SARI

Tulisan ini menyajikan perancangan strategi kendali poros tukik suatu wahana antariksa yang memiliki konfigurasi Satelit Siaran Langsung yang terdiri dari badan utama kaku dan panel surya lentur berukuran besar. Konsep pengubahan momentum roda reaksi dua engsel diterapkan untuk membangkitkan torsi kendali poros tukik. Dalam analisis di sini ditemukan kopling silang (cross coupling) pada ketiga poros olah gerak wahana. Untuk memperkecil kopling tersebut, strategi kendali poros tukik dibangun berdasarkan prinsip maksimum dari Pontryagin. Sebagai pembanding, teori kendali klasik orde dua juga diterapkan. Di sini dapat ditunjukkan kelebihan prinsip maksimum Pontryagin.

Daftar lambang utama

\(D_{x,z}\) = koefisien peredaman

E = harga riil negatif akar karakteristik

H = fungsi Hamilton

\(H_h\) = momentum sudut roda reaksi

^*) Staf Proyek Sainsat-LAPAN (Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional); peserta program S3, Lab. Motor Bakar dan Sistem Propulsi, Jur. Mesin-ITB; anggota AIAA (the American Institute of Aeronautics and Astronautics); anggota Sigma Xi (the Scientific Research Society).

\,r,, = momelr inersia utama wahana

Inr,y = momen incrsia lranwersal dan kutub roda reaksi

Jo = fungsi bobot poros tukik

Kr,, = tetapan pegas

Kt,r, = tetapan torsi dan kecepatan motor DC penggerak roda

Pc = masukan langleh satuan

Pt.Z = monlcntum dinamika poros tukik

Ro = tahanan armatur motor DC

s = operator l-aplace

St.: = akar-akar persamaan karakteristik

t = parameter waktu

Un = fungsi kendali tukik nondirnensional

Ui = fungsi kendali yang diperkenankan (admissihle control futtction )

V - tegangaJr masukan motor DC

X,,, ., = variabel keadaan poros tukik

6(f) = fungsi unit impuls \Dirac deha function)

O.,t,0 = sudut Euler poros gulirg. toleh, dan tukik

@o = kecepatan sudut orbit (7.26X l0-5 rad/detik)

{l = kccepatiln roda

r = parameter waktu nondimensional

Pendahuluan

Sistem dalam perancangan ditunjukkan dalam gambar I berupa suatu wahana antariksa yang terdiri dari badan utama kaku dan panel surya simetrik lentur berukuran besar. Seperti diketahui, konfigurasi struktur semacam ini pada umum.nya diterapkan pada satelit yang memerlukan penyediaan daya listrik yang besar seperti pada Satelit Siaran I-angsung (SSL). Sebagai pembangkit torsi pengendalian digunakan roda reaksi tunggal berkecepatan tinggi yang dipasang pada suatu sistem engsel berderajat kebebasan dua. Di sini beke4ia pegas berperedam torsional pada setiap poros engsel. Roda reaksi tersebut digcrakkan oleh sebuah motor yang dapat diatur kecepatannya, sedangkan kedua rangka engselnya digerakkan masing-masing oleh sebuah aktuator yang dipasang secara seri, seporos dengan pegas berperedanr torsional. Struktur dasar stabilisator satelit ini ditunjukkan pada gambar 2. Dengan piranti ini, satelit dapat dikendalikan dalam dua mode, pasif dan aktif. Torsi kendali pasif dihasilkan melalui aksi pegas berperedam torsional, sedangkan torsi kendali aktif diperoleh baik melalui pengaturan kecepatan roda reaksi (poros tukik)maupun pengaturan arah suCut momentum roda reaksi melalui aktuator engsel(poros guling-tolch).

Dalam tulisan ini analisis akan berorientasi pada rancangan sistem kendali poros tukik dengan pengatumn perubahan moluentum roda. Masalah utama ysng, ditemui dalam rancangan sistem kendali ini adalah keterbatasan tlacrah devilsi kcccpxtan roda selama pengendalian berlangsung (t l0% dari kecepatan nonriral 1000 rpm) dan kopling silang percepatan roda pada ketiga poros oleh gcrak wahana. Sistem desaturasi momentum dilakukan nrelalui aksi sistem propulsi rokct rctro. Sisteni ini secara otomatis akan bekerja jika kcctpatan rotla reaksi melampaui f 10% l(ecepatan nominahya. Mengi,ngat keterbatasan bahan bakar roket retro pada satelit, pengaturan deviasi kecepatan roda sekecil nrungkin juga nrerupakan salah satu kriteria pembangunan strategi kendali poros tukik. Berbeda dengan metode kendali klasik, dengan penerapan prinsip maksinrurn dari Pontryagin, kecepatan roda akan kembali pada kecepatan nominalnya sctiap akhir proses pengendalian. Di samping itu, pengeluaran energi dan waktu transisi pengenda [an adalah minimum.

