Pendahuluan

Matriks kekakuan elemen balok lentur lurus dengan potongan seragam dan matriks kekakuan elemen balok lentur dengan tinggi seragam dan lebar variabel dapat ditemukan dalam berbagai literatur [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Sedangkan matriks kekakuan elemen balok lentur dengan lebar seragam dan tinggi variabel telah diformulasikan [7].

Makalah ini menyajikan penurunan matriks kekakuan elemen balok lentur dengan tinggi dan lebar tak seragam dan matriks kekakuan elemen balok lentur berongga dengan tinggi dan lebar tak seragam.

Matriks Kekakuan Elemen Balok Lentur

Elemen balok lentur dengan tinggi dan lebar tak seragam digambarkan sebagai berikut

^*) Staf Pengajar Jurusan Teknik Mesin ITB

Matriks kekakuan elemen balok lentur adalah [2], [7]:

\[[k] = \int_{\rho} [B]^{T}[D][B]dx \qquad (1)\]

\[[B] = \frac{1}{2} [(6 - 12 L_1), \ell(2L_2 - 4L_1),\]

\[(6 - 12L_2), \ell(4L_2 - 2 L_1)\] (3)

sehingga

\[[k] = \int_{\ell} EI [B]^{T}[B] dx\] (4)

Momen inersia I tergantung dari x sebagai berikut:

\[I = \frac{1}{12} b(x) h^{3}(x)\] (5)

Dengan koordinat natural, maka [7]:

\[b(x) = L_1 b_1 + L_2 b_2 \tag{6}\]

\[h(x) = L_1 h_1 + L_2 h_2\] (7)

sehingga

\[I = \frac{1}{12} b(x) h^{3}(x)\] \[= \frac{1}{12} (L_{1}b_{1} + L_{2}b_{2}) (L_{1}h_{1} + L_{2}h_{2})^{3}\] \[= \frac{1}{12} \left[ (b_{1}h_{1}^{3})L_{1}^{4} + (3h_{1}^{2}h_{2}b_{1} + b_{2}h_{1}^{3}) L_{1}^{3}L_{2} + (3h_{1}h_{2}^{2}b_{1} + b_{2}h_{1}^{3}) L_{1}^{3}L_{2}^{2} + (b_{1}h_{2}^{3} + b_{2}h_{1}^{2}h_{2}^{2}) L_{1}^{2}L_{2}^{2} + (b_{1}h_{2}^{3} + b_{2}h_{1}^{2}h_{2}^{2}) L_{1}^{2}L_{2}^{3} + (b_{2}h_{2}^{3})L_{2}^{4} \right]\]

Substitusi persamaan (8) ke dalam persamaan (4) dan menyederhana-kannya dengan \(\frac{1}{12}\) b₁h₁ \(^3\) = I₁

\[\frac{1}{12} b_2 h_2^3 = I_2\], diperoleh:

\[[k] = EI_1 \int_{a} L_1^4 [B]^T [B] dx +\]

\[+ E \left[ 3 I_{1} \left( \frac{h_{2}}{h_{1}} \right) + I_{1} \left( \frac{b_{2}}{b_{1}} \right) \right] \int_{\ell} L_{1}^{3} L_{2}\] \[[B]^{T}[B] dx\] \[+ E \left[ 3 I_{1} \left( \frac{h_{2}}{h_{1}} \right) + 3 I_{2} \left( \frac{h_{1}}{h_{2}} \right)^{2} \right]\] \[\int_{\ell} L_{1}^{2} L_{2}^{2} [B]^{T}[B] dx\] \[+ E \left[ I_{2} \left( \frac{b_{1}}{b_{2}} \right) + 3 I_{2} \left( \frac{h_{1}}{h_{2}} \right) \right]\] \[\int_{\ell} L_{1} L_{2}^{3} [B]^{T}[B] dx\] \[+ E I_{2} \int_{\ell} L_{2}^{4} [B]^{T}[B] dx \qquad (9)\]

