c. Induktansi bersama (M) dua belitan pada sirkit yang sama

Perhatikan gambar 3a. Jika kumparan 1 dilalui arus i, kumparan kedua (N\(_2\)) tidak dialiri arus i, maka akan timbul fluksi bersama \(\phi\) yang akan melalui N\(_1\) dan N\(_2\).

Fluksi lilitan λ pada kumparan:

\[N_1: \lambda_1 = N_1 \phi \tag{12}\]

\[N_2: \lambda_2 = N_2 \phi \tag{13}\]

sedangkan

\[N_{1} i_{1} = \mathcal{R} \phi = \mathcal{R} \frac{\lambda_{2}}{N_{2}}\] \[N_{2} N_{1} i_{1} = \mathcal{R} \lambda_{2}\]

Analog dengan persamaan (4), maka hubungan utama fluksi lilitan dengan arus di kumparan \(N_1\) dapat dinyatakan:

\[\lambda_2 = M i_1 \tag{14}\] di mana \(M = induktansi bersama kumparan <math>N_1\) dan kumparan \(N_2\).

\[M = \frac{\lambda_2}{N_1} = \frac{N_2 N_1 i_1}{i_1 \mathcal{R}} = \frac{N_1 N_2}{\mathcal{R}}\] (15)

dan tegangan yang dibangkitkan di kumparan \(N_2\) adalah:

Gambar 3 Dua kumparan terletak pada inti yang sama

Dengan cara yang sama, bila \(i_1 = 0\) dan \(i_2 \neq 0\) (Gambar 3b), maka akan diperoleh:

\[M = \frac{N_1 N_2}{\mathcal{R}}\]

Dengan membandingkan pers. (7),maka induktansi di kumparan \(N_2(L_2)\) adalah:

\[L_{1} = \frac{N_{1}^{2}}{\Re} \qquad \text{dan } L_{2} = \frac{N_{2}^{2}}{\Re}\] \[N_{1} = \sqrt{\Re L_{1}} \qquad N_{1} = \sqrt{\Re L_{2}}\] atau sehingga induktansi bersama dapat dinyatakan sebagai fungsi \(\mathbf{L_1}\) dan \(\mathbf{L_2}\):

\[M = \frac{\sqrt{R L_1} \sqrt{R L_2}}{R}\] dan akhirnya diperoleh:

\[M = \sqrt{L_1 L_2} \tag{16}\]

2. Rangkaian magnetik dengan bocoran a. \[i_1 \neq 0 \text{ dan } i_2 = 0\]

Gambar 4 Sirkit magnetik dengan bocoran \(i_1 \neq 0\), \(i_2 = 0\)

Untuk sirkit dengan bocoran dan kumparan 1 dialiri arus seperti pada Gambar 4, maka arus i\(_1\) akan menghasilkan fluksi \(\phi_{_{11}}\) dan:

\[\phi_{11} = \phi_{21} + \phi_{p_1} \tag{17}\] di mana

\[\phi_{21} = \text{fluksi bersama disebabkan i}_1\] \(\phi_{\ell 1} = \text{fluksi bocor karena i}_1\)

Jika induktansı sendiri \(N_1\) adalah \(L_1\) maka:

\[L_{1} \quad i_{1} = N_{1} \quad \phi_{11}\] \[L_{1} = \frac{N_{1} \phi_{21}}{i_{1}} + \frac{N_{1} \phi_{\ell 1}}{i_{1}}\] (18)

\[L_{1} = L_{1}' + \ell_{1} \tag{19}\] di mana

\(\ell_1\) = induktansi bocor pada \(N_1\)

\[= \frac{N_1 \Phi_{11}}{i_1}\]

\(L_1' = induktansi utama N_1\)

Dalam sirkit dengan bocoran, maka \(\phi_1\)pada sirkit tanpa bocoran Menjadi \(\phi_{21}\) dan berlaku hubungan N\(_1\)i\(_1\)= \(\mathcal{R}\) \(\phi_{21}\) sehingga:

\[L_1' = \frac{N_1^2}{\mathcal{R}} \tag{20}\]

Induktansi bersama: M

Bila fluksi lilitan dapat dituliskan sebagai:

\(\lambda_2 = N_2 \phi_{21}\) \(V_2 = \frac{d\lambda_2}{dt} = N_2 \frac{d\phi_{21}}{dt}\)(21)

maka

Dari pers. (14) dan (21) dapat dituliskan:

\(N_2 \phi_{21} = M_{21} i_1\)

sehingga

\[V_2 = M_{21} \frac{di_1}{dt}\]

