}{h}\] \[= had \frac{g(a(t + h) + b) - g(a + tb)}{h}\] \[= had \frac{g(c(t) + ha) - g(c(t))}{h}.\] (10)

Dari (10) jelas menunjukkan bahawa jika \(a = (0, a_F)\) di mana \(a_F \in F\) dan \(0 \in E\) maka (tulis \(c(t) = u = (u_E, u_F) \in E \times F\))

\[Dg(u)(0,a_F) = had \frac{g(u_E, u_F + ha_F) - g(u_E, u_F)}{h}\]

\[= D_2 g(u)(a_F).\] (11)

Jadi dengan menyatakan teorem fungsi tersirat dalam sebutan \(D_2\) g(u) dengan secara taklangsung telah melibatkan koordinat iaitu satu sifat taksejagat (lihat (0.i).

Sementara itu telah disebut dahulu bahawa sebarang teorem pemetaan tersirat dalam sebutan terbitan D adalah tidak diingini untuk suatu rumusan sejagat, kerana pengolah D tidak bersahaja. Ini jelas dari "fatwa rantaian" di mana terbitan pemetaan gubahan tidak memelihara pemetaan gubahan itu, malah

\[D(f \circ g) \neq Df \circ Dg\] tetapi sebaliknya

\[D(f \circ g)(x) = Df(g(x)) \cdot Dg(x). \tag{12}\]

(D dikatakan bukan "fungtor kovarian").

Pengolah yang bersahaja yang ada sangkut-paut dengan terbitan ialah pengolah tangen T.

Jika X dan Y sebarang ruang Banach dan

\[f: V \subset X \to W \subset Y \tag{13}\]

maka Tf, tangen kepada f, ditakrifkan sebagai

\[Tf : TV = V \times X \rightarrow TW = W \times Y \tag{14}\] di mana untuk sebarang (v,x) ε TV

\[Tf(v,x) = (f(v), Df(v)(x).\] (15)

T memanglah pengolah bersahaja, malah teorem berikut adalah benar.

Teorem 1

Katakan f : \(V \subset X \rightarrow W \subset Y\) dan g : \(W \subset Y \rightarrow G \subset Z\), bolehbeda secara selanjar k kali i.i f,g \(\in C^{(k)}\). Maka, g o f \(\in C^{(k)}\) dan

\[T^k(g \circ f) = T^k g \circ T^k f.\]

Bukti: (dengan atwhqt cf. rujukan 8) hal"n"n 9).

Untuk k = 1

\[T(g \circ f)(x,y) = ((g \circ f)(x), D(g \circ f)(x)(y))\]
= \((g(f(x)), Dg(f(x)) \cdot Df(x)(y)).\)

Tetapl

\[(Tg \circ Tf)(x,y) = Tg \circ Tf(x,y)\]
= \(Tg \circ (f(x), Df(x)(y))\)
= \((g(f(x)), Df(f(x)) \cdot Df(x)(y)).\)

Jadl Jelaelah teoreu l-tu benar untuk k = 1.

Katakao lanya benar untuk k = n.

Maka \[T^{n+1}(g \circ f) = T(T^{n}(g \circ f))\]
\[= T(T^{n} g \circ T^{n} f), \text{ oleh hipotesis}\] \[= T^{n+1} g \circ T^{n+1} f, \text{ sebab teorem benar}\] \[= \log k = 1.\]

Q. E. D .

Untuk mendapat teorem pemetaan seJagat di dalarn ruErng Banach klta memerlukan konsep-konsep berlkut.

Takr[f 1

Jlka X nrang-ruaog Banach dan V lal-ah subset terbuka, naka V x X dlkenall sebagaL berkas uektoz, tenrpatut atatt Lipatfunyak tentpatut. V dtkenalt sebagai ruqlg topak.

Takri.f 2

Set V x {O}, 0 e x dlkenall sebagal seksi sifat bagl V x X, manakala set {v} x X, v e V dipanggll serabut atas u bagt V x X.

?al<rif 3

Pemetaan n : V x X + V, dl mana n(v,x) = v dlkenalt sebagaL uqjurut V x X. Perhatlkan bahawa dengan lnl bermakna - l tvl x X - n - (v).

Teorem fungsi tersirat semisejagat (cf. rujukan 8), halaman 28)

Katakan A, E, F, G dan g adalah seperti yang dinyatakan dalam teorem pemetaan tersirat tempatan itu. Jika \(Tg/\pi^{-1}\) (a), \(\forall\) a \(\in\) A, tangen g tersekat kepada serabut atas a bagi A x (E x F) adalah pemetaan surjektif dan \(Tg/A \times \{0\}\), \(0 \in E \times F\) tangen g atas seksi sifar bagi A x (E x F) adalah pemetaan sifar, maka semua keputusan dalam teorem pemetaan tersirat tempatan itu adalah sah dalam suatu jiranan di dalam E.

Bukti:

Kita hanya perlu menunjukkan bahawa hipotesis teorem di atas mengimplikan hipotesis teorem pemetaan tersirat tempatan. \(Tg/\{seksi\ sifar\ bagi\ A\ x\ (E\ x\ F)\}\)

• = Tg, di mana banjarannya ialah Tg(a, 0): ¥ a ε A C E x F dan 0 ε E x F}
• Tg, di mana banjarannya ialah {(g(a), Df(a)(0)) Ψ a ε A C E x F dan 0 ε E x F}
• = Tg, di mana banjarannya ialah {(g(a), 0) Ψ a ε A C E x F dan 0 ε E x F}, sebab Dg(a) pemetaan linear.