Gamba. 1b Diagram olah-gerak wahana antariksa dalam studi

Gambar 1a Konfigurasi Satelit Siaran Langsung

Gambar 2 Konstruksi dasar roda reaksi dua engsel dengan pegas berperedam torsinal (pustaka 2).

Persamaan gerak sistem

Persamaan gerak lengkap satelit dengan panel surya lentur berstabilisator RRDE telah diturunkan dengan metode quasi-Lagrangian berdasarkan energi kinetik total sistem dalam pustaka 1, yaitu:

1. Dinamika badan utama plus panel surya (Mode kaku)

Guling/ \[I_{w_{T}}\ddot{\gamma}_{x} + \bar{I}_{x}\ddot{\phi} + \{\omega_{o}^{2}(\bar{I}_{y} - \bar{I}_{z}) + H_{b}\omega_{o}\} \phi + \{(\bar{I}_{y} - \bar{I}_{x} - \bar{I}_{z})\omega_{o} + H_{b}\} \psi\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\] \[\text{(1)}\] \[\text{Toleh/} \quad I_{w_{T}}\ddot{\gamma}_{z} + \bar{I}_{z}\ddot{\psi} + \{\omega_{o}^{2}(\bar{I}_{y} - \bar{I}_{x}) + H_{b}\omega_{o}\} \psi - \{(\bar{I}_{y} - \bar{I}_{x} - \bar{I}_{z})\omega_{o} + H_{b}\} \phi\] \[+ \{\omega_{o}^{2}(I_{w_{y}} - I_{w_{T}}) + H_{b}\omega_{o}\} \gamma_{z} - I_{w_{y}}\Omega\gamma_{x} - \{\omega_{o}(I_{w_{y}} - 2I_{w_{T}}) + H_{b}\} \gamma_{x} = T_{d_{z}}\] \[(2)\]

Tukik/ \[I_y \theta - I_{w_y} \Omega = T_{d_y}\] (3)

2. Dinamikt engsel rcdo reaksi

Guling/ \[I_{w_{T}}(\gamma_{x} + \phi) + \{\omega_{o}^{2} (I_{w_{y}} - I_{w_{T}}) + H_{b} \omega_{o} \} \gamma_{x} + \{\omega_{o} (I_{w_{y}} - 2I_{w_{T}}) + H_{b} \} \gamma_{z} + \{\omega_{o} (I_{w_{y}} - 2I_{w_{T}}) + H_{b} \} \psi + \{\omega_{o}^{2} (I_{w_{y}} - I_{w_{T}}) + H_{b} \omega_{o} \} \phi + K_{x} \gamma_{x} + D_{x} \gamma_{x} = T_{\gamma_{x}}\] \[(4)\]

Toleh/ \[I_{w_{T}}(\gamma_{z} + \psi) + \{\omega_{o}^{2} (I_{w_{y}} - I_{w_{T}}) + H_{b} \omega_{o} \} \gamma_{z} - \{\omega_{o} (I_{w_{y}} - 2I_{w_{T}}) + H_{b} \} \gamma_{x} - \{\omega_{o} (I_{w_{y}} - 2I_{w_{T}}) + H_{b} \} \phi + \{\omega_{o}^{2} (I_{w_{y}} - I_{w_{T}}) + H_{b} \omega_{o} \} \psi + K_{z} \gamma_{z} + D_{z} \gamma_{z} = T_{\gamma_{z}}\] \[(5)\]

3. Motor rodo reaksi

\[I_{w_y}(\dot{\Omega} - \ddot{\theta}) = T_m \tag{6}\]

4. Dinamika etastik panel wrya

\[\ddot{q}_n + 2\xi_n \omega_n \dot{q}_n + \omega_n^2 q_n = (Q_p^{(n)} + Q_a^{(n)} + Q_g^{(n)} + Q_e^{(n)}) / M_n\] (7)