Berdasarkan persamaan (2):

\[\phi_{21} = \frac{N_1 i_1}{\mathcal{R}}\]

\[M_{21} = \frac{N_2}{i_1} \phi_{21} = \frac{N_1 N_2}{\Re}\] (22)

Substitusi pers. (20) ke dalam pers. (22) menghasilkan:

\[\frac{N_1^2}{L_1'} = \frac{N_1 N_2}{M_{21}}\] \[M_{21} = \frac{N_2}{N_1 L_1'}\] (23)

maka

b. \(i_1 = 0 \text{ dan } i_2 \neq 0\)

Seperti analisis pada butir 2a,tetapi kumparan 2 yang dialiri arus.

Gambar 5 Sirkit magnetik dengan bocoran \(i_1 = 0\) dan \(i_2 \neq 0\)

Dengan cara yang sama akan diperoleh:

\[\phi_{22} = \phi_{12} + \phi_{12} \tag{24}\] di mana

\[\begin{array}{ll} \phi_{12} & = \text{fluksi bersama karena i}_2 \\ \phi_{\ell 2} & = \text{fluksi bocor karena i}_2 \end{array}\]

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, maka induktansi sendiri dari belitan \(N_2\) adalah:

\[L_{2} = \frac{N_{2} \phi_{12}}{i_{2}} + \frac{N_{2} \phi_{12}}{i_{2}}\] (25)

\[L_2 = L_2' + \ell_2 \tag{26}\]

\(\ell_2\) = induktansi bocor parsial N₂ \(L_2'\) = induktansi utama N₂

dan

\[L_2' = \frac{N_2^2}{\mathcal{R}} \tag{27}\]

Induktansi bersama: \(M_{12}\) Dengan cara sama diperoleh:

\[\lambda_{1} = N_{1} \phi_{12}\] \[V_{1} = \frac{d\lambda_{1}}{dt} = N_{1} \frac{d\phi_{12}}{dt}\] (28)

sehingga didapat:

\[M_{12} = \frac{N_1 N_2}{\mathcal{R}}\] (29)

\[M_{12} = \frac{N_1}{N_2} L_2' \tag{30}\]

Koefisien kopling: k Seperti diketahui bahwa M\(_{21}=\frac{N_{2}}{i}\) \(\phi_{21}\) dan dengan cara yang sama dapat diperoleh M\(_{12}=\frac{N_{2}}{i}\) \(\phi_{12}\)

Mengingat hukum kekekalan energi^[7], maka \(M_{12} = M_{21} = M\). Dengan mengalikan kedua induktansi bersama tersebut:

\[M_{12}.M_{21} = M^{2} = \frac{N_{2}}{i_{1}} \phi_{21}.\frac{N_{1}}{i_{2}} \phi_{12}\] \[= \frac{N_{1} \phi_{11}}{i_{1}} \cdot \frac{\phi_{21}}{\phi_{11}} \cdot \frac{N_{2} \phi_{12}}{i_{2}} \cdot \frac{\phi_{12}}{\phi_{22}}\]

bila \[k = \frac{\phi_{21}}{\phi_{11}} = \frac{\phi_{12}}{\phi_{22}} = koefisien \ kopling \ magnetik\] dan \[L_1 = \frac{N_1 \phi_{11}}{i_1}, \quad L_2 = \frac{N_2 \phi_{12}}{i_2}\] maka: \[M = k \sqrt{L_1 L_2}\] (31)

Koefisien k dalam beberapa literatur disebut mempunyai nilai antara 0 dan 1. Tetapi, jika diingat bahwa k terjadi karena dua lilitan dialiri arus yang kemudian menghasilkan fluksi, maka sudut yang dibentuk kedua fluksi dapat berubah dari 0 sampai \(360^{\circ}\). Kedua belitan bergandengan sempurna; artinya,arah kedua fluksinya berimpit sehingga k=1. Jika kedua fluksi bertolak belakang, maka k=-1. Bila kedua arah fluksi saling tegak lurus, maka k=0.

Pada belitan simetris \(L_1=L_2=L\), maka persamaan (31) dapat ditulis menjadi : \(M=L\cos\theta\), di mana \(\theta\) adalah sudut antara kedua fluksi.

c. \[i_1 \neq 0\] dan \(i_2 \neq 0\)

Pada sirkit magnetik di gambar 6, kedua lilitan dialiri arus.

