1. Pendahuluan
Dalam metode domain waktu (MDW), matriks kovariansi dihitung dari solusi fungsi waktu. Metode ini dikembangkan dari sistem getaran acak dengan gangguan derau putih (white noise). Dari solusi umum fungsi waktu dan sifat fungsi acak derau putih, matriks kovariansi dapat dihitung dari suatu persamaan linear, tanpa harus melalui penghitungan PSD solusi, Sutjiatmo [1].
Dibandingkan dengan metode domain frekuensi, metode analisis domain waktu lebih unggul, karena matriks kovariansi dapat dihitung dari persamaan linear, tanpa harus melalui transformasi ke domain frekuensi. MDW merupakan penghitungan kovariansi metode solusi fungsi waktu. Metode ini dikembangkan dari sistem getaran bergangguan derau putih. Bentuk dasar metode ini adalah sistem getaran yang mendapat gangguan derau putih seperti yang diperlihatkan pada gambar 1, di mana z adalah vektor keadaan, A dan B adalah matriks sistem.
Tetapi, gangguan gelombang jalan merupakan suatu fungsi acak alami yang bukan derau putih, sehingga metode harus dikembangkan supaya dapat diterapkan
Gambar 1. Bentuk Dasar MDW pada sistem getaran dengan gangguan derau warna. Metode domain waktu untuk sistem getaran dengan gangguan derau warna dilakukan dengan pertolongan suatu filter bentuk yang ditentukan sedemikian rupa sehingga dapat dipakai untuk mengubah derau putih menjadi derau warna yang dikehendaki, yaitu yang sesuai dengan fungsi acak gangguan kendaraan. Gambar 2. menunjukkan diagram blok sistem getaran dengan gangguan derau warna. Bersama dengan filter Bersama dengan filter bentuk, terlihat bahwa sistem gabungan membentuk sistem dasar MDW, yaitu bahwa sistem gabungan mendapat gangguan derau putih.
w (t) Sistem getaran z (t) derau putih \(z = \lambda z + B u\) keluaran
Lektor Kepala Madya Jurusan Teknik Mesin ITB
Gambar 2. Sistem dengan gangguan derau warna
2. MDW untuk Gangguan Derau Warna
gangguan yang Pada kenyataannya, nyata seringkali bukan berupa derau tetapi berupa warna. derau Seperti yang diterangkan dalam Sutjiatmo [1], bentuk dasar MDW adalah sistem dengan gangguan derau putih. Karena itu, untuk mempelajari sistem getaran dengan gangguan dengan derau warna, diperlukan yang filter bentuk menghasilkan derau warna tersebut dari derau putih. Dengan cara tersebut, sistem getaran dan filter bentuk membentuk suatu bersama-sama persamaan diferensial masukan dengan derau warna, seperti yang terlihat dalam yang sifat selanjutnya dapat dengan dihitung keluarannya analisis domain waktu. Persamaan sistem getaran linear yang diganggu dengan derau warna dapat dituliskan sebagai, Sutjiatmo [1],
\[\dot{z}(t) = \lambda z(t) + B u(t) \tag{1}\] di mana A dan B adalah matriks sistem. Besaran vektor keluaran yang dikehendaki dapat dituliskan sebagai
\[p_b(t) = a_b^T z(t)\] (2)
di mana \(\mathbf{a}_b^T\) merupakan matriks keluaran. Besaran \(\mathbf{p}_b(t)\) tersebut misalnya adalah solusi percepatan dari salah satu koordinat \(\mathbf{y}_i(t)\) atau solusi gaya tekan roda pada jalan. Matriks keluaran \(\mathbf{a}_b^T\) dapat ditentukan dari persamaan gerak sistem. Seperti yang telah dikemukakan dalam Sutjiatmo [1], keluaran persamaan 1 akan berupa proses acak Gauss yang dapat dicirikan dengan vektor rataan \(\mathbf{m}_z(t)\) dan matriks kovariansi \(\mathbf{V}_z(t)\).