5. Torsi gangguan luar

\[T_{d_i} = T_{p_i} + T_{g_i} + T_{g_i}^{(n)} + T_{e_i}, \qquad i = x, y, z\] (8)

In", [*, = momen inersia kutub dan transversal roda

Hb = momentum sudut roda

Tr., i=x,z = torsi yang dibangkitkan oleh aktuator engsel

L, i=x,y,z = momen inersla utama wahana

Tr. i=x,z = torsi kendali pasif dari sistem pegas berperedam torsional

Tr, i=x,!,2 = torsi,efek gradien gravitasi bumi badan utama wahana plus panel surya mode badan kaku

St , i=x,-r..,2 = torsi.,efek gradien gravitasi bumi struktuf panel surya mode elastik

T_{e_i}^{(n)}, i=x,y,z
               = torsi antaraksi gerakan elastik struktur panel surya
                 = posisi sudut roda (catatan: \dot{e} = \Omega)
 T_m
                 = torsi penggerak dari motor roda
                 = gaya mode elastik dari sistem kendali pasif
                 = gaya mode elastik dari sistem kendali aktif (aktuator engsel)
                 = gaya mode elastik dari efek gradien gravitasi bumi
Q_{\rho}^{(n)}
                 = gaya mode elastik dari gerakan lentur panel surya
M_n
                 = massa mode elastik
                = koordinat mode elastik
q_n
ξ,,
                
    rasio peredaman mode elastik

\omega_n
                = frekuensi mode elastik
22
                = nomor mode elastik

Dalam pustaka 1 ditunjukkan bahwa kopling dinamik tidak hanya timbul oleh adanya percepatan/perlambatan roda akan tetapi juga akibat adanya gerakan pelenturan-arah-dalam (in-plane-bending) dan gerakan elastik puntir (twisting) panel surya melalui pengaruh gradien gravitasi bumi dalam komponen \(T_{g_i}^{(n)}\), i=x,y,z pada persamaan gerak di atas. Kopling dinamik gerakan elastik struktur panel surya tersebut kenyataannya dapat dihilangkan dengan penerapan sistem konstruksi Improved Composite Sandwich-Aluminium Honeycomb sehingga panel surya dapat dianggap suatu badan kaku pada poros tukiknya. Akan tetapi, seperti yang dapat diamati dalam persamaan gerak lengkap di atas, komponen sumber torsi kendali poros tukik \(\dot{\Omega}\), timbul pada poros gulingtolch badan utama kaku dan koordinat mode elastik panel surya (berada di dalam komponen \(Q_a^{(n)}\) persamaan 7). Dengan adanya komponen tersebut, gerakan poros guling-toleh dan gerakan elastik akan terganggu setiap kali eksekusi kendali poros tukik dilakukan. Dengan kondisi seperti ini stabilitas wahana tidak akan dicapai. Untuk mengatasinya, faktor perubahan kecepatan roda akan dibatasi sekecil mungkin melalui strategi pengendalian yang akan disiratkan ke dalam on-board computer pengatur motor penggerak roda reaksi. Untuk memenuhi pembatasan deviasi kecepatan selama operasi kendali poros tukik berlangsung, dalam bab berikut ini akan dibangun strategi kendali optimum berdasarkan prinsip maksimum Pontryagin (pustaka 3). Sebagai pembanding, strategi kendali klasik orde dua juga akan diterapkan.

Gambar 3 Roda reaksi dua engsel buatan Teldix Gmbh (tanpa pegas berperedam torsional dan motor sinkron matahari).

Pembangunan strategi kendali dengan metode klasik

Torsi kendali poros tukik dihasilkan melalui pengaturan percepatan/perlambatan roda menurut sinyal perbandingan antara posisi yang dikehendaki dan keluaran sensor posisi poros tukik (sensor horison bumi). Faktor peredaman di dalam hukum kendali yang dibangun akan disisipkan berdasarkan pemilihan penguat kendali \(K_1\) dan \(K_2\) (lihat gambar 4). Pengukuran langsung kecepatan sudut poros tukik wahana dengan sensor dihindari karena alat tersebut sampai generasi yang terakhir pun masih mempunyai karakteristik yang kurang menguntungkan, terutama untuk misi jangka panjang. Karakteristik tersebut untuk dua jenis sensor kecepatan yang dikenal saat ini dapat ditulis sebagai berikut:

1. Gyro-laju (mekanik)

• tidak dapat memantau kecepatan sudut wahana poros tukik yang sangat rendah;
• mengalami pergeseran arah sudut momentum (drifting);
• menghendaki daya listrik yang cukup besar dan stabil;
• mengalami keausan mekanik.