Hasil perkalian \([B]^{T}[B]\) adalah [7]:

\[\begin{bmatrix} \mathbf{B} \end{bmatrix}^{\mathbf{T}} \begin{bmatrix} \mathbf{B} \end{bmatrix} = \frac{1}{\ell^4} \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} & \mathbf{D} & \mathbf{G} \\ & \mathbf{C} & \mathbf{E} & \mathbf{H} \\ & & \mathbf{F} & \mathbf{I} \\ & & & \mathbf{J} \end{bmatrix}\](10)

\[A = (6 - 12L_1)^2 \tag{11}\]

\[B = \ell(6 - 12 L_1) (2 L_2 - 4 L_1)\] (12)

\[C = \ell^2 (2 L_2 - 4 L_1)^2\] (13)

\[D = (6 - 12 L_1) (6 - 12 L_2)\] (14)

\[E = \ell (2 L_2 - 4 L_1) (6 - 12 L_2)\] (15)

\[F = (6 - 12 L_1)^2\] (16)

\[G = \ell (6 - 12 L_1) (4 L_2 - 2 L_1)\] (17)

\[H = \ell^2 (2 L_2 - 4 L_1) (4 L_2 - 2 L_1)\] (18)

\[I = \ell (6 - 12 L_2) (4 L_2 - 2 L_1)\] (19)

\[J = \ell^2 (4 \ \underline{L}_2 - 2 \ \underline{L}_1) \tag{20}\]

Suku pertama dari persamaan (9), jika \([B]^T[B]\) disubstitusikan kedalamnya, akan berupa :

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

Diperlukan 10 kali proses integrasi untuk menyelesaikan suku pertama dari persamaan (9).

Integrasi pertama adalah

\[\frac{EI_{1}}{\ell^{4}} \int_{\ell} L_{1}^{4} dx = \frac{EI_{1}}{\ell^{4}} \int_{\ell} L_{1}^{4} (6 - 12 L_{1})^{2} dx (22)\]

Dengan menggunakan rumus (lihat appendix)

\[\int_{\ell} L_1^{p} L_2^{q} dx = \frac{p! \ q!}{(p+q+1)} \ell\] (23)

maka persamaan (22) menjadi :

\[\frac{\text{EI}_{1}}{\ell^{4}} \left[ \int_{\ell}^{36\text{L}_{1}^{4}\text{dx}} - \int_{\ell}^{144\text{L}_{1}^{5}\text{dx}} + \int_{\ell}^{144\text{L}_{1}^{6}\text{dx}} \right]\]

\[= \frac{\text{EI}_{1}}{\ell^{4}} \left[ (36) \frac{4! \ 0!}{(4+0+1)!} \ell - \frac{5! \ 0!}{(5+0+1)!} \ell - \frac{6! \ 0!}{(6+0+1)!} \ell \right]\] \[= \frac{\text{EI}_{1}}{\ell^{4}} (7.2\ell - 24\ell + 20.57 \ell)\] \[= 3.77\ell \frac{\text{EI}_{1}}{\ell^{4}} = 3.77 \frac{\text{EI}_{1}}{\ell^{3}} (24)\]

Demikianlah seterusnya, suku ke-2, suku ke-3, suku ke-4 dan suku ke-5 dari persamaan (9), masing-masing memerlukan 10 proses integrasi untuk menyelesaikan-

Hasil 50 proses integrasi persamaan (9) adalah sebagai berikut:

\[\begin{bmatrix} k \end{bmatrix} = b_1 \begin{bmatrix} 3.7714 & 2.6857\ell & -3.7714 & 1.0857\ell \\ & 1.9428\ell^2 & -2.6857\ell & 0.7429\ell^2 \\ & & 3.7714 & -1.0857\ell \\ & & & & 0.3429\ell \end{bmatrix} +\]

\[b_{2} \begin{bmatrix} 0.4286 & 0.3143\ell & -0.4286 & 0.1143\ell \\ 0.2571\ell^{2} & -0.3143\ell & 0.0571\ell^{2} \\ 0.4286 & -0.1143\ell \\ 0.0571\ell^{2} \end{bmatrix}\]

\[b_{3} \begin{bmatrix} 0.1714 & 0.0857\ell & -0.1714 & 0.0857\ell \\ & 0.0762\ell^{2} & -0.0857\ell & 0.0095\ell^{2} \\ & & 0.1714 & -0.0857\ell \\ \text{simetrik} & & 0.0762\ell^{2} \end{bmatrix}\]