Gambar 6 Sirkit magnetik dengan bocoran \(i_1 \neq 0\) dan \(i_2 \neq 0\) Jika arus di \(N_1\) dan \(N_2\) tidak sama dengan nol, maka fluksi pada ilitan \(N_1\) adalah:

\[\phi_{1} = \phi_{12} + \phi_{21} + \phi_{\ell 1} = \phi_{11} + \phi_{12}\] (32)

dan pada lilitan N₂:

\[\phi_2^{\prime} = \phi_{12}^{\prime} + \phi_{21}^{\prime} + \phi_{\ell 2}^{\prime} = \phi_{21}^{\prime} + \phi_{22}^{\prime}\] (33)

Fluksi penghubung (\(\lambda\)) pada kumparan \(N_1\):

\[\lambda_{1} = N_{1}\phi_{1} = N_{1}\phi_{11} + N_{1}\phi_{12}\] (34)

pada kumparan N₂:

\[\lambda_2 = N_2 \phi_2 = N_2 \phi_{21} + N_2 \phi_{22} \tag{35}\]

\(Jika V = \frac{d\lambda}{dt} \quad dan \quad M_{12} = M_{21} = M\)

maka:

\[V_1 = L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt}\] (36)

\[V_2 = M \frac{di_1}{dt} + L_2 \frac{di_2}{dt}\] (37)

Dengan mensubstitusikan pers. (19) dan (26) ke dalam persamaan (36) dan (37) diperoleh:

\[v_1 = L_1 \frac{di_1}{dt} + \ell_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt}\] (38)

\[v_2 = M \frac{di_1}{dt} + L_2' \frac{di_1}{dt} + \ell_2 \frac{di_2}{dt}\] (39)

Untuk besaran sinusoidal [5,7] \(d/dt = j\omega\), maka dalam bentuk phasor dapat ditulis an menjadi:

\[\bar{V}_{1} = jL_{1}'\omega\bar{I}_{1} + j\ell\omega\bar{I} + jM\omega\bar{I}_{2}\] (40)

\[\bar{V}_{2} = j M \omega \bar{I}_{2} + j L_{2}' \omega \bar{I}_{2} + j \ell \omega \bar{I}\] (41)

Gambar 7 Rangkaian pengganti sirkit magnetik dengan \(i_1 \neq 0\), \(i_2 \neq 0\)Bila tahanan kawat \(N_1\) adalah \(r_1\) dan tahanan kawat \(N_2\) adalah \(r_2\) maka:

\[\bar{V}_{1} = (r_{1} + jl\omega)\bar{I}_{1} + jL_{1}'\omega\bar{I}_{1} + jM\omega\bar{I}_{2}\] (42)

\[\bar{V}_{2} = (r_{2} + j\ell\omega)I_{2} + jL_{2}'\omega\bar{I}_{2} + jM\omega\bar{I}_{1}\] (43)

atau:

\[\bar{V}_{1} = \bar{Z}_{1}\bar{I}_{1} + jL_{1}'\omega\bar{I}_{1} + jM\omega\bar{I}_{2}\] (44)

\[\bar{V}_2 = \bar{Z}_2 \bar{I}_2 + j L_2' \omega \bar{I}_2 + j M \omega \bar{I}_1\] (45)

Rangkaian penggantinya digambarkan pada gambar 7.

Persamaan tegangan pada sirkit magnetik

Induktansi bersama dalam persamaan (44) dan (45) dapat berharga positif atau negatif, tergantung pada cara melilit relatif \(N_1\) terhadap \(N_2\) dan arus yang masuk ke kumparan. Untuk menyatakan nilai induktansi, maka gandengan magnetik digambarkan dengan 2 kumparan yang diberi tanda dot (\(\bullet\)) seperti ditunjukkan pada gambar 8.

Gambar 8 Penentuan tanda induktansi bersama

Maka persamaan (44) dan (45) menjadi:

\[\bar{V}_{1} = \bar{Z}_{1} \bar{I}_{1} + jL_{1}' \omega \bar{I}_{1} + j\omega M \bar{I}_{2}\] \[(46)\]

\[\bar{V}_2 = \bar{Z}_2 \bar{I}_2 + j L_2' \omega \bar{I}_2 + j \omega M \bar{I}_1\] (47)

Impedansi siklis^[1,3]

Dalam suatu peralatan tiga fasa simetris, misalnya generator atau motor, masing-masing mempunyai induktansi sendiri. Antara lilitan kawat fasa-fasa juga terdapat hubungan (kopling) melalui induktansi bersama ataupun melalui efek kapasitansi. Sebagai contoh peralatan listrik adalah beban 3 fasa seperti pada gambar 9.