• 2. Gyro-laju-Laser (solid state)
• menghendaki daya listrik yang cukup besar;
• belum pernah dibuktikan kemampuannya dalam misi antariksa yang lama.

Informasi kecepatan sudut poros tukik wahana dalam perancangan di sini akan diperkirakan dengan suatu rangkaian diferensiator. Dari persamaan gerak poros tukik yang telah dilinierkan, fungsi kendali dapat ditulis dalam variabel transformasi Laplace s sebagai

\[I_{w_y} \dot{\Omega}(s) = 3\omega_o^2 (I_x - I_z) \theta_s(s) - (K_1 s + K_2) \{\theta_c(s) - \theta_s(s)\}\] (9)

\(\theta_s(s) = \text{sinyal posisi poros tukik dari sensor (untuk sensor ideal } \theta_s(s) = \theta(s)\)

\(K_1, K_2\) = penguat posisi dan kecepatan sudut tukik

\(\theta_c(s)\) = masukan perintah posisi sudut tukik

Dinamika wahana poros tukik di bawah pengaruh sistem pengendalian aktif dengan demikian menjadi sistem klasik orde-dua-teredam. Dari diagram blok kendali (gambar 4) dan untuk wahana antariksa berbadan hampir simetrik seperti pada umumnya, \((I_x \approx I_z)\), fungsi transfer rangkaian tertutup dapat dituliskan sebagai:

\[\theta_{(s)} = \frac{(K_{2s} + K_2)/I_y}{\{s^2 + (K_1/I_y)s + K_2/I_y\}} \theta_c(s)\] (10)

yang mengaitkan masukan perintah dan posisi tukik wahana. Kutub-kutub dari denominator persamaan di atas merupakan akar-akar persamaan karakteristik yaitu:

\[S_{1,2} = -\frac{K_1}{2I_y} \pm \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{K_1}{I_y} \right)^2 - \frac{4K_2}{I_y} \right\}^{\frac{1}{2}}\] (11)

Jika E adalah besaran komponen negatif riil dari \(S_{1,2}\), maka dengan mengatur penguat kendali \(K_1 = 2EI_y\), \(K_2 = E^2I_y\), akan diperoleh respon olah-gerak teredam-kritis.

Respon posisi tukik untuk perintah langkah-satuan (unit step) \((\theta_c(s) = P_c/s)\) dapat diturunkan berdasarkan persamaan 8. Setelah penerapan metode kebalikan transformasi Laplace diperoleh:

\[\theta(t) = P_c \{ 1 + c^{-Et} (t - 1/E) \} \text{ rad}\] (12)

Pengaruh perintah pengarahan poros tukik dalam dinamika roda dapat diteliti dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (9). Dengan jalan yang sama, yaitu dengan metode kebalikan transformasi Laplace, percepatan

Gambar 4 Diagram blok sistem kendali poros tukik berdasarkan teori kendali klasik

roda dalam domain waktu dapat ditulis sebagai:

\[\dot{\Omega}(t) = P_c I_y E \{ (c^{-Et} E(3 - Et) - 2\delta(t)) \} / I_{w_y} rad/dt^2\] (13)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa torsi kendali percepatan maksimum terjadi pada waktu \(t \longrightarrow 0\) dengan harga \(\dot{\Omega}_{max} = 3P_cI_yE^2\). Untuk dapat mengabaikan efek percepatan roda pada olah-gerak wahana poros guling-toleh, variasi torsi kendali dibatasi dalam daerah operasi yang kecil. Kecepatan roda dapat diperoleh melalui integrasi persamaan (13) dengan hasil:

\[\Omega(t) = -P_c I_y E \left[ E^{-Et} \left\{ 3 + E \left( t + 1/E \right) \right\} - 4 \right] / I_{w_y} \text{ rad/dt}\] (14)

Ungkapan di atas menunjukkan bahwa kecepatan roda keadaan-mantap (steadystate) terjadi pada \(t \longrightarrow \infty\) dan besarannya mendekati \(\Omega_{ss} = 4P_cI_yE/I_{wy}\) rad/detik. Dalam analisis di sini diumpamakan kecepatan roda keadaan-mantap beroperasi dalam daerah \(\pm\) 0,1 \(\times\) kecepatan nominal roda (\(\pm\) 0,1 \(\times\) 1000 rpm). Sistem desaturasi momentum akan diaktifkan jika kecepatan roda melebihi daerah operasi tersebut. Analisis dinamika nonlinier wahana poros tukik selama operasi desaturasi momentum merupakan hal di luar cakupan perancangan di sini.

