1. PENDA}IULUAN

Dekomposisi singulir suatu matriks rellX ukuran (p x n) dalarr bentu k yang sederhana adalah dekomposisi dalarrt elemen-elenren karakteristik dari -X X' dan X'X.

Pada umumnya peranan dari baris-baris dan kolonr-kolorn drri X tidlklah sama. Mereka tjdak rrenernpati ruang vektor yang sar)ra. baik nrrrngkin tlirncnsinya nraupur metriknya. Oleh karena itu yang kita hadapi sesunggr.rhnya bukan matriks X akan tetapi suatu triplet (X, M, D) ili rnanl N'l drn lJ adalall nratriksrnatrjks sirnetris definit positif, masing-nrasing Ltkumn (p x p ) rlan (n r n). Matriks M berperan mengukur jarak dan sudut lntara rektor-r't'ktor kolortr dari X. sedangkan D berperan rnengukrrr hal yang sar)ra llltitr \.ktL)r-\ektor baris drri X. N{engingat peranan tersebLtt. nratriks M dan rrrrtriks [) sellnjLrtn!'u disebut nletnk.

Ditinjarr dari segi pelnakaial) seperti d ltr')r anllisis iluta. [cnrtilrr]il dllurr analisis kontponen utatnu. dekontposisi singLrlir bergLrnlr scklli tlultttt trclrtksuttakatr rcdu ksi suatu matriks drta.

^*) Penelilirn ini.,l'lirksrnakNn diJurusrin Pcn(lrdilrD NtrlrI).irrl.r. l,rkLrlr.i.. \l.rr.ir ,rrl,r ,l r) llnLr I,.n!f tihuan Alirnr. In\trtul Teknologi Sandung.

r'*) Do\cn padr Jururan Pendidikrn Matr:n1alik.r. I iikultls \lrlJrj.rtilu rj.rf Ilr,rL l'.ri. r.,lrL .r \l, ll. In\ri tut Tcknologi B ndung, Jalan (ianesa 10. B.rndung.

Ditinjau dari segi teori, banyak pendekatan telah dilaksanakan. Di sini, dengan bantuan instrumen rangkaian dual, pendekatan yang akan dilaksanakan adalah dengan melihat sifat-sifat operator Escoufier dari triplet (X, M, D). Dilaksanakannya pendekatan ini tidak lain dikandung maksud agar dapat:

• a. membuat visualisasi semua mekanisme yang berkaitan dengan dekomposisi singulir.
• b. memberikan peluang dalam pengembangan selanjutnya tentang analisis matriks data tiga dimensi atau lebih, X ukuran \((p \times n \times m)\).

2. RANGKAIAN DUAL YANG INDAH

Misalkan X adalah matriks real ukuran \((p \times n)\) di mana elemen pada baris ke-i dalam kolom ke-j adalah \(x_{ij}\). Pembahasan dalam bagian ini akan dipusatkan pada pembentukan ruang-ruang vektor di mana vektor-vektor kolom dari X terletak, dan ruang-ruang vektor di mana vektor-vektor baris dari X terletak. Selain daripada itu akan ditinjau pula kaitan antar ruang-ruang vektor tersebut.

2.1 Representasi vektor kolom dan vektor baris dari X

Terhadap basis kanonik \(\{e_1, e_2, \ldots, e_p\}\) dari ruang vektor \(E = R^p\), setiap barisan terurut p bilangan \((x_{1j}, x_{2j}, \ldots, x_{pj})\) yang terdiri dari elemen-elemen kolom ke-j dari X, dapat dinyatakan dengan vektor

\[\mathbf{X}^{j} = \begin{pmatrix} \mathbf{x}_{1j} \\ \mathbf{x}_{2j} \\ \vdots \\ \mathbf{x}_{pj} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{p} \mathbf{x}_{ij} \mathbf{e}_{i} ; j = 1, 2, \dots, n\]

Jadi setiap kolom ke-j dari X dinyatakan oleh vektor \(X^j\) di E. Pernyataan ini berarti pula bahwa, untuk setiap i dari 1 sampai dengan p, sumbu yang dibangun oleh vektor \(e_i\) kita kaitkan dengan baris ke-i dari X dalam arti bahwa \(x_{ij}\) adalah harga dari \(X^j\) pada sumbu tersebut.