Dapat ditunjukkan bahwa dalam suatu sistem simetris yang dicatu oleh sumber tegangan seimbang, maka sirkuit nyata yang ada dapat diganti oleh sirkuit fiktif, dalam hal mana rangkaian ekivalen tiap fasa dapat dianggap independen.

Tahanan kawat: \[r_1 = r_2 = r_3 = r\]

Induktansi sendiri:

\[L_1 = L_2 = L_3 = L\]

Induktansi bersama:

\[M_{12} = M_{21} = M_{13} = M\]

Gambar 9 Sistem seimbang 3 fasa

Bila sistem seimbang 3 fasa dianggap ideal, maka dalam bentuk phasor tegangan \(V_1\), \(V_2\) dan \(V_3\) dinyatakan sebagai berikut:

\[\bar{V}_{1} = r\bar{I}_{1} + j\omega L\bar{I}_{1} + j\omega M(\bar{I}_{2} + \bar{I}_{3})\] \[\bar{V}_{2} = r\bar{I}_{2} + j\omega L\bar{I}_{2} + j\omega M(\bar{I}_{1} + \bar{I}_{3})\] \[\bar{V}_{3} = r\bar{I}_{3} + j\omega L\bar{I}_{3} + j\omega M(\bar{I}_{1} + \bar{I}_{2})\]

Pada sistem yang seimbang: \(\overline{I}_1 + \overline{I}_2 + \overline{I}_3 = 0\)

\[\bar{V}_{,} = r\bar{I}_{,} + j\omega(L-M)\bar{I}_{,} \tag{48}\]

\[\bar{V}_{0} = r\bar{I}_{0} + j\omega(L-M)\bar{I}_{0}\] (49)

\[\bar{V}_{1} = r\bar{I}_{1} + j\omega(L-M)\bar{I}_{1}\] \[\bar{V}_{2} = r\bar{I}_{2} + j\omega(L-M)\bar{I}_{2}\] \[\bar{V}_{3} = r\bar{I}_{3} + j\omega(L-M)\bar{I}_{3}\] (48) (49)

Dari persamaan (48) s/d (50) dapat dinyatakan bahwa persamaan tegangan pada tiap fasa tidak tergantung pada fasa lainnya. Karena itu, untuk mempelajari sistem 3 fasa dalam keadaan seimbang, cukup dipelajari keadaan satu fasa saja, dengan catatan bahwa terdapat induktansi sendiri ekivalen (L - M) yang disebut juga sebagai induktansi siklis \(\mathcal L\) atau \(\omega \mathcal L\) impedansi siklis.

\(\mathcal{L} = L - M\) dan karena \(M = L \cos \theta\) dan \(\theta = 120\), maka \(M = \frac{1}{2}L\) dan \(\cos \theta\)disebut juga koefisien koplingmagnetik.

PENERAPAN TEORI

Transformator 3 fasa

Suatu sistem transformator 3 fasa dapat ditunjukkan seperti pada gambar 10. Transformator tiga fasa ini terdiri dari 3 buah transformator satu fasa yang identik. Sirkuit magnetiknya berbentuk segi empat. Belitan primer dan sekunder dililit pada kolom yang sama.

Bila belitan primer diberi tegangan masuk sinusoidal \(V_R\), \(V_S\) dan \(V_T\)tiga fasa seimbang, akan timbul fluksi bersama sinusoidal \(\phi_{_{\mathrm{R}}},\;\phi_{_{\mathrm{S}}}\) dan \(\phi_{_{\rm T}}\) yang mengalir dalam tiap transformator satu fasa.

Gambar 10 Pembentukan transformator 3 fasa

Dalam domain waktu, tegangan masuk seimbang ke transformator dapat dinyatakan dengan:

\[v_{R} = V_{m} \sin \omega t\] \[v_{S} = V_{m} \sin (\omega t - 2\pi/3)\] \[v_{T} = V_{m} \sin (\omega t - 4\pi/3)\] \[\phi_{R} = \phi_{m} \cos \omega t\] \[\phi_{S} = \phi_{m} \cos (\omega t - 2\pi/3)\] \[\phi_{T} = \phi_{m} \cos (\omega t - 4\pi/3)\]

maka

Bila bagian kolom transformator satu fasa disatukan, maka \(\phi\) yang mengalir dalam kolom tengah adalah:

\[\phi = \phi_{R} + \phi_{S} + \phi_{T} = 0\]

Karena itu, kolom yang berada di tengah dapat ditiadakan tanpa mengganggu kerja transformator.