Pembangunan strategi kendali dengan prinsip maksimum Pontryagin

1. Minimisasi waktu transisi

Gerakan linier wahana proses tukik bebas gangguan luar dapat di tulis dalam bentuk persamaan diferensial orde dua sederhana. Dalam kasus wahana antariksa berstruktur hampir simetri, \(I_x = I_z\), persamaan poros tukik dapat ditulis sebagai:

\[\ddot{X}_{p_1}(t) = I_{w_y} \dot{\Omega}(t)/I_y\] (15)

Di sini vektor variabel keadaan didefinisikan sebagai \(X_{p_1} = \theta\) dan \(X_{p_2} = \theta\). Torsi kendali \(I_{w_y} \dot{\Omega}(t)\) misalkan mempunyai harga saturasi \(I_{w_y} \dot{\Omega}_{max}\) atau \(|I_{w_y} \dot{\Omega}(t)| \leq I_{w_y} \dot{\Omega}_{max}\) yang dapat digunakan baik untuk menormalkan fungsi kendali tukik: \(U_p(t) = I_{w_y} \dot{\Omega}/I_{w_y} \dot{\Omega}_{max}\) maupun untuk mendefinisikan tolok ukur waktu tak berdimensi, \(\tau\), sebagai \(\tau = t \sqrt{I_{w_y} \dot{\Omega}_{max}/I_y}\). Dengan kedua definisi itu, persamaan (14) dapat ditulis dalam bentuk dua persamaan diferensial orde satu yaitu:

\[X'_{p_1}(\tau) = X_2(\tau)\] (16)
\(X'_{p_2}(\tau) = U_p(\tau)\)

Notasi (') merupakan penurunan terhadap \(\tau\). Dalam persamaan di atas, vektor keadaan poros tukik \(\overline{x}_p = (X_{p_1}, X_{p_2})\) dan fungsi kendali berdimensi satu \(U_p\) (\(\tau\)) dibatasi berada dalam daerah interval [-1,1]. Sistem kendali ini dirancang untuk menjaga orientasi wahana pada suatu sikap olah gerak yang tetap. Dalam hal adanya torsi gangguan atau perintah komando perubahan orientasi, sasaran yang dituju dalam pembangunan strategi kendali di sini adalah pemberian torsi kendali untuk menggerakkan wahana kepada posisi tukik yang dikehendaki dalam waktu-transisi minimum. Pemecahan waktu-transisi minimum adalah ekivalen dengan minimisasi fungsi bobot (\(cost\ function\)) yang dapat dinyata-kan dalam bentuk berikut:

\[J_{p}\left(\tau\right) = \int_{0}^{\bar{\tau}} \phi\left(X_{p}, U_{p}\right) d\tau = \bar{\tau} \tag{17}\]

\(\phi(X_p, X_p) = 1\) untuk minimisasi waktu

\(\bar{\tau}\) adalah suatu kuantitas yang tak diketahui

Menurut prinsip maksimum, minimisasi indeks fungsi bobot dapat dipenuhi dengan memaksimumkan fungsi Hamilton. Untuk masalah khusus ini, fungsi Hamilton dapat ditulis sebagai:

\[H = P_1 X_{p_2} + P_2 U_p - 1 (18)\]

Di sini \(P_1\) dan \(P_2\) adalah momenta sistem yang didefinisikan sebagai :

\[\frac{dP_1}{d\tau} = -\frac{\partial H}{\partial X_{p_1}} = 0 \qquad \text{atau} \qquad P_1 = C_{p_1} = \text{tetap}\] \[\frac{dP_1}{d\tau} = -\frac{\partial H}{\partial X_{p_2}} = -P_1 \qquad \text{atau} \qquad P_2 = -(C_{p_1}\tau - C_{p_2}) \qquad (19)\] \[C_p = \text{tetap}\]

Setelah mensubstitusikan persamaan (18) ke dalam persamaan (17) fungsi Hamilton menjadi

\[H = C_{p_1} X_{p_2} + (C_{p_2} - C_{p_1} \tau) U_p - 1\] (20)