Demikian pula terhadap basis kanonik \(\{f_1, f_2, \ldots, f_n\}\) dari \(F = R^n\), setiap baris ke-i dari \(X; i = 1, 2, \ldots, p\), dapat dinyatakan oleh vektor \(X_i\) di F sebagai berikut:

\[\mathbf{X}_{i} = \begin{pmatrix} \mathbf{x}_{i1} \\ \mathbf{x}_{i2} \\ \vdots \\ \mathbf{x}_{in} \end{pmatrix} = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{x}_{ij} \mathbf{f}_{j}\]

Dengan alasan yang sama seperti di atas, hubungan ini berarti pula bahwa sumbu yang dibangun oleh \(f_i\) tidak lain adalah kolom ke-j dari X; y = 1, 2, ..., n.

Pendekatan yang lebih modern tentang arti geometris baris-baris dan kolom-kolom suatu matriks real, adalah dengan memandang ruang-ruang dual \(E^*\) dari E dan \(F^*\) dari F. Misalkan \(\{e_1^{\ *}, e_2^{\ *}, \ldots, e_p^{\ *}\}\) dan \(\{f_1^{\ *}, f_2^{\ *}, \ldots, f_n^{\ *}\}\) adalah basis-basis dual kanonik masing-masing dari \(E^*\) dan \(E^*\):

\[e_i^*(e_j) = \delta_{ij}\] dan \[f_k * (f_1) = \delta_{k1}\] di mana \(\delta_{ij}\) dan \(\delta_{kl}\) adalah delta Kronecker.

Bila \(f_j^*\) diterapkan pada vektor \(X_i\), kita peroleh bahwa, untuk setiap i dari 1 sampai dengan p;

\[f_i * (X_i) = x_{ii}; j = 1, 2, ..., n.\]

Ini berarti bahwa harga dari \(f_j^*\) pada baris ke-i dari X, tidak lain adalah elemen vektor kolom ke-j dari X pada baris tersebut. Dengan demikian vektor \(f_j^*\) di \(F^*\) adalah representasi dari kolom ke-j dari X: j = 1, 2, ..., n.

Dengan cara dan alasan yang sama, setiap vektor \(e_1^*\); i = 1, 2, ..., p, tidak lain adalah representasi baris ke-i dari X pada \(E^*\).

Sebagai kesimpulan dapat dikemukakan bahwa, untuk setiap j dari 1 sampai dengan n, terhadap kolom ke-j dari X dikaitkan:

i vektor X^j di E

ii sumbu yang dibangun oleh vektor f_i di F

iii bentuk linear f_i* di F*.

Demikian pula, untuk setiap i dari 1 sampai dengan p, terhadap baris ke-i dari X dikaitkan:

i vektor X_i di F

ii sumbu yang dibangun oleh vektor e, di E

iii bentuk linear e₁* di E*.

2.2 Matriks X sebagai transformasi linear

Dari pembahasan dalam butir 2.1 kita lihat bahwa setiap kolom dari X mempunyai dua representasi vektor; satu di E dan satu lagi di F*. Demikian pula halnya dengan setiap baris dari X. Melihat hal ini, sewajarnyalah jika kita mempermasalahkan hubungan antara \(X_j^{\hat{i}}\) di F dan \(f_j^{**}\) di F*, serta antara \(X_j^{\hat{i}}\) di F dan \(e_i^{**}\) di E*.

Pandang transformasi linear:

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

untak setiap j dari 1 sampai dengan n.