\[\mathbf{b_4} \begin{bmatrix} 0.4286 & 0.1143\ell & -0.4286 & 0.3143\ell \\ & 0.0571\ell^2 & -0.1143\ell & 0.0571\ell^2 \\ & 0.4286 & -0.03143\ell \\ \text{simetrik} & 0.2571\ell^2 \end{bmatrix} +_{\mathbf{b}}\]

\[b_{5}\begin{bmatrix} 3.7714 & 1.0857\ell & -3.7714 & 2.6857\ell_{2} \\ & 0.3429\ell^{2} & -1.0857\ell & 0.7429\ell^{2} \\ & & 3.7714 & -2.6857\ell_{2} \\ simetrik & & & 1.9429\ell^{2} \end{bmatrix}\] ...(25)

\[b_1 = \frac{E}{\ell^3} I_1 \tag{26}\]

\[b_2 = \frac{E}{\ell^3} I_1 \left[ 3 \left( \frac{h_2}{h_1} \right) + \left( \frac{b_2}{b_1} \right) \right]\] (27)

\[b_{3} = \frac{E}{\ell^{3}} \left[ 3I_{1} \left( \frac{h_{2}}{h_{1}} \right)^{2} + 3I_{2} \left( \frac{h_{2}}{h_{1}} \right)^{2} \right] \quad (28)\]

\[b_4 = \frac{E}{\ell^3} I_2 \left[ 3 \left( \frac{h_1}{h_2} \right) + \left( \frac{b_1}{b_2} \right) \right]\] (29)

\[b_5 = \frac{E}{\ell^3} I_2 \tag{30}\]

Bentuk Lain Matriks Kekakuan Elemen

Balok Lentur Dengan Potongan Tak Seragam

elemen kekakuan tak seragam, lentur dengan potongan persamaan (25), dapat dituangkan dalam bentúk berikut [8] :

\[[k] = \frac{\text{Ea}_1}{\ell^3} \begin{bmatrix} 12 & 6L & -12 & 6L \\ & 4L & -6L & 2L^2 \\ & & 12 & -6L \\ & & & 12 & -6L \end{bmatrix}\] \[+ \frac{\text{Ea}_2}{\ell^3} \begin{bmatrix} 6 & 2L & -6 & 4L \\ & L^2 & -2L & L^2 \\ & & 6 & -4L \\ & & & 3L^2 \end{bmatrix}\] \[+ \frac{\text{Ea}_3}{15\ell^3} \begin{bmatrix} 72 & 21L & -72 & 51L \\ & & 8L^2 & -21L & 13L^2 \\ & & & 72 & -51L \\ & & & & 38L \end{bmatrix}\] \[+ \frac{\text{Ea}_4}{5\ell^3} \begin{bmatrix} 21 & 6L & -21 & 15L \\ & 2L^2 & -6L & 4L^2 \\ & & & 21 & -15L \\ & & & & & 11L^2 \end{bmatrix}\] \[+ \frac{\text{Ea}_5}{-13} \begin{bmatrix} 132 & 38L & -132 & 94L \\ & & & & 12L^2 & -38L & 26L^2 \\ & & & & & 132 & -94L \end{bmatrix}\] dengan

\[a_{1} = \frac{b_{1}h_{1}^{3}}{12}\] (32)

\[a_2 = \frac{3b_1h_1^2(h_2-h_1) + (b_2-b_1)h_1^3}{12}\] (33)

\[a_3 = \frac{3b_1h_1(h_2-h_1)^2 + 3(b_2-b_1)h_1^2(h_2-h_1)}{12}\] (34)

\[a_4 = \frac{b_1(h_2-h_1)^3 + 3(b_2-b_1)h_1(h_2-h_1)^2}{12}\] (35)

\[a_5 = \frac{(b_2 - b_1)(h_2 - h_1)^3}{12}\] (36)

Matriks Kekakuan Elemen Balok Lentur Berongga Dengan Potongan Tak Seragam

Elemen balok lentur berongga dengan potongan tak seragam digambarkan sebagai berikut :

(31)

Dalam sistem koordinat natural, maka pada potongan yang terletak x dari pusat sumbu berlaku :

\[h(x) = L_{1} \cdot h_{1} + L_{2} \cdot h_{2}\] \[b(x) = L_{1} \cdot b_{1} + L_{2} \cdot b_{2}\] \[t(x) = L_{1} \cdot t_{1} + L_{2} \cdot t_{2}\] \[w(x) = L_{1} \cdot w_{1} + L_{2} \cdot w_{2}\] (37)

inersia I(x) balok pada potongan x terhadap bidang netral adalah

\[I = I_{\ell}(x) - I_{d}(x)\] \[= \frac{1}{12} \left[ b(x)h^{3}(x) - w(x)t^{3}(x) \right] (38)\]