Fungsi Hamilton dapat dimaksimumkan terhadap seluruh kendali yang diperbolehkan (seluruh fungsi kendali kontinu \(U_p(\tau)\) dengan \(|U_p(\tau)| < 1\)); sehingga untuk \(|U_p| < 1\) kendali-yang-diperbolehkan mengikuti bentuk persamaan sebagai berikut :

\[U_{p}^{*}(\tau) = sgn \ (C_{p_{2}} - C_{p_{1}}\tau) \tag{21}\]

Persamaan ini menunjukkan \(U_p^*(\tau)\) hanya mempunyai harga \(\pm\) 1, dan tanda plus atau minus dari \(U_p^*(\tau)\) dapat berganti paling banyak satu kali. Hal ini menandakan suatu sistem kendali tipe kontaktor atau on-off. Waktu on-off dapat dihitung, yaitu pada saat \(P_2(\tau) = (C_{p_2} - C_{p_1} \tau)\) berubah tanda.

Menurut prinsip maksimum, harga maksimum fungsi Hamilton adalah nol (pustaka 4). Harga maksimum ini terjadi ketika \(U^*(\tau)=\pm 1\). Dengan menggunakan kondisi ini, tetapan tak diketahui \(C_{p_2}\) dapat dihitung, sedangkan tetapan tak diketahui lainnya \(C_{p_1}\), dapat diturunkan dari fungsi switching berdasarkan \(P_2(\tau_s)=0\), dengan \(\tau_s\) adalah waktu switching.

2. Minimisasi energi kendali

Pembentukan strategi kendali dalam hal minimisasi energi kendali tergantung pada karakteristik sistem pembangkit torsi kendali. Dalam hal penggunaan motor D.C. sebagai penggerak roda, maka persamaan dasar motor D.C. dan torsi yang dihasilkan adalah:

\[T_m = K_L \left( v + \Omega / K_m \right) / R_o \tag{22}\]

\(R_o\) adalah tahanan armatur, \(\nu\) adalah tegangan masukan, \(K_L\) (Kg-m/amp) dan \(K_m\) (rad/volt-detik) berturut-turut adalah tetapan torsi dan kecepatan motor. Persamaan daya motor itu sendiri dapat dituliskan sebagai :

\[P = v \left( v + \Omega / K_m \right) / R_o \tag{23}\]

Persamaan di atas akan diungkapkan dalam bentuk variabel keadaan sistem \(X_{p_1}\), \(X_{p_2}\), dan kendali \(U_p\). Setelah beberapa langkah manipulasi aljabar terhadap persamaan (21), (22), ungkapan kendali nondimensional \(U(\tau) = I_{wy} \dot{\Omega} / I_{wy} \dot{\Omega}_{max}\), dan \(T_m = I_{wy} \dot{\Omega}\) diperoleh persamaan daya nondimensional :

\[P(\tau) = C_{p_3} U_p(\tau) \{ U_p(\tau) + C_{p_4} X_{p_2}(\tau) \}\] dengan \[C_{p_3} = R_o I_{wy} \dot{\Omega}_{max} / K_L^2\] \[C_{p_4} = K_L (I_V + I_{wy}) / I_{wy}^2 R_o \Omega_{max}\] (24)

Masalah kendali yang dirancang adalah pemilihan kendali-yang-diperbolehkan \(U(\tau)\) sedemikian rupa, sehingga wahana bergerak dari keadaan \((X_{p_1}^o,0)\) ke suatu keadaan akhir (0,0) dengan fungsi bobot :

\[J_{p}(\tau) = \int_{0}^{\tau} U_{p}(\tau) \left\{ U_{p}(\tau) + C_{p_{4}} X_{p_{2}}(\tau) \right\} d\tau\] (25)

minimum. Dengan jalan yang sama diperoleh fungsi Hamilton:

\[H = P_1 X_{p_2} + P_2 U_p - U_p (U_p + C_{p_4} X_{p_2})\] (26)

sedangkan definisi persamaan momenta dalam hal ini adalah :

\[\frac{dP_1}{d\tau} = -\frac{\partial H}{\partial X_{p_1}} = 0 , \quad \text{atau} \quad P_1 = C_{p_s}\] \[\frac{dP_2}{d\tau} = -\frac{\partial H}{\partial X_{p_2}} = -P_1 + U_p C_{p_s} , \quad \text{atau}\] (27)

\[P_2 = (U_p C_{p_4} - C_{p_5})\tau + C_{p_6}\]

