Journals ITB
JETS Journal of Engineering and Technological Sciences
  1. Home
  2. Archives
  3. Vol 14 (1981) Issue 1/2
  4. Articles

Fungsi Distribusi Statistik tN dalam Suatu Penyebaran Individu yang Beraturan dalam Bentuk Hexagon

Published: | Vol 14, Issue 1/2 (1981)

Authors

Abstract

Sari. Statistik pengujian keacakan suatu penyebaran individu pada bidang datar selalu didasarkan pada hipotesis awal H0 bahwa penyebaran individu merupakan suatu realisasi dari suatu proses Poisson. Selanjutnya sebagai hipotesis alternatif biasa dipergunakan;(i). H11: penyebaran individu merupakan suatu realisasi dari suatu proses Thomas.(ii). H12: penyebaran individu adalah teratur dalam bentuk segitiga-segitiga sama sisi.(iii). H13: penyebaran individu adalah teratur dalam bentuk bujursangkar-bujursangkar. Abstract. In order to determine the index of randomness a spatial pattern of objects the null hypothesis Ho that our spatial pattern is a realization of a Poisson

I. PENDAHULUAN

Pengujian keacakan suatu penyebaran individu pada bidang datar selalu didasarkan pada hipotesis awal Ho bahwa penyebaran tersebut merupakan suatu realisasi dari suatu proses Poisson. Jika S adalah daerah studi penyebaran individu, sesungguhnyada tiga kemungkinan bentuk penyebaran.

  • (i) . Pcnyebaran individu adalah mengelompok. Dalam hal;
    • a). penyebaran kelom pok-kelompok individr,r adalai acak
    • b). setiap kelompok mengandung (N + I ) buah individu di mana N adalah peubah acak yang berdistribusi Poisson.
    • Maka penyebaran tersebut dikatakan merupakan suatu realisasi dari suatu proses Thomas.
  • (ij) . Penyebaran individu adalah betul-betul acak. yakni merupakan suatu realisasi dari suatu proses Poisson.
  • (iii). Penyebaran individu adalah teratur.

Proses Thomas dan penyebaran yang teratur dalanr bentuk segitiga-segitiga sama sisi atau bujursangkar-bujunanglar biasa dipergunakan sebagai hipotesis altematif. Selain bahwa hal ini berguna untuk mengukur kuasa dari suatu statistik pengujian, juga berguna untuk pengambilalr keputusan.

Sesungguhnya di samping alternatif-altematif tersebut, masih mungkin bahwa penyebaran individu adalah teratur dalam bentuk hexagon-he.agon seperti terlihat pada Gambar I , atau mungkin altematif-altematif lair. nya. Dalam tulisan ini akan dikemukakan tentang penyebaran yang teratur dalam bentuk hexagon-hexagon.

Gambar 1 Daerah studi S

Dalam literatur-literatur telah banyak dikennikakan : statistik \(t_N\) terhadap alternatif-alternatif di atas (Dr. 1977). Secara umum bentuk daripada statistik \(t_N\) adala

\[t_{\rm X} = n^{-1} \sum_{i=1}^{n} - \frac{r_{ki}^2}{r_{ki}^2 + \alpha t_{1i}^2}\] di mana.

  • (i) . n adalah ukuran contoh.
  • (ii) . \(r_{k\,i}\) adalah jarak antara titik acak i dan individu terdekat ke-k dari i yaitu \(P_i\) (lihat Gambar 2).
  • (iii). \(t_{li}\) adalah jarak antara \(P_i\) dan individu terdekat ke-v. yaiti \(Q_i\), dalam kerucut dengan puncak \(P_i\) dan sudut puncak \(2\alpha\pi\), 0, \(\alpha\) 1, simetris terhadap garis i\(P_i\) (lihat Gambar 2).

Gambar 2 Cara pengambilan contoh dalam daerah S

Dalam tulisan ini kita akan membatasi diri untuk \(k = 1 = \ell\) dan \(\alpha = \frac{1}{2}\). Oleh karena itu, selanjutnya kita tuliskan saja \(r_{1i} = r_i\) dan \(t_{1i} = t_i\).

Karena statistik \(t_N\) di bawah \(H_{14}\) adalah fungsi dari r saja. di mana r adalah jarak antara suatu titik yang diambil secara acak dalam S dan individu terdekat di S, maka untuk menentukan fungsi distribusi dari \(t_N\) kita tentukan terlebih dahulu fungsi distribusi dari r.

2. FUNGSI DISTRIBUSI DARI r

Misalkirr x adalah suatu titik di S yang diantbil secara acak dar'r r adalah jarak dari x ke individrr terdekat di S. Untuk mendekati letak pemrasalahan dari distribusi r di sini dilakukan tiga bcntuk penyederhanaan.

  • ti) . Sctiap individu di S dinyatakan sebagai suatu titik (dalam masalalr ekologi, individu scring diartikan sebagai tumbull-tumbuhan dan S adalah daerah geografis yang dipelajari).
  • (ii) . Daerah studi S adalah suatLr bidang datar.
  • (iii). Sc-tiap daerah di dalanr S yang tidak bcrupa hexagon, nrisalrrya daerah A pada Gambar I, dikeluarkan dari daerah studi.