Terhadap basis-basis kanonik dari F* dan dari E di atas, kita lihat bahwa matriks transformasi dari t tidak lain adalah matriks X sendiri. Jadi kita peroleh diagram;

\[F^* \xrightarrow{X} E\] \[f_i^* \longleftarrow X^j\]

Dengan cara yang sama, matriks transformasi dari transformasi linear yang memetakan \(e_i^*\) di \(E^*\) menjadi \(X_i\) di F adalah X' yaitu transpose dari X:

\[E^* \xrightarrow{X'} F\] \[e_i^* \longleftarrow X_i\]

2.3 Rangkaian dual

Misalkan M (p \(\times\) p) dan D(n \(\times\) n) adalah metrik-metrik (Euclides) yang diterapkan masing-masing pada E dan F. Metrik M berperan mengukur jarak dan sudut antar dua vektor kolom dari X:

\[E \xrightarrow{M} E^*\] \[x \longmapsto M_X\] di mana \(M_X(y) = M(x, y) = (x, y)_M = x' M y untuk setiap y di E. Sedangkan metrik D berperan mengukur jarak dan sudut antar dua vektor baris dari X:\)

\[F \xrightarrow{D} F^*\] \[x \longmapsto D_x\]

Di mana \(D_x(y) = D(x, y) = \langle x, y \rangle_D = x' D y untuk setiap y di F.\)

Dari semua pembicaraan terdahulu, dengan mengambil transformasi-transformasi:

\[V = X D X'\] dan \(W = X' M X\) kita peroleh, i diagram komutatif,

\[\begin{array}{cccc} E & & X & & F^* \\ M \downarrow \uparrow V & & W \downarrow \uparrow D \\ F^* & & X' & & F \end{array}\] yang disebut rangkaian dual yaitu rangkaian dari semua transformasi linear dan semua ruang vektor yang berkaitan dengan triplet (X, M, D), di mana

\[X(f_j^*) = X^j\] : \(j = 1, 2, ..., n\)
\(X'(e_i^*) = X_i\) : \(i = 1, 2, ..., p\)

• ii bahwa V dan W adalah bentuk-bentuk bilinear simetris semi definit positif dan memenuhi.
  • a) untuk setiap vektor a dan b di F*,

\[\langle a, b \rangle_{W} = a' W b = a' X' M X b = (Xa)' M (Xb)\]
= \(\langle X (a), X (b) \rangle_{M}\)
Khususnya, \(\langle f_{j}^{*}, f_{j}^{*}, * \rangle_{W} = \langle X^{j}, X^{j'} \rangle_{M}\)

Catatan Karena M definit, maka W(a, a) = 0 iika dan hanya jika a di Ker (X).

Jadi W adalah definit positif jika dan hanya jika X injektif. Selanjutnya, dalam pemakaian, biasanya \(p \le n\) sehingga X tidak injektif yang berarti bahwa W hanyalah semi definit positif.

b) untuk setiap vektor x dan y di E*,

\[\langle x, y \rangle_{V} = x'Vy = x'XDX'y = (X'x)D(X'y)\]
=\(\langle X'(x), X'(y) \rangle_{D}\)

Khususnya, \(\langle e_i^*, e_{i'}^* \rangle_V = (X_i, X_{j'})_D\).

Di sini pun berlaku sifat bahwa V adalah definit positif jika dan hanya jika X' injektif.

Dalam pembahasan selanjutnya, kita akan selalu mempergunakan instrumen rangkaian dual di atas sebagai alat visualisasi dan sekaligus sebagai tempat berpijak.

3. OPERATOR KARAKTERISTIK DARI (X, M, D)

Telah kita ketahui bahwa setiap kolom dari X dapat dinyatakan oleh suatu vektor di E. Bentuk konfigurasi dari vektor-vektor kolom tersebut, terhadap metrik M, dinyatakan oleh matriks W yang merupakan pemetaan linear dari F* ke dalam F. Dalam pembahasan ini bentuk konfigurasi tersebut adalah merupakan pusat kajian. Dengan demikian kita akan memusatkan perhatian pada operator WD yang merupakan operator dari F ke dalam dia sendiri.

Kedua sifat berikut memperlihatkan hubungan antara elemen-elemen karakteristik dari operator-operator MV dan WD.

Sifat 1 Jumlah semua harga karakteristik dari operator-operator MV, VM, dan WD adalah sama.

Sifat ini jelas sekali; cukup dilihat trace dari ketiga operator tesebut.