Persamaan Hamilton menjadi:

\[H = C_{p_1} X_{p_2} + U_p \{ \tau(U_p C_{p_4} - C_{p_1}) + C_{p_4} \} - U_p (U_p + C_{p_4} X_{p_2})\] (28)

Dengan adanya fungsi Hamilton yang tidak linier terhadap fungsi kendali \(U_p\) seperti tercermin pada persamaan di atas, maka dapat diperkirakan solusi kendali optimum tidak lagi merupakan fungsi on-off sederhana seperti masalah minimisasi waktu transisi pada bab sebelumnya. Dengan mengatur \(\partial H/\partial U=0\), didapatkan fungsi Hamilton maksimum dengan mengambil fungsi kendali yang diperbolehkan \(U_p^*\) sebagai berikut:

\[U_{p}^{*} = \begin{cases} (C_{p_{4}} - C_{p_{6}} + C_{p_{4}}X_{p_{2}})/2(\tau C_{p_{4}} - 1) \text{ untuk } | C_{p_{4}} - C_{p_{6}} + C_{p_{4}}X_{p_{2}}| \leq \\ 2(\tau C_{p_{4}} - 1) \end{cases}\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

Penerapan numerik

Strategi kendali yang telah diperoleh di atas akan diterapkan untuk suatu wahana antariksa dengan parameter fisik : \(I_x = I_z = 1356 \text{ kg-m}^2\); \(I_y = 678 \text{ kg-m}^2\); \(I_{wy} = 0.09 \text{ kg-m}^2\); kecepatan nominal \(\Omega_N = 1000 \text{ rpm}\). Untuk sistem kendali klasik, peramalan variasi torsi maksimum roda dan deviasi kecepatan roda dengan masukan pengarahan poros tukik dan harga riil negatif akar-akar persamaan karakteristik yang diinginkan ditunjukkan dalam gambar 5 dan 6. Respon. dinamik poros tukik wahana di bawah pengaruh sistem kendali aktif dengan strategi kendali klasik untuk masukan perintah \(P_c = 0.025 \text{ rad dan akar riil negatif yang diinginkan} = 0.01\), ditunjukkan pada gambar 7. Dapat dilihat adanya suatu olah-gerak teredam-kritis dengan waktu transisi 100 detik. Bagaimanapun juga kecepatan roda berdeviasi dari kecepatan nominal \(\Omega_N = 1000 \text{ rpm}\) walau-

Gambar 5 Variasi torsi roda maksimum dan masukan perintah tukik dengan hargariil negatif akar karakteristik

Gambar 6 Variasi kecepatan roda reaksi dan masukan perintah tukik dengan harga riil negatif akar karakteristik

Gambar 7 Respon dinamik badan utama poros tukik dan roda reaksi untuk masukan perintah tukik 0.025 rad. {Strategi kendali berdasarkan metode klasik)

Gambar I Diagram blok sistem kend;titukik berdasarkan prinsip makiimum

Gambar 9 Respon dinamik poros tukik badan utama dan roda reaksi untuk masukan perintah tukik 0.02s rao. (Strategi kendali berdasarkan penerapan prinsip maksimum poniryagin)

pun ia tetap berada dalam daerah operasi yang telah ditentukan t 0.1 X {-}, setelah eksekusi kendali selesai. Hal ini merupakan kelemahan strategi kendali klasik, karena dengan adanya deviasi tersebut. kecepatan roda berada lebih dekat kepada batas daerah operasional. Pengaktifan sistem desaturasi momentum yang mempekerjakan motor roket retro akan lebih sering dilakukan. Keadaan seperti ini harus dihirdarkan untuk nrengefisienkan pemakaian bahan bakar roket retro yang sangat mempengaruhi unrur satelit.