Jadi hipotesis Tg/{seksi sifar} itu pemetaan sifar mengimplikan

\[g(a) = 0\], \(\forall a \in A \subset E \times F\).

Ini ialah salah satu hipotesis dalam Teorem Fungsi Tempatan.

• = Tg, di mana banjarannya ialah \(\{Tg(a,b) : b \in E \times F, dan a tetap\}\)
• = Tg, di mana banjarannya ialah \(\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\), dan a tetap\(\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\).

Oleh sebab Tg/{serabut atas a bagi A x (E x F)} surjektif maka sudah pastilah bagi setiap c \(\epsilon\) G wujudlah b \(\epsilon\) E x F di mana

\[Dg(a)(b) = c (i)\]

i.i \(D_1g(a)(b_E) + D_2g(a)(b_F) = c\), \(b_F \in E\) dan \(B_F \in F\) di mana

\(\mathbf{D}_{\mathbf{j}}\mathbf{y}\) ialah terbitan separa ke-i bagi g (lihat Dieudonné, halaman 167).

Khasnya jika c = 0, oleh sebab Dg(a) linear dan injektif maka b = 0 bukanlah hanya satu-satunya penyelesaian (i) itu. Ini bermakna be dan be adalah vektor-vektor saling bergantung secara linear. Jadi \(\mathrm{D}_{1}\mathrm{g}(\mathrm{a})\) atau \(\mathrm{D}_{2}\mathrm{g}(\mathrm{a})\) mestilah salah satunya merupakan homeomorfisme. Ini tidak lain dari hipotesis Teorem Fungsi Tersirat Tempatan.

O. E. D.

Teorem di atas kita namakan semisejagat kenara ia mengandungi unsur tempatan i.i jiranan dalam seksi sifar \(J_{\delta}(x_{0})\) dan tidak meliputi lipatbanyak. Di dalam kasus-kasus amali, kita akan lebih senang jika kita tidak perlu merujukkan kesahan Teorem Fungsi Tersirat di dalam jiranan \(J_{\delta(0)}\) ini kerana ia bukan sahaja sukar mengetahui nilai \(\delta\) itu\(^{14}\)), tetapi amat tidak menyenangkan malah kalau kita perhatikan fungsi

\[\mathbf{g}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\] di mana

\[g : R^2 \to R\] \[g(x;y) = x^2y^2 - 1\]

maka kita akan dapati Teorem Fungsi Tersirat di atas tidak begitu berguna, kerana di samping kewujudan \(\psi\) kita juga boleh mendapatkan satu lagi fungsi tersirat \(\phi\) di dalam g(x,y) = 0yang sifatnya amat tidak diingini. Malah kita boleh ambil

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

Fungsi ini tentu sekali tidak boleh-beda! Contoh ini mengajar kita bahawa untuk mendapat satu Teorem Fungsi Tersirat yang lebih amali kita memerlukan hipotesis tambahan.

Teorem Fungsi Tersirat Sejagat di dalam ruang Banach

Jika hipotesis-hipotesis di dalam Teorem Fungsi Tersirat Semisejagat itu benar dan di samping itu jika g tersekat pada serabut atas \(\mathbf{a}_{E}\) \(\in\) E bagi A \(\subset\) E x F adalah injektif bagi semua \(\mathbf{a}_{E}\), maka sifat-sifat sebarang fungsi tersirat \(\psi\) itu sah di seluruh kawasan \(\pi_{1}(A)\), di mana \(\pi_{1}\) ialah unjuran A ke seluruh komponen pertamanya.

Bukti:

Katakan \(\psi_{\mathbf{x_i}}: J_{\delta_{\mathbf{i}}}(\mathbf{x_i}) \subset \pi_1(\mathbf{A}) \to \pi_2(\mathbf{A})\) ialah fungsi tersirat seperti yang terdapat di dalam Teorem Fungsi Tersirat Semisejagat (atau tempatan itu), untuk suatu \(\mathbf{x_i} \in \pi_1(\mathbf{A})\) dan i \(\in\) I (suatu set indeks). Takrifkan

\[\psi: \pi_1(A) \to \pi_2(A)\] di mana

\[\psi(\mathbf{x}) = \psi_{\mathbf{x_i}}(\mathbf{x}) , \forall \mathbf{x} \in J_{\delta_i}(\mathbf{x_i})\]

Menurut hipotesis, \[\forall x \in J_{\delta_{1}}(x_{1})\] \(J_{\delta_{j}}(x_{j})\) \[g(x, \psi_{x_{1}}(x) = g(x, \psi_{x_{j}}(x)) = 0\]\[=> \psi_{x_{1}}(x) = \psi_{x_{j}}(x).\]

\(\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\)

Sekarang katakan wujud Fungsi Tersirat \(\psi\) yang diberikan oleh

\[\psi(x) = \phi_i(x)\], \(\psi x \in D_{\phi_i} \subseteq J_{\delta_i}(x_i)\)

di mana

\[D_{\phi_1} \cap D_{\phi_1} = 0\] di mana 0 ialah set nul.

Tetapi setiap fungsi \(\phi_i\) ini boleh diperpanjangkan kepada \(\overline{\phi}_i\) supaya \(\overline{\phi}_i = \psi_{\mathbf{x}}\) di atas, dan oleh itu \(\overline{\phi}_i = \overline{\phi}_j\) di atas \(D_{\overline{\phi}_i} \cap D_{\overline{\phi}_i} \neq 0\).

Jadi setiap o adalah keratan dari satu Fungsi Tersirat

unik \(\psi\) di dalam \(\pi_1(A)\).

Q. E. D.