Sifat 2. Jika a di E*. MV a = \(\lambda\) a, dan c = X'(a), maka WD c = \(\lambda\) c. Sebaliknya setiap vektor c di F yang memenuhi WD c = \(\lambda\) c dengan \(\lambda \neq 0\), adalah berbentuk c = X'(a) di mana a di E* dan MV a = \(\lambda\) a.

Bukti:

Pernyataan pertama adalah jelas. Oleh karena itu kita buktikan saja pernyataan kedua. Dengan melihat pada rangkaian dual, dari hubungan WD \(c = \lambda c\) kita peroleh:

\[MVMXD c = \lambda MXD c\]

Tulis b = MXD c. Jadi \(X'(b) = X'MXD c = WD c = \lambda c\). Karena \(\lambda \neq 0\), dengan mengambil \(a = \lambda^{-1} b\), kita peroleh c = X'(a) di mana a di E* dan a memenuhi \(MV a = \lambda a\).

Sifat-sifat itulah, selain bahwa WD ditentukan oleh X, M, dan D, yang membuat operator WD sebagai operator karakteristik dari triplet (X, M, D). Operator WD ini bisa disebut operator Escoufier.

4. HASIL-HASIL PRAKTIS YANG DIPEROLEH

Misalkan WD \(c_i = \lambda_i c_i\), \(c_i \neq 0\), \(i = 1, 2, \ldots\) n dan \(\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \ldots \geqslant \lambda_r \geqslant \lambda_{r+1} = \ldots = \lambda_n = 0\) di mana r adalah rank dari WD. Jadi untuk setiap i dari I sampai dengan r. \(c_i = X'(a_i)\) untuk suatu \(a_i\) di \(E^*\). Di sini kita kenali bahwa bila \(\|c_i\|_{D}^2 = \lambda_i\), \(c_i\) tidak lain komponen utama ke-i dari triplet (X, M, D) untuk setiap i dari I sampai dengan r.

Dalam pembahasan selanjutnya kita hanya akan memperhatikan akar karakteristik yang tidak nol.

Dengan mengambil \(\|\|\mathbf{c}_i\|\|_{\mathbf{D}}^2 = \lambda_i\), maka dengan sedikit manipulasi operasi-operasi matriks kita peroleh sifat berikut.

Sifat 3. Jika VM \[u_i = \lambda_i u_i\], \(u_i\) di E; \(i = 1, 2, ..., r\) dan panjang \(u_i\) terhadap metrik M adalah 1, maka \(u_i = \lambda_i^{-1}\) XD \(e_i\).

Jika selanjutnya sifat 2 dan sifat 3 digabungkan, maka kita peroleh akibat berikut.

Akibat 1. Untuk setiap i dari 1 sampai dengan r berlaku:

i \[a_i = M u_i\] atau \(u_i = M^{-1} a_i\)
\nii \(u_i = \lambda_i^{-1} V a_i\)
\niii \(\|a_i\|_{M^{-1}} = 1\)
\niv \(\|a_i\|_{V}^2 = \lambda_i\)

Catatan. Vektor-vektor \(\mathbf{u}_i\) dan \(\mathbf{a}_i\) biasa disebut sebagai sumbu utama ke-i dan faktor utama ke-i.

Ketiga vektor \(\mathbf{c}_i\) , \(\mathbf{u}_i\) dan \(\mathbf{a}_i\) sekarang dapat dirangkumkan dalam hubungan linear berikut.

\[c_i = X'(a_i) = X'Mu_i\]
\(u_i = \lambda_i^{-1}Va_i = \lambda_i^{-1}XDc_i\)