Diagram blok kendali poros lukrt berdasarkan aplikasi prinsip rnaksinrurn Pontryagin untuk masalah minimisasi waktu transisi ditunjukkan dalanr ganrbarS. Sistem kendali ini terdiri dari tiga bagian utama yang diatur dalanr bentuk rangkaian tertutup: roda reaksi sebagai pembangkit torsi kendali, scnsor dinamika badan utama wahana, dan rangkaian Optimal switching /ogi. (OSL). Di sini diandaikan torsi kendali diterapkan untuk membawa wahana ke suatu keadaan yang diulginkan berdasarkan hanya pada informasi posisi. Komparator dalatn rangkaian OSL digunakan untuk memonitor pembelokan arah posisi rclatif tcrhadap arah patokannya. Besar kesalahan yang diperbolehkan dipilih bertlasarkan ketelitian pengarahan poros tukik wahana. Jika sinyal kesalahan nrclebihi harga yang diperbolehkan, suatu rangkaian pembangkit diaktilkan untuk rncngeluarkan sinyal persegi dengan amplitude proporsi dengan torsi kcndali maksimum i Iu,r9.o, dan periode sama dengan waktu transisi. Dari respon dinamik wahana dan roda dengan parameter fisik yang telah ditentukan (lihat garnbar 9). dapat dilihat bahwa r.rntuk kondisi mula yang sama peneragran prinsip maksimum Pontryagin hanya memerlukan daya kendaf (lnpuls total) ya:|'g lebih kecil dan waktu transisi yang lebih cepat dibandingkan dengan aplikasi teori kendali klasik. Tambahan pula, kecepatan roda selalu kc'mbali kc kecepatan nominalnya (S2" = 1000 rpm) dengan berakhirnya eksekusi pengendalian. Dengan penampilan ini, sistem kendali dengan prinsip rnaksirnum untuk ntasalah minimisasi waktu telah memenuhi kriteria perancangan sistem kendali tiga poros SSL dengan menggunakan RRDE. Penerapan prinsip maksimLrnt untuk masalah minimisasi energi mungkin akan lebih baik, tetapi ia menghendaki suatu sistem OSL yang lebih rumit.

Kesimpulan

Perbandingan karakteristik sistenr kendali poros tukik yang dirancang berdasarkan prinsip maksimum Pontryagin dan metode tendali klasik dapat dituliskan sebagai berikut :

• dengan prinsip maksimunt, junrlah impuls total selanta operasi kenclali berlangsung untuk waktu transisi dan input perintah tukik yang sama. r!.rnyara lebih kecil;
• tidak ada devinsi kecepatan roda seselesahya eksekusi kcndali. pada sistem klasik kecepatan roda selalu berdeviasi setelah eksekusi kendali berakhir.

Strategi kendah yzrrg dibangun berdasarkan prinsip maksimum memiliki prestasi yarg lebih baik untuk diterapkan dalam perancangan sistem kendali aktif tiga poros SSL berstabilisasi RRDE. Dengan penerapan prinsip tersebut, el'ek perubahan kecepatan roda yang rnenimbulkal kopling dinamik pada ketiga poros olah-gerak badan utama wahana maupun gerakan elastik panel surva lentur dapat diperkecil secara optimum. Tanrbahan pula selanta operasi stabilisasi berlangsung. sistem deMturasi momentunl roket retro tidak perlu bekerja, sehingga seiuruh bahan bakar dapat disediakan untuk operasi kendali lainnya seperti pengetriman orbil (orbital trimnting), penjagaan orbit, dan pelontaran keluar orbit.

Penl| tup

Penrrlis nrengrrcapkar, terinakasjh kcpada LAPAN atas biaya penelitian ini. Juga tcrima kasih kepada Bapak Prof. Wiranto Arismunandrr. Dr. Said D. Jcnic. dan Dr. Harijono Djojodihardjo atas diskusi dan koreksi yang diberikan.

Pustaka

• l . SalatLrn. A. S.. Rancangan sistem kendali optimal-terpercaya Satelit Siaran Langsung dengan menggunakan roda reaksi dua engsel, riset program S-3 FPS-ITB di bawah bimbingan Prof. Wiranlo Arismunandar dan Dr. Said D. Jenie, dalam pengerjaan
• Salatun, A. S. dan P. M. Bainum, 1983, Analysis of a double gimbaled reaction wheel spacecraft attitude stabilization system, Acta Astronautica, Journal of the International Acadenry ofAstronauticJ, 10, 2,56-66
• 3. Takahashi, Y., M. J. Rabins, dan D. M. Auslander, 1972, Control and dy namics s)jstens, Addison-Wesley, Massachusetts, 642 -629
• A Brogan, W. L., 1970, Modem control theory, Quantum, New York, 3l I -3 l3
• 5. Meirovitch, L., 19?0, Methods of analy tical dynamics, McCraw-Hill, New York