Supaya sistem menjadi sistem bentuk dasar MDW, yaitu sistem dengan gangguan derau putih , diusahakan agar derau warna u(t) dapat diperoleh dari derau
putih w(t). Untuk itu, direncanakan suatu filter bentuk gelombang yang mempunyai bentuk,
\[u(t) = R_g \cdot g(t)\] \[\dot{g}(t) = P_g \cdot g(t) + Q_g \cdot w(t)\] (3)
di mana \(R_g\), \(P_g\), \(Q_g\) adalah matriks filter bentuk gelombang dan w(t) adalah derau putih yang berdistribusi normal dengan rataan
\[m_{i}(t) = 0 (4)\] dan matriks korelasi
\[\mathbf{F}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t},\tau) = \mathbf{E} \{ \mathbf{w}(\mathbf{t}) \mathbf{w}^{\mathsf{T}}(\mathbf{t}) \}\]
\[= W_{0} \delta(t-\tau)\] (5)
di mana
\[W_{w} = W_{w}^{T} \ge 0\] merupakan intensitas derau putih. Diagram blok filter bentuk persamaan 3 diperlihatkan dalam gambar 3.
Gambar 3. Filter bentuk gelombang jalan
Dari persamaan 1 dan 3 dapat disusun persamaan gabungan .
\[\begin{bmatrix} z \\ g \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B & R_g \\ 0 & P_g \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z \\ g \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ Q_g \end{bmatrix} w \quad (6a)\] atau
\[x = A_x x + B_y w\] (6b)
Terlinat bahwa persamaan 6b mempunyai bentuk seperti persamaan 1, yaitu bentuk dasar sistem untuk penerapan MDW. Dengan demikian, solusi persamaan 6b akan berbentuk seperti, Sutjiatmo [1],
\[x(t) = \phi(t) x(0) + \int_{0}^{t} \phi(t-\tau) B w(\tau) d\tau\]
(7)
Solusi \(\mathbf{x}(\mathbf{t})\) akan berupa proses acak Gauss dengan rataan
\[m_{x} = 0 \tag{8}\]
sehingga x(t) dapat dicirikan secara lengkap dengan kovariansinya.
Matriks kovariansi dari x(t) dapat dituliskan sebagai
\[V_{x}(t) = E \{ x (t) x^{T}(t) \} = V_{x}^{T}(t)\] (9)
Turunan \(\mathbf{V}_{\mathbf{x}}\) (t) terhadap t menjadi
\[V_{x}(t) = E\{\dot{x}(t) \ x^{T}(t) + x(t) \ \dot{x}^{T}(t)\}\] (10)
Jika persamaan 6b dimasukkan ke dalam persamaan 10 diperoleh
\[V_x(t) = E \left\{ \lambda_x(t) x(t) x^T(t) + x(t) x^T(t) \lambda_x^T(t) + x(t) x^T(t) \right\}\]
+ \[B_{x}^{T}(t)\] w(t) \(x^{T}(t)\) + x(t) \(y^{T}(t)\) \(B_{x}^{T}(t)\)
atau dengan persamaan 9
\[V_{x}(t) = A_{x}V_{x}(t) + V_{x}(t)A^{T} + S(t)\] (11)
di mana
\[S(t) = E\left\{B_{x}(t)W(t)X^{T}(t) + x(t)W^{T}(t)B_{x}^{T}(t)\right\}\] (12)
Dengan menggunakan persamaan 7 dan berdasarkan kenyataan bahwa vektor keadaan awal tidak berkorelasi dengan derau putih, yaitu
\[E \{ w(t) x^{T}(0) \} = 0\]
persamaan 12 dapat dituliskan sebagai
\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]
Dengan sifat fungsi delta dirac, persamaan 13 menjadi
\[S(t) = B_{x}(t) W_{y}(t) B_{x}^{T}(t)\] (14)
Persamaan 11 berlaku pula untuk sistem getaran linear varian waktu, yaitu sistem getaran dengan matriks \(\mathbf{A}_{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\) dan \(\mathbf{B}_{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\) yang berupa fungsi waktu. Untuk sistem getaran linear invarian waktu berlaku
\[\mathbf{A}_{\mathbf{x}}(\mathbf{t}) = \mathbf{A}_{\mathbf{y}} = \text{konstan}\]
\[B_{x}(t) = B_{x} = konstan\] (15)
\[S(t) = S = konstan\]
Pada sistem getaran stabil, dalam keadaan stasioner, t\(\infty\), berlaku
\[V_{x}(t \rightarrow \infty) = V_{x} = \text{konstan}\] \[V_{x}(t \rightarrow \infty) = 0\] (16)
Dengan memasukkan persamaan 14 ke dalam persamaan 11, untuk sistem getaran linear invarian waktu dalam keadaan stasioner, yaitu persamaan 16, kovariansi solusi x harus memenuhi persamaan Ljapunov