Akibat 2. (Dekomposisi singulir). Matriks D dapat kita tuliskan sebagai D = T'T di mana T adalah suatu isomorfisma dari F ke dalam dia sendiri. Isomorfisma ini menimbulkan perubahan metrik di dalam F menjadi metrik satuan 1 ukuran (n × n). Selanjutnya dari hubungan WD \(c_i = \lambda_i c_i dan \|c_i\|_D^2 = \lambda_i\) kita peroleh bahwa vektor

\[y_i = T(\lambda_i^{-1/2} c_i)\]

memenuhi \(W_0\) \(y_i = \lambda_i\) \(y_i\) dan \(\|y_i\|_1^2 = 1\), di mama \(W_0 = TWT'\). Dengan mengambil kumpulan \(\{y_1, y_2, \dots, y_r\}\) yang I-ortonormal, maka kumpulan tersebut dapat kita lengkapi menjadi \(\{y_1, y_2, \dots, y_n\}\) yang merupakan basis I-ortonormal dari F [Lihat Halmos (1958), Theorem, halaman 127]. Vektor-vektor \(y_i\); i > r, adalah vektor karakteristik dari \(W_0\) dengan harga karakteristik sama dengan nol. Selanjutnya matriks Y, ukuran \((n \times n)\), dengan \(y_i\) sebagai kolom ke-i, memenuhi sifat:

\[YY' = I \quad dan Y'Y = I\]

Telah kita ketahui bahwa antara \(u_i\) dan \(c_i\) terdapat hubungan linear berikut.

XD \[c_i = \lambda_i u_i\] atau XT' \(y_i = \lambda_i^{\frac{1}{2}} u_i\)

untuk setiap i dari 1 sampai dengan r.

Jika kedua ruas dikalikan, dari kanan, dengan \(y_i{}'\) dan kemudian dijumlahkan untuk semua i dari 1 sampai dengan n, maka kita peroleh hubungan,

\[XT'\sum_{i=1}^{n} y_{i} y_{i}' = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{i}^{\frac{1}{2}} u_{i} y_{j}'\]

Sedangkan \(\sum_{i=1}^{n} y_i y_i' = YY' = I\). Jadi. akhirnya kita peroleh hubungan (dekomsisi singulir) bahwa:

\[X = \sum_{i=1}^{r} u_i c_i'\]

5. ASPEK PEMAKAIAN

5.1 Reduksi matriks X

Misalkan k suatu bilangan asli antara 1 dan r, dan \(\sigma\) suatu permutasi pada kumpulan \(\{1, 2, \ldots, r\}\).

Selanjutnya kita tuliskan,

\[X_{\sigma/k} = \sum_{i=1}^{k} u_{\sigma(i)} c'_{\sigma(i)}\]

Khususnya bila k = r.

\[X_{\sigma/r} = X = \sum_{i=1}^{r} u_i c_i'\] untuk setiap permutasi o

Jika \(\sigma_0\) adalah permutasi — satuan, yakni \(\sigma_0(i) = i\) untuk setiap i dari 1 sampai dengan r, secara khusus pula kita tuliskan:

\[X_{(k)} = X_{\sigma_0/k} = \sum_{i=1}^{k} u_i c_{i'}\]

Dengan sedikit perhitungan yang sederhana, untuk setiap permutasi \(\sigma\), matriks \(X_{\sigma/k}\) dapat kita tuliskan sebagai perkalian dua matriks U ukuran \((p \times k)\) dan C' ukuran \((k \times n)\):

\[X_{abc} = UC'\] di mana kolom ke-i dari U adalah vektor \(u_{\sigma(i)}\) dan kolom ke-i dari C adalah vektor \(c_{\sigma(i)}\).

Misalkan MAT_pn adalah ruang vektor semua matriks real ukuran \((p \times n)\). Untuk mengartikan dan mengkuantitatifkan pengertian reduksi matriks \(X(p \times n)\), penulis mengusulkan dua proposisi berikut. Proposisi 1 berisi usulan berbentuk alat reduksi dan Proposisi 2 mengemukakan hasil reduksi beserta kualitas reduksi. Untuk itu kita pergunakan definisi matriks-matriks \(M(p \times p)\) dan \(D(n \times n)\) seperti pada butir 2,3.

Proposisi 1 Pemetaan \(f: MAT_{pn} \times MAT_{pn} \longrightarrow R\) yang didefinisikar oleh f(A, B) = Trace (ADB'M) untuk sefiap A dan B di \(MAT_{pn}\) adalah suati bentuk bilinear simetris definit positif.