Dengan alasan ini, transformator 3 fasa dapat digambarkan seperti pada gambar 11 di mana rangkaian magnetik hanya mempunyai tiga kolom ataupun 5 kolom (dibuat 5 kolom bila terdapat masalah tinggi transformator dalam transportasi ke tempat pemasangan).

Gambar 11 Rangkaian magnetik transformator 3 fasa 3 kolom atau 5 kolom

Persamaan tegangan

Untuk mempermudah analisa, rangkaian magnetik transformator 3 fasa dan belitannya dibuat seperti pada gambar 12.

Tegangan sesaat di lilitan primer pertama dapat dinyatakan sebagai:

\[v_{R} = r_{1R}^{i} + L_{R} \frac{di_{R}}{dt} + M_{RS} \frac{di_{S}}{dt} + M_{RT} \frac{di_{T}}{dt} + M_{RU} \frac{di_{U}}{dt} + M_{RU} \frac{di_{U}}{dt} + M_{RV} \frac{di_{W}}{dt}\] \[(51)\]

Untuk sistem seimbang:

\[M_{RS} = M_{RT} = M\] ; \(m_{RU} = m\) \[M_{RV} = M_{RW} = m^*\] \[i_R + i_S + i_T = 0\] \[i_U + i_V + i_W = 0\]

Persamaan (51) men jadi:

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[v_R = r_{1R}^i + (L_R - M) \frac{di_R}{dt} + (m - m^*) \frac{di_u}{dt}\] (53)

Gambar 12 Penempatan belitan transformator 3 fasa

induktansi sendiri kumparan primer fasa R

\(\mathbb{L}_{\mathbb{R}^2}\) induktansi sendiri kumparan sekunder fasa u

\(M_{\rm ps}\): induktansi bersama antar kumparan primer

M_gg: induktansi bersama atau kumparan primer & sekunder pada kolom yang sama: m

May: induktansi bersama atau kumparan primer & sekunder pada bolom periainan.: m*

\[\exists ika\] \(L_R = L_S = L_T = L_P\)

dan \(\mathcal{Z} = L_{p} - M\): induktansi siklis primer sistem 3 fasa.

\(\mathfrak{M} = m - m^* = \text{induktansi siklis bersama sistem 3 fasa.}\)

Dengan cara yang sama, tegangan lainnya di sisi primer dapat ditentukan dengan menganggap:

\[r_{g} = r_{g} = r_{g} = r_{g}\] dan hasilnya:

\[v_{R} = r_{P} i_{R} + \mathcal{L} \frac{di_{R}}{dt} + \mathfrak{M} \frac{di_{u}}{dt} -\] (54)

\[v_{s} = r_{p} i_{s} + \mathcal{L} \frac{di_{s}}{dt} + \mathfrak{M} \frac{di_{v}}{dt}\] (55)

\[v_{T} = r_{P} i_{T} + \mathcal{L} \frac{di_{T}}{dt} + \mathfrak{M} \frac{di_{W}}{dt}\] (56)

Demikian juga, tegangan di sisi sekunder dapat ditentukan dengan cara yang sama.

Penulisan ke dalam bentuk phasor dapat dilakukan dengan mengganti iR dengan I. dan karena tegangan masuk berupa sinusoidal, mata fi1 : Zr.

Selama ini, dalam beberapa literatur yang banyak menjadi acuan hanya diperhitungkan induktansi sendiri, bukan induktansi siklis primer sistem tiga fasa.

Jika pada transformator tiga fasa hanya fasa tertentu saja yang dialiri arus, maka induktansi sendiri yang timbul adalah untuk satu lilitan saja. Demikian juga, induktansi bersama terjadi karena 2 kumparan yang dialiri arus.

Jika semua kumparan dialiri arus, maka induktansi sendiri dan induktansi bersama rangkaian ekivalen satu fasa tidak sama lagi dengan sebelumnya. Diharapkan dengan uraian ini terjadi suatu babak baru dalam analisis mesin listrik.

]\{OTOIT TAK SEREMPAK TIGA FASA

Motor tak serempak (MTS) tiga fasa yang akan dianalisis adalah MTS rotor sangkar dan belitan stator dianggap terhubung bintang. Namun, analisis ini berlaku juga untuk MTS tiga fasa rotor belitan.