I (x) = momen inersia potongan luar, potongan dengan sisi b(x) dan h(x) momen inersia potongan dalam, yaitu potongan dengan sisi w(x) dan t(x)

Substitusi persamaan (37) ke dalam persamaan (38) menghasilkan :

\[I(x) = \frac{1}{12} \left( L_1 b_1 + L_2 b_2 \right) (L_1 b_1 + L_2 b_2)^3 - \frac{1}{12} \left( L_1 w_1 + L_2 w_2 \right) \left( L_1 t_1 + L_2 t_2 \right)^3 (39)\]

Persamaan (39) di atas, dengan ban-

\[I_{1} = \frac{1}{12} b_{1} h_{1}^{3} , I_{d1} = \frac{1}{12} w_{1} t_{1}^{3}\] \[= \frac{1}{12} \left[ b(x) h^{3}(x) - w(x) t^{3}(x) \right]\] \[I_{2} = \frac{1}{12} b_{2} h_{2}^{3} , I_{d2} = \frac{1}{12} w_{2} t_{2}^{3}\] \[(40)\]

dituangkan dalam bentuk di bawah ini

\[\begin{split} \mathbf{I}(\mathbf{x}) &= \left(\mathbf{I}_{\ell 1} - \mathbf{I}_{d1}\right) \mathbf{L}_{1}^{4} + \left(\frac{3\mathbf{h}_{2}}{\mathbf{h}_{1}} + \frac{\mathbf{b}_{2}}{\mathbf{b}_{1}}\right) \mathbf{I}_{\ell 1} - \\ &\left(\frac{3\mathbf{t}_{2}}{\mathbf{t}_{1}} + \frac{\mathbf{w}_{2}}{\mathbf{w}_{1}}\right) \mathbf{I}_{d1} \mathbf{L}_{1}^{3} \mathbf{L}_{2} + \left[\left(\frac{3\mathbf{h}_{2}^{2}}{\mathbf{h}_{1}^{2}}\right) \mathbf{I}_{\ell 1} - \\ &\left(\frac{\mathbf{t}_{2}^{2}}{\mathbf{t}_{1}^{2}}\right) \mathbf{I}_{d1} + \left(\frac{3\mathbf{h}_{1}^{2}}{\mathbf{h}_{2}^{2}}\right) \mathbf{I}_{\ell 2} - \left(\frac{\mathbf{t}_{1}^{2}}{\mathbf{t}_{2}^{2}}\right) \mathbf{I}_{d2}\right] \mathbf{L}_{1}^{2} \mathbf{L}_{2}^{2} \\ &+ \left[\left(\frac{3\mathbf{h}_{1}}{\mathbf{h}_{2}} + \frac{\mathbf{b}_{1}}{\mathbf{b}_{2}}\right) \mathbf{I}_{\ell 2} - \left(\frac{3\mathbf{t}_{1}}{\mathbf{t}_{2}} + \frac{\mathbf{w}_{1}}{\mathbf{w}_{2}}\right) \mathbf{I}_{d2}\right] \mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2}^{3} \\ &+ \left(\mathbf{I}_{2} - \mathbf{I}_{d2}\right) \mathbf{L}_{2}^{4} \end{split} \tag{41}\]

Atau

\[I_{x} = c_{1}L_{1}^{4} + c_{2}L_{1}^{3}L_{2} + c_{3}L_{1}^{2}L_{2}^{2} + c_{4}L_{1}L_{2}^{3} + c_{5}L_{2}^{4}\] (42)

dengan

\[c_{1} = \left(I_{\ell 1} - I_{d1}\right)\] \[c_{2} = \left(\frac{3h_{2}}{h_{1}} + \frac{b_{2}}{b_{1}}\right)I_{\ell 1} - \left(\frac{3t_{2}}{t_{1}} + \frac{w_{2}}{w_{1}}\right)I_{d1}\] \[c_{3} = \left(\frac{3h_{2}^{2}}{h_{1}^{2}}\right)I_{\ell 1} - \left(\frac{t_{2}^{2}}{t_{1}^{2}}\right)I_{d1} +\] \[+ \left(\frac{3h_{1}^{2}}{h_{2}^{2}}\right)I_{\ell 2} - \left(\frac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}\right)I_{d2}\] (45)