Bukti Sifat bilinear dan simetris dari f adalah jelas sebab;

Trace \[(P + O) = Trace(P) + Trace(O)\]

Trace \((\alpha P) = \alpha\) Trace (P)

Trace \[(P) = Trace(P')\]

Trace (RS) = Trace (SR)

untuk setiap \(\alpha\) real, P dan Q bujur sangkar serta setiap matriks R(1 x m) da S(m x 1). Akan ditunjukkan sekarang bahwa f definit positif.

\[f(A, A) = Trace (ADA'M)\] \[= Trace (AP'PA'Q'Q), dengan P'P = D dan Q'Q = M\] \[= Trace (QAP'PA'Q')\] \[= Trace (RR'), dengan R = QAP'\] \[= \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{n} r_{ij}^{2}\] dengan \(r_{ij}\) adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari R. Jelas bahwa \(f(A, A) \ge 0\) untuk setiap A di MAT_pn dan f(A, A) = 0 jika dan hanya jika R = 0. Sedangkan R = QAP' atau \(A = Q^{-1}R(P')^{-1}\). Jadi f(A, A) = 0 jika dan hanya jika A = 0.

Akibat. Pemetaan f adalah suatu produk skalar di MAT_pn dan besaran \(\| A \| = \sqrt{\text{Trace (ADA'M)}}\) adalah norma dari A, untuk setiap A di MAT_pn.

Proposisi 2. Untuk setiap permutasi \(\sigma\) pada kumpulan \(\{1, 2, ..., r\}\) dan setiap k dari 1 sampai dengan r, matriks \(X_{\sigma/k}\) memenuhi:

i \(X_{\sigma/k}\) di MAT_pn dan rank \((X_{\sigma/k}) = k\)

ii norma matriks \((X - X_{\sigma/k})\) adalah,

\[||| \mathbf{X} - \mathbf{X}_{\sigma/\mathbf{k}} ||| = \sqrt{\sum_{i=k+1}^{r} \lambda_{\sigma(i)}}\]

iii \[f(X_{\sigma/k}, (X - X_{\sigma/k})) = 0\]

Bukti. Pernyataan pertama adalah jelas, sebab \(X_{\sigma/k} = UC'\) di mana \(U(p \times k)\), \(C(n \times k)\) dan masing-masing mempunyai rank sebesar k. Untuk membuktikan pernyataan kedua, kita pergunakan ketiga hubungan berikut.

= \(\sum_{i=1}^{k} \lambda_{\sigma(i)}\) sebab \(u'_{\sigma(i)}\) M \(u_{\sigma(i)}\) = 1; i = 1, 2, ..., r.

a) \[f(X, X) = \operatorname{Trace} (XDX'M) = \operatorname{Trace} (X'MXD)\] \[= \operatorname{Trace} (WD) = \sum_{i=1}^{T} \lambda_{i}\] \[= \sum_{i=1}^{T} \lambda_{\sigma(i)} \text{ untuk setiap permutasi } \sigma\] b). \[f(X, X_{\sigma/k}) = f(X_{\sigma/k}, X_{\sigma/k}) + \sum_{i=k+1}^{T} \sum_{j=1}^{K} f(u_{\sigma(i)} c'_{\sigma(i)}, u_{\sigma(j)} c'_{\sigma(j)})\] \[= f(X_{\sigma/k}, X_{\sigma/k}) \text{ sebab bila } i \neq j, c'_{\sigma(i)} D c_{\sigma(j)} = 0\] c). \[f(X_{\sigma/k}, X_{\sigma/k}) = \sum_{i=1}^{K} \sum_{j=1}^{K} f(u_{\sigma(i)}) c'_{\sigma(i)}, u_{\sigma(j)} c'_{\sigma(j)})\] \[= \sum_{i=1}^{K} f(u_{\sigma(i)} c'_{\sigma(i)}, u_{\sigma(i)} c'_{\sigma(i)})\]

Jadi: \[\| \mathbf{X} - \mathbf{X}_{\sigma/k} \|^2 = \mathbf{f}(\mathbf{X} - \mathbf{X}_{\sigma/k}, \mathbf{X} - \mathbf{X}_{\sigma/k})\]
\[= \mathbf{f}(\mathbf{X}, \mathbf{X}) - 2\mathbf{f}(\mathbf{X}, \mathbf{X}_{\sigma/k}) + \mathbf{f}(\mathbf{X}_{\sigma/k}, \mathbf{X}_{\sigma/k})\] \[= \sum_{i=k+1}^{k} \lambda_{\sigma(i)}\]

Selanjutnya dengan menggunakan hubungan b) di atas pernyataan ketiga segera kita peroleh keabsahannya.