\[\mathbf{A}_{\mathbf{x}} \ \mathbf{V}_{\mathbf{x}} + \mathbf{V}_{\mathbf{x}} \ \mathbf{A}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}} + \mathbf{S} = 0 \tag{17}\] dan vektor rataannya
\[m_{_{\chi}} = 0 \tag{18}\]
Untuk menyelesaikan persamaan 17, matriks \(\mathbf{V}_{\mathbf{x}}\) dipecah dalam submatriks, sesuai dengan pemecahan matriks \(\mathbf{A}_{\mathbf{x}}\) dan \(\mathbf{B}_{\mathbf{x}}\), menjadi
\[\mathbf{v}_{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{z} & \mathbf{v}_{zg} \\ \mathbf{v}_{zg}^{T} & \mathbf{v}_{gg} \end{bmatrix}\] (19)
Matriks S dihitung dengan memasukkan matriks \(\mathbf{B}_{\mathbf{x}}\) yang diambil dari persamaan 6 ke dalam persamaan 14 yang menghasilkan
\[\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{Q} & \mathbf{W}_{u} & \mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \end{bmatrix}\] (20)
Dengan memasukkan matriks \(\mathbf{A}_{\mathbf{x}}\) dari persamaan 6 ke dalam persamaan 17 serta dengan menggunakan persamaan 19 dan persamaan 20 diperoleh hubungan
\[\mathbf{P}_{\mathbf{q}}\mathbf{V}_{\mathbf{q}} + \mathbf{V}_{\mathbf{q}} \mathbf{P}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{T}} + \mathbf{Q}_{\mathbf{q}} \mathbf{W}_{\mathbf{w}} \mathbf{Q}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{T}} = \mathbf{0}\] (21a)
\[\lambda V_{zg} + V_{zg} P^{T} + B R_{g} V_{g} = 0\] (21b)
\[\mathbf{A} \mathbf{V}_{z} + \mathbf{V}_{z} \mathbf{A}^{T} + \mathbf{V}_{zq}^{T} \mathbf{B} \mathbf{R}_{q} + \mathbf{V}_{zq} \mathbf{R}_{q}^{T} \mathbf{B}^{T} = \mathbf{0}\]
(21c)
Persamaan 21 tidak lain merupakan pula persamaan Ljapunov yang tidak terkopel dan dapat diselesaikan secara berurutan. Untuk sistem getaran orde rendah, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan tangan. Tetapi, untuk sistem getaran dengan orde tinggi, penyelesaian persamaan tersebut memerlukan algoritma komputasi. Untuk itu tersedia banyak metode, misalnya Bartels [3]. Dengan menyelesaikan persamaan 21 dapat diperoleh \(\mathbf{V}_{\mathbf{g}}\), \(\mathbf{V}_{\mathbf{zg}}\) dan \(\mathbf{V}_{\mathbf{g}}\), sehingga dapat diperoleh matriks kovariansi \(\mathbf{V}\).
Dari matriks \(\mathbf{V}_{z}\) yang telah dihitung, simpangan baku dari koordinat \(\mathbf{z}_{1}\)(t), yaitu \(\sigma_{\mathbf{z}_{1}}\), dapat dihitung dengan
\[\sigma_{zi} = \sqrt{v_{z1i}}\] (22)
Nilai simpangan baku tersebut tidak lain merupakan nilai RMS ( root mean square ) dari solusi \(\mathbf{z}_i\) (t). Selanjutnya, RMS besaran keluaran yang diinginkan dapat dihitung dengan
\[\sigma_{\rm pb} = \sqrt{a_{\rm b}^{\rm T} V_{\rm z} a_{\rm b}} \tag{23}\]
3. Kesimpulan
Dengan bantuan filter bentuk, gangguan derau warna dapat dihasilkan dari derau putih. Persamaan sistem getaran dan filter bentuk dapat digabung menjadi persamaan diferensial yang mempunyai gangguan derau putih. Selanjutnya, deviasi standar atau RMS respons sistem dapat dihitung dengan matriks kovariansi solusi getaran.
Pustaka
- Sutjiatmo, Dasar Metode Domain Waktu untuk Analisis Sisten Getaran Acak Linear, Majalah Mesin Vol. VI, No. 3 dan 4. 1988
- dan 4, 1988 2. Chen, C.T., Introduction to Linear System Theory, Hold Rinehart and Winston Inc., New York, 1970
- 3. Bartels, R.H., Stewart, G.W., Solution of the Matrix Equation AX + XB = C, Communication of the ACM, Vol. 15, No. 19, 1972.