\[c_4 = \left(\frac{3h_1}{h_2} + \frac{b_1}{b_2}\right)I_{\ell 2} - \left(\frac{3t_1}{t_2} + \frac{w_1}{w_2}\right)I_{d2}\] (46)

\[c_5 = \left(I_{\ell 2} - I_{d2}\right) \tag{47}\]

Dengan memasukkan persamaan (42) ke dalam persamaan (1) diperoleh :

\[[\kappa] = \int_{\ell} [B]^{T}[D][B]dx\]\[= \int_{\ell} EI(x)[B]^{T}[B]dx\]

\[= E \int_{\ell} c_{1} L_{1}^{4} [B]^{T} [B] dx +\] \[+ E \int_{\ell} c_{2} L_{1}^{3} L_{2} [B]^{T} [B] dx +\] \[+ E \int_{\ell} c_{3} L_{1}^{2} L_{2}^{2} [B]^{T} [B] dx +\] \[+ E \int_{\ell} c_{4} L_{1} L_{2}^{3} [B]^{T} [B] dx +\] \[+ E \int_{\ell} c_{5} L_{2}^{4} dx \qquad (48)\]

Dengan [B] seperti dinyatakan pada persamaan (3) dan 50 kali proses integrasi akhirnya diperoleh matriks kekakuan elemen lentur berongga dengan potongan tak seragam sebagai berikut :

\[[k] = \frac{Ec_1}{\ell^3} \begin{bmatrix} 3.7714 & 2.6857\ell & -3.7714 & 1.0857\ell \\ & 1.9429\ell^2 & -2.6857\ell & 0.7429\ell^2 \\ & 3.7714 & -1.0857\ell & 0.3429\ell^2 \end{bmatrix} + \\ \frac{Ec_2}{\ell^3} \begin{bmatrix} 0.4286 & 0.3143\ell & -0.4286 & 0.1143\ell \\ & 0.2571\ell^2 & -0.3143\ell & 0.0571\ell^2 \\ & 0.4286 & -0.1143\ell & 0.0571\ell^2 \end{bmatrix} \\ \frac{Ec_3}{\ell^3} \begin{bmatrix} 0.1714 & 0.0857\ell & -0.1714 & 0.0857\ell \\ & 0.0762\ell^2 & -0.0857\ell & 0.0095\ell \\ & 0.1714 & -0.0857\ell & 0.0762\ell^2 \end{bmatrix} + \\ \frac{Ec_4}{\ell^3} \begin{bmatrix} 0.4286 & 0.1143\ell & -0.4286 & 0.3143\ell \\ & 0.0571\ell^2 & -0.1143\ell & 0.0571\ell^2 \\ & 0.4286 & -0.3143\ell & 0.2571\ell^2 \end{bmatrix} \\ \frac{Ec_5}{\ell^3} \begin{bmatrix} 3.7714 & 1.0857\ell & -3.7714 & 2.6857\ell \\ & 0.3429\ell^2 & -1.0857\ell & 0.7429\ell \\ & 3.7714 & -2.6857\ell \\ & & 3.7714 & -2.6857\ell \end{bmatrix} \\ \frac{Ec_5}{\ell^3} \begin{bmatrix} 3.7714 & 1.0857\ell & -3.7714 & 2.6857\ell \\ & 0.3429\ell^2 & -1.0857\ell & 0.7429\ell^2 \\ & & 3.7714 & -2.6857\ell \\ & & & & 1.9429\ell^2 \end{bmatrix}\] dengan \(c_1, c_2, c_3, c_4\) dan \(c_5\) seperti pada persamaan (43), (44), (45), (46) dan (47).

.. (49)

<u>Aplikasi</u>

Di bawah ini dicantumkan contoh soal batang kantilever dengan potongan tak seragam, yaitu dengan lebar seragam dan tinggi tak seragam.