Persamaan tegangan stator

Bila stator MTS 3 fasa dicatu oleh sumber tegangan sinusoidal tiga fasa yang mempunyai kecepatan sudut o, maka' dalam domain waktu, tegangan fasa netral dapat dinyatakan dengan:

\[v_1 = V_{1m} \cos \omega t\] atau dalam bentuk bilangan kompleks:

\[\bar{V}_1 = V_{1m} e^{j\omega t}\]

Arus pada belitan stator akan membentuk sistem tiga fasa seimbang, di mana

\[i_1 = I_{1m} \cos (\omega t - \varphi_1)\] atau

\[\bar{I}_1 = I_{lm} e^{j(\omega t - \varphi_1)}\]

\(\varphi_{_{\rm I}}.\) sudut keterlambatan arus terhadap tegangan di stator \({\rm I}_{_{\rm LM}}.\) arus maksimum fasa pertama (R )stator

Jika rotor dihubung singkat, maka arus yang mengalir di rotor adalah i dan mempunyai frekuensi \(\omega_{\rm r}=\omega\omega\) .

Arus sesaat di rotor dapat dinyatakan dengan:

\[i_2 = I_{2m} \cos(\omega t - \varphi_2)\] atau dalam bentuk kompleks:

\[\bar{I}_2 = I_{2m} e\] \(I_{2m} = arus maksimum di rotor\)

\(\varphi_2^{-}\) sudut keterlambatan arus rotor terhadap tegangan rotor

\[\Delta = \text{faktor slip} = \frac{\omega - \omega}{\omega}\]

Mengingat bentuk persamaan (54), maka untuk rangkaian ekivalen satu fasa, tegangan stator dapat dinyatakan sebagai:

\[v_1 = r_{11}^{i} + \frac{d\phi_{11}}{dt} + \frac{d\phi_{12}}{dt}\] (57)

di mana

\(\phi_{11}\) = fluksi sendiri stator \(\phi_{12}\) = fluksi yang dihasilkan belitan rotor dan menginduksi belitan stator

\[\phi_{11} = \mathcal{L}_1 \frac{di_1}{dt}\] \[\mathcal{L} = \text{induktansi siklis}\]

\[\phi_{12} = \mathfrak{M} I_{2m} \cos(\omega t - \varphi_2 + p\theta)\] atau dalam bentuk kompleks:

\[\bar{\phi}_{12} = \Re I_{2m} e^{i(\omega t - \varphi + p\theta)}\]

p = jumlah kutub

\(r_1\) = tahanan kawat fasa R pada stator MTS

\(\theta\): sudut antara sumbu asal medan putar rotor dengan posisi rotor sesaat dan fluksi \(\overline{\phi}_{12}\) dapat dituliskan dalam bentuk kompleks.

Bila rotor berputar dengan kecepatan \(\omega\)

maka: \(\theta = \omega_r t = \frac{\omega}{D} (1 - a)t\)

\(\mathfrak{M}\) \(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\rho\theta}\)adalah induktansi siklis bersama antara rotor dan fasa R stator.

Dapat dinyatakan:

\[\phi_{12} = \mathfrak{M} I_{2m} e^{j(\omega t - \varphi_2)}\]

Jika dituliskan:

\[\bar{I}_{2m} = I_{2m} e^{i(\omega t - \varphi_2)}\]

maka persamaan tegangan stator (56) menjadi:

\[V_{lm}e^{j\omega t} = r_{l} I_{lm} e^{j(\omega t - \varphi_{l})} + \mathcal{L}_{l}j\omega I_{lm} e^{j(\omega t - \varphi_{l})} + \frac{j(\omega t - \varphi_{l})}{m_{l}\omega I_{lm}}\] \[(58)\]

Secara phasor dapat dituliskan menjadi :

\[\bar{\mathbf{V}}_{1} = \mathbf{r}_{1}^{\bar{\mathbf{I}}_{1}} + j \mathcal{L}_{1} \omega \bar{\mathbf{I}}_{1} + j \mathcal{M} \omega \bar{\mathbf{I}}_{2}'\] (59)

Bila terdapat bocoran magnet di stator, maka:

\[\vec{V}_{1} = \Gamma_{1}\vec{I}_{1} + j\ell\omega I_{1} + j\mathcal{L}_{1}\omega \vec{I}_{1} + j\mathfrak{M}\omega \vec{I}_{2}'\] (60)

Persamaan tegangan pada rotor

Dimisalkan rotor terdiri atas belitan 3 fasa dan jumlah kutubnya sama dengan stator. Jika didefinisikan:

r₂ = tahanan kawat rotor/fasa.