Dari ketiga butir pada Proposisi 2 dapat dikemukakan kesimpulan berikut:

• 1. Untuk setiap permutasi \(\sigma\), \(X_{\sigma/k}\) adalah matriks ukuran (p x n), dengan ranknya sebesar k, yang merupakan reduksi dari matriks X.
• 2. Untuk setiap permutasi \(\sigma\), kualitas reduksi dari matriks \(X_{\sigma/k}\) dapat dihayati melalui kedua besaran di bawah ini.
  • a). Dengan melihat X dan \(X_{\sigma/k}\) sebagai vektor-vektor dalam ruang vektor \(MAT_{pn}\), kualitas \(X_{\sigma/k}\) dapat dinyatakan oleh perbandingan norma dari \(X_{\sigma/k}\) terhadap norma dari X:

\[\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} \lambda_{\sigma(i)}}{\sum_{i=1}^{r} \lambda_{\sigma(i)}}} \times 100\%\]

b). Dilihat dari segi statistika, bila X merupakan matriks hasil pengukuran p buah variabel kuantitatif pada n buah individu dan D merupakan metrik diagonal dengan elemen diagonal ke-j adalah bobot vektor kolom ke-j dari X, maka \(\lambda_{\sigma(i)}\) tidak lain adalah variansi dari komponen utama \(c_{\sigma(i)}\) [Lihat bagian 4, Paragraf pertama]. Selanjutnya bila \(M = I_p\), \(\sum_{i=1}^{r} \lambda_{\sigma(i)}\) adalah variansi total dari semua variabel [Lihat sifat1, bagian 3]. Dalam artian variansi ini, biasanya diambil besaran:

\[\frac{\frac{k}{i+1}}{\sum_{i=1}^{k} \lambda_{\sigma(i)}} \times 100\%\]

sebagai kualitas reduksi X_o/k.

Berdasarkan kedua ukuran kualitas di atas, kita peroleh bahwa \(X_{(k)}\) adalah matriks reduksi dari X yang paling baik di antara semua \(X_{\sigma/k}\)

3 Misalkan MAT_pn(k) = \(\{X_{a/k} + \sigma \text{ adalah permutasi pada } \{1, 2, ..., r\}\}\). Jelas MAT_pn(k) adalah kumpulan bagian dari MAT_pn), tapi tidak merupakan ruang bagian. Berdasarkan butir (iii). Proposisi 2, kita lihat bahwa \(X_{a/k}\) tidak lain adalah proyeksi tegak lurus (dalam artian produk skalar f) dari X pada

\(\mathrm{MAT_{pn}}(k)\). Oleh karena itu walaupun kualitas reduksinya tinggi, karena \(\mathrm{MAT_{pn}}\) hanya merupakan kumpulan bagian dari \(\mathrm{MAT_{pn}}\), matriks \(\mathrm{X_{(k)}}\) belum tentu merupakan matriks yang paling dekat ke X di antara serrua nratriks di l\fA'[pn yang nrempunyai rank sarla dengan k ( r.

5.2 Pengertian geomerris

Dari hubungan ci = X'lt{ ui dan Lri = Irl XD e, rlupat kir^t h.rel baltwlL:

• i elemen uii dari U'; i= 1,2...., k dan j = I . 2, . . . . p. tidak lain :rdalah kordinat 'iektor baris ke-j dari X pada konrponen utanla ke-i, drbagi oleh \, di F .
• ii elemen cU dari C' ,i = 1.2.....kdanj= l.l.....n,adalah kortlinat vcktor kolom kej dari X pada sumbu utama ke-i di E.