Pada program paket seperti SAP80, maka batang kantilever tersebut dianggap terdiri dari beberapa elemen yang masing-masing dianggap berpotongan seragam. Anggapan tersebut menghasilkan

perpindahan ujung batang dan titik-titik nodal berbeda dari hasil perhitungan batang kantilever yang tidak dianggap seragam.

Panjang Balok : 700 mm Gaya , P : 10 Kg (100 N) Panjang Setiap elemen , L : 70 mm Modulus Elastisitas Young, E : 2E+05 N/mm²

Massa Jenis Bahan , Rho : 7.8514E-06 kg / mm³

Gravitasi , g : 10 m / s²

PERPINDAHAN NODAL :

Panjang Balok : 700 mm Gaya , P : 10 Kg (100 N) Panjang Setiap elemen , L : 70 mm Modulus Elastisitas Young, E : 2E+05 N / mm² Hassa Jenis Bahan , Rho : 7.8514E-06 kg / mm³ Gravitasi , g : 10 m / s²

<u>Kesimpulan</u>

Elemen balok lentur pada program paket komputer seperti SAP80 dianggap mempunyai potongan seragam, sehingga matriks kekakuan elemen-nya adalah seperti:

\[[k] = \frac{E}{\ell^3} I \begin{bmatrix} 12 & 6\ell & -12 & 6\ell \\ 4\ell^2 & -6\ell & 2\ell^2 \\ & 12 & -6\ell \end{bmatrix}\] (50)

Dengan memakai rumus matriks kekakuan elemen balok lentur dengan potongan tak seragam untuk elemen yang potongannya memang tidak seragam akan memberikan hasil perhitungan yang lebih teliti.

<u>Daftar Pustaka</u>

• 1. Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill Publishing Company Limited, 1971
• Limited, 1971 2. Desai, C.S. & Abel, J.F., Introduction to The Finite Element Method, Van Nostrand Reinhold Company, 1972
• Nostrand Reinhold Company, 1972 3. Gallagher, R.H., Finite Element Analysis Fundamental, PrenticeHall Inc., 1975

• Weaver, W. Jr. & Gere, J.M., Matrix Analysis of Framed Structures, Second Edition, D. Van Nostrand Company, 1980
• Company, 1980 5. Huebner, K.H. and E.A. Thornton, The Finite Element Method for Engineers, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1982
• Sons, 1982 6. Cook, R.D., Concept and Applications of Finite Element Analysis, 2nd. ed., John Wiley & Sons, 1981
• ed., John Wiley & Sons, 1981 7. Dr.ir. Darmawan Harsokoesoemo & Ir. Heri Waskitho, "Formulasi Matriks Kekakuan Elemen Balok Dengan Tinggi Variabel dan Matriks Transformasi Untuk Metoda Elemen Hingga", Mesin Vol. VI
• No. 3 & 4, November 1989 8. Edi Rahadi, "Penurunan Matriks Kekakuan dan Matriks Inersia Balok Penampang Tak Seragam", Tugas Sarjana, Jurusan Teknik Mesin ITB, 1988
• 9. Moh. Taufik Afianto, "Penurunan Matriks Kekakuan Balok Lentur Berongga Dengan Penampang Tak Seragam. Analisis Tegangan Lengan Utama Ekskavator Caterpilar Type E-180 Dengan Metoda Elemen Hingga", Tugas Sarjana, Jurusan Teknik Mesin ITB, 1988

LAMPIRAN

Koordinat natural \(L_1\) dan \(L_2\) titik P didefinisikan sebagai :

\[L_{1}(x) = \frac{x_{2} - x}{x_{2} - x_{1}} = \frac{x_{2} - x}{\ell}\] atau \(L_{1}(x) = \frac{\ell - x}{\ell}\) (a)

\[L_2(x) = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x - x_1}{\ell}\] \(L_2(x) = \frac{x}{\ell}\) (b)

dengan :

\[L_1 + L_2 = 1\] (c)

Diferensiasi terhadap x pada koordinat natural dilakukan sebagai berikut:

\[\frac{d}{dx} = \frac{\partial}{\partial L_1} \cdot \frac{\partial L_1}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial L_2} \cdot \frac{\partial L_2}{\partial x}\] dengan :

\[\frac{\partial L_1}{\partial x} = -\frac{1}{\ell} \quad \text{dan} \quad \frac{\partial L_2}{\partial x} = -\frac{1}{\ell}\]

sehingga:

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{\ell} \left( \frac{\partial}{\partial L_2} - \frac{\partial}{\partial L_1} \right) \qquad (d)\]

Integrasi dalam koordinat natural dilakukan dengan :

\[\int_{p} L_{1}^{p} L_{2}^{q} dx = \frac{p! \ q!}{(p+q+1)!} \ell \quad (e)\]

p dan q adalah pangkat dalam bilangan integer

\[p! = 1.2.3.... (p-1).p\]
\(q! = 1.2.3.... (p-1).q\)

Jl. Prof. Mohd Yamin 32C Pekanbaru

Ji. Gajah Mada No. 190,

Telp.: (0741) 23460

Citra nyata semen ternama

Central Plaza Building, 21st floor

: 62201 ISJKT IA

: (021)512269

Telex

Facs

Jl. Jend Sudirman No. 47, Jakarta 12930

: 516584, 5207990 ext. 2000, 2001

LEVEL 13: WISMA INDOCEMENT . KAY. 70-71, JL. JEND. SUDIRMAN . JAKARTA 12910 INDONESIA 5782211110LINESI + PO 80X 4018 JAKARTA 10001 + TELEX 44044,44505-46886 INCEMTA INDOCEMENT + TELEFAX 062-21-5780723-5781777-5780061

Pengolahan dan pengembangan Sumber Daya Nasional yang ditangani melalui penguasaan teknologi oleh putera puteri Bangsa sendiri adalah landasan kemandirian Bangsa bagi tujuan kesejahteraan rakyat.

pt. bumi prasidi

Konsultan: Lingkungan - Perencanaan -Rekayasa dan Manajemen

Jl. Dr. Saharjo 149/J Jakarta - 8282740-8281324

Jakarta Head Office :

176-177, Jalan Gajah Mada Phone: (021) - 6291408 (5 Saluran) CABLE ADDRESS: SUMMESRA P.O. BOX 1298/JAK TELEX: 41209 SMR - IA, JAKARTA BARAT FAX: (021) - 6291962

Surabaya Branch Office

Komplek Pertokoan Semut Indah Biock C-03 Jl. Semut Kali - Surabaya Phone : (031) 310575 - 278813 Fax : (031) 31057

HUBUNGILAH DEALER DEALER DI KOTA ANDA

JAKARTA: P.T. ASTRA INTERNATIONAL, Inc., Jl. Dewi Sartika 255, Telp. 8090543-8090834-8091738. TOKO SEPEDA A. ASIA, Jl. Boulevard Blok K4, Kelapa Gading Permai, Telp. 4510839. P.D. MINI, Jl. Kapten Tendean 18 B, Telp. 7993129. EMDE MOTOR, Jl. Pecenongan 48 E, Telp. 370968-367960-352655. BENYAMIN, Jl. Raya Kebon Jeruk 91, Telp. 5492997. P.D. SUBUR, Jl. Taman Sari-9, Telp. 6293547. TOKO MAJU, Jl. Taman Sari 14 B, Telp. 6493336. P.D. ASARO, Jl. Kebayoran Lama 19 C, Telp. 7338305. P.T. NUSA PALEM-KEBAYORAN INTAN MOTOR, Jl. Panglima Polim Raya 68, Telp. 717741-3808001. BANDUNG: P.T. DAYA ADIRA MUSTIKA, Jl. Asia Afrika 138, Telp. 51344-51061. SERANG: P.D. KEMAKMURAN; Jl. Jen. Sudirman 11, Telp. 81299-81099. SEMARANG: P.T. ASTRA INTERNATIONAL, Inc., Jl. Jen. Sudirman 320 B, Telp. 312474-315677. SURABAYA: P.T. MITRA PINASTHIKA MUSTIKA, Jl. Jen. Basuki Rakhmat 58, Telp. 24258-25268. DENPASAR: P.T. ASTRA INTERNATIONAL, Inc., Jl. H.O.S. Cokroaminoto 80, Ubung, Telp. 25252-250657-26198. BANDA ACEH: P.T. CAPELLA DINAMIK NUSANTARA, Jl. Tenku Panglima Polim 51, Telp. 22114. PEKANBARU: P.T. CAPELLA DINAMIK NUSANTARA, Jl. Jen. Sudirman 414-