\(\mathcal{L}_{2}\) = induktansi siklis/fasa di rotor

\(\phi_{22}\) = fluksi sendiri dari rotor/fasa

\(\phi_{21}\) = fluksi di rotor karena pengaruh belitan stator.

Analog dengan persamaan (57), maka persamaan tegangan rotor dituliskan:

\[0 = r_2 i_2 + \frac{d\phi_{22}}{dt} + \frac{d\phi_{21}}{dt}\] (61)

jika

\[\phi_{21} = \mathfrak{M} \, \, \overline{l}_{1m} \, \cos(\omega t - \varphi_1 - p\theta)\]

Sudut \(\theta\) mempunyai tanda negatif karena sistem dengan rotor sebagai referensi akan menunjukkan seolah-olah stator berputar dengan kecepatan \(\omega\), tetapi dengan arah berlawanan.

Dengan bilangan kompleks , \(\phi_{21}\)dituliskan menjadi

\[\bar{\phi}_{11} = \Re I_{1m} e^{\int (\omega t - \varphi_1 - p\theta)}\]

\[\bar{\boldsymbol{\phi}}_{21} = \mathfrak{M} \ \mathbf{I}_{\mathrm{lm}} \ \mathbf{e}^{j(\Delta \boldsymbol{\omega} \mathbf{t} - \boldsymbol{\varphi}_1)} \ \mathbf{e}^{-j \boldsymbol{p} \boldsymbol{\theta}}\] di mana

\[\phi_{21} = \mathfrak{M} \ \mathbf{I}_{1m} \ \mathbf{e}^{\mathbf{j}(\Delta \omega t - \varphi_1)}\]

Jika didefinisikan :

\[I_{1m}^{'} = I_{1m}^{'} e^{j(\Delta \omega t - \varphi)}\]

maka persamaan (61) dituliskan dalam domain frekuensi:

\[0 = r_{2}^{I} I_{2m} e + j \mathcal{L}_{2} \omega I_{2m} e\] \[j(\omega \omega t - \varphi_{2})\] \[+ j \mathcal{M}_{2} \omega I_{2m} e\] \[j(\omega \omega t - \varphi_{1})\] \[+ j \mathcal{M}_{2} \omega I_{1m} e\] (63)

atau dalam bentuk phasor:

\[0 = r_2 \overline{l}_2 + j \mathcal{L}_2 \alpha \omega \overline{l}_2 + j \mathfrak{M} \alpha \omega \overline{l}_1'\] (64)

Dengan mengalikan persamaan (63) dengan \(\frac{1}{a}\) (e ) didapat:

\[0 = \frac{\Gamma_2}{\alpha} I_{2m} e^{j(\omega t - \varphi_2)} + j \mathcal{L}_2 \omega I_{2m} e^{j(\omega t - \varphi_2)} + j \mathcal{M} \omega I_{1m} e^{j(\omega t - \varphi_1)}\] \[(65)\] atau dalam bentuk phasor menjadi:

\[0 = \frac{\Gamma_2}{4} \tilde{I}_2' + j \mathcal{L}_2 \omega \tilde{I}_2' + j \mathfrak{M} \omega \tilde{I}_1\] (66)

Persamaan (59) dan (66) mempunyai arus fiktif \(I_2\), yang merupakan arus rotor dilihat dari stator, dan rotor dalam keadaan diam (\(\alpha=1\)). Oleh karena kenyataannya rotor berputar, maka \(I_2\) dapat digantikan dengan nilai \(I_2\) sehingga:

\[\bar{V}_{1} = r_{1}\bar{I}_{1} + j\mathcal{L}_{1}\omega\bar{I}_{1} + j\mathcal{M}\omega\bar{I}_{2}\] \[(67)\]

\[0 = \frac{r_2}{a} \tilde{I}_2 + j \mathcal{L}_2 \omega \tilde{I}_2 + j \mathcal{M} \omega \tilde{I}_1\] (68)

Jadi ditinjau dari sumber, maka MTS ekivalen dengan suatu transformator hubung singkat yang tahanan sekundernya \(r_2/a\).