Semua bentuk penyederhanaan di atas tidak akan berakibat fatal jika daerah S cukup luas dibandingkan dengan luas hexagon. I)engan demikian, karena bentuk setiap hexagon adalah sama, maka setiap daerah di dalam suatu hexagon akan mempunyai peluang yang sama untuk menjadi daerah di mana x terambil. Jadi uni-li: nr:npelajari fungsi distribusi dari r. crrkup dipelajari di dalam sebuah hexagon saja.

Agar supaya individu B ( lihat Gambar 3) adalah individu terdekat dari x, haruslah x terletak di dalam daerah ABCD. Selanjutnya jika panjang segmen BC adalah a, dapat ditunjukkan bahwa fungsi distribusi dari r adalah:

Gambar 3 Hexagon dalam daerah studl

\[F(r) = \begin{cases} \frac{\pi r^2}{3a^2 \sqrt{3}} & ; \quad 0 \le r \le a \\ \frac{1}{a^2 \sqrt{3}} \left\{ \frac{\pi}{3} \left( r^2 - a^2 \right) - r^2 \arccos \frac{a}{r} + a \sqrt{(r^2 - a^2)} \right\} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}} & ; \\ a \le r \le 2a \end{cases}\]

Bukti dari bentuk fungsi distribusi ini dapat dilaksanakan dengan membandingkan, terhadap luas daerah BCD,

  • (i) luas daerah BEF (\(\cdots\)) untuk \(0 \le r \le a\)
  • (ii) . luas daerah AGHI ((())) untuk a \(\leq r \leq 2a\)

Tanpa mengurangi makna, dapat kita ambil panjang sisi hexagon sama dengan 1. Dengan demikian, fungsi kepadatan peluang dari r adalah:

\[f(r) = \begin{cases} \frac{8\pi r\sqrt{3}}{9} & : 0 \le r \le \frac{1}{2} \\ \frac{8\pi r\sqrt{3}}{9} - \frac{8r\sqrt{3}}{3} \arccos \frac{1}{2r}; \frac{1}{2} \le r \le 1 \end{cases}\]

3. FUNGSI DISTRIBUSI DARI \(t_N\)

Di bawah H<sub>14</sub> statistik t<sub>N</sub> berbentuk

\[t_N = n^{-1}\] \(\sum_{i=1}^{n}\) \(\frac{r_i^2}{r_i^2 + \frac{1}{2}}\)

di mana \(r_i\) adalah jarak antara titik acak hasil pengambilan ke-i dan individu terdekat di S, dan n adalah ukuran contoh.

Distribusi t<sub>N</sub> dapat diketahui langsung dari distribusi peubah acak t yang berbentuk:

\[t = \frac{r^2}{r^2 + \frac{1}{2}}\] atau

\[t = \frac{u}{u + \frac{1}{2}\pi}\] di mana u adalah peubah acak yang berupa luas lingkaran berjari-jari r.

(i). Distribusi dari u

Fungsi kepadatan peluang dari u adalah:

\[g(u) = f\left(\left(\frac{u}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \mid J \mid\] dengan J adalah Jacobian transformasi \(u = \pi r^2\). Jadi.

\[g(u) = \begin{cases} \frac{4\sqrt{3}}{9} & ; 0 \le u \le \frac{1}{4}\pi \\ \frac{4\sqrt{3}}{9} - \frac{4\sqrt{3}}{3\pi} & \arccos\sqrt{(\frac{\pi}{4u})} & : \frac{1}{4}\pi \le u \le \pi \end{cases}\]

(ii). Distribusi dari t

Dengan melihat t sebagai fungsi dari u, fungsi kepadatan peluang dari t dengan mudah dapat ditentukan. Fungsi kepadatan peluang tersebut adalah:

\[h(t) = \begin{cases} \frac{2\pi\sqrt{3}}{9(1-t)^2} & ; 0 \le t \le \frac{1}{3} \\ \frac{2\pi\sqrt{3}}{9(1-t)^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3(1-t)^2} & \arccos\sqrt{\frac{1-t}{2t}} & ; \frac{1}{3} \le t \le \frac{2}{3} \end{cases}\]

Dengan demikian, jika \(\mu_t\) dan \(\sigma_t^2\) masing-masing adalah mean dan variansi dari t, maka dengan mempergunakan aturan Simpson kita peroleh bahwa,

\[\mu_{\rm t} \approx 0.2898\]\[\sigma_{\rm t}^2 \approx 2.3442\]

Sebagai akibatnya kita peroleh bahwa, jika ukuran contoh n cukup besar, maka \(t_N\) mempunyai distribusi pendekatan normal dengan mean sebesar 0,2898 dan variansi sebesar 2,3442 n<sup>-1</sup>

References

  1. BESAG J.F., dan J.T. GLEAVES (1973). On the detection of spatial pattern in plant communities. Bull. Inst. Stat. Inst. 45 (1).
  2. DIGGLE P.J., J.E. BESAG dan J.T. GLEAVES (1976). Statistical analysis of spatial point pattern by means of distance methods. Biometrika (32).
  3. DJAUHARI M.A. (1977). Modeles es tests de distribution spatiale. D.E.A., Universite de Montpellier II.
  4. HOLGATE P. (1965). Some new tests of randomness. Journal of Ecology (53).