Dengan memasukkan persamaan (68) ke dalam persamaan (67) didapat persamaan:

\[\bar{V}_{1} = \bar{I}_{1} \left( r_{1} + j \mathcal{L}_{1} \omega + \frac{\mathfrak{M}^{2} \omega^{2}}{r_{2} \sqrt{\alpha + j \mathcal{L}_{2} \omega}} \right) = \bar{I}_{1} \bar{Z}(\alpha)\] (69)

\[\bar{Z}(\Delta) = r_1 + j \mathcal{L}_1 \omega + \frac{m^2 \omega^2}{r_2 / \Delta + j \mathcal{L}_2 \omega}\] (70)

\[= r_1 + j \mathcal{L}_1 \omega \quad \frac{r_2 / \alpha \left(\mathcal{L}_2 - \mathfrak{M}^2 / \mathcal{L}_1\right) \omega}{r_2 / \alpha + j \mathcal{L}_2 \omega}\] di mana \(N_2 = \mathcal{L}_2 - \mathfrak{M}^2/\mathcal{L}_1 = \text{induktansi bocor total dibawa ke rotor.}\)

\[\tilde{Z} = r_1 + j \mathcal{L}_1 \omega \frac{r_2/\alpha + j N_2 \omega}{r_2/\alpha + j N_2 \omega + j \mathfrak{M}^2/\mathcal{L}_1 \omega}\](71)

Dengan mengalikan pembilang dan penyebut suku kedua persamaan (71) dengan faktor \((\mathcal{L}_{_1}/\mathfrak{M})^2\) diperoleh:

\[\bar{Z}(\alpha) = r_1 + \frac{j\mathcal{L}_1\omega \left(\mathcal{L}_1/\mathcal{M}\right)^2 \left(r_2/\alpha + j\mathcal{N}_2\omega\right)}{\left(\mathcal{L}_1/\mathcal{M}\right)^2 \left\{r_2/\alpha + j\mathcal{N}_2\omega\right\} + j\mathcal{L}_1\omega}\]

sehingga:

\[\bar{Z}(\alpha) = r_1 + \frac{1}{\frac{1}{j\mathcal{L}_1\omega} + \frac{1}{(\mathcal{L}_1/\mathfrak{M})^2 (r_2/\alpha + j\mathcal{N}_2\omega)}}\](72)

dari rangkaian satu fasa MTS men-iadi sepert-i yang diperlihatkan pada ganrbar 13.

Gambar 13 Rangkaian ekivalen satu fasa

Dengan : r' : (L / Tlt )z r ^z'Lt /,/; : (2t/ m), il, maka rangkaian ekivalen pada gambar 13 dapat disederhanakan dengan membawa besaran rotor ke stator sehingga menjadi gambar 14:

Gambar 14 Rangkaian ekivalen satu fasa disederhanakan

Dengan memperhitungkan rugi-rugi inti yang proporsional dengan kwadrat tegangan sumber,maka rugi-rugi inti dapat diekivalensikan dengan tahanan R, paralel dengan induktansi 9, (disebut juga induktansi magnetisasi). Mengingat tahanan rl sangat kecil, maka tegangan jatuh di r', dapat diabaikan sehingga rangkaian ekivalen menjadi lebih sederhana lagi (gambar i5).

Gambar 15 Rangkaian ekivalen yang lebih disederhanakan.

Dihasilkannya nilai induktansi bocor sebagai fungsi induktansi siklis dan induktansi bersama yang dipengaruhi oleh semua kumparan di mesin akan lebih menambah wawasan para pengajar maupun mahasiswa yang akan mendalami analisis mesin iistrik.

KESII\{PUI,AN

Dalam pembahasan sirkuit magnetik, analisis dapat dilakukan untuk keadaan tanpa bocoran magnet dan dengan bocoran magnet. Terdapat perbedaan antara induktansi sendiri bila bocoran magnet diperhitungkan.

Dalam sistem tiga fasa terlihat adanya induktansi siklis yang me:-upakan fungsi dari induktansi sendiri satu fasa dan induktansi ber': ama,

Pacia analisis transformator 3 fasa, rangkaian ekivalen satu fasa jelas menunjukkan hubungan dasar persamaan tegangan sebagai fungsi induktansi siklis sendiri dan induktansi siklis bersama.

Rangkaian ekivalen sistem fasa MTS 3 fasa dapat ditemukan dari persamaan tegangan dengan menunjukkan reaktansi bocor di rotor sebagai fungsi induktansi sendiri dan induktansi bersama srklis. Reaktansi inti juga menupakan fungsi induktansi siklis sendiri stator.

Bila diperhitungkan bocoran magnet di stator, dengan mudah ditunjukkan adanya reaktansi bocor di stator.

UCAPAN TERIMA KASIII

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof.T.M Soelaiman, MsEE yang telah memberikan koreksi dan saran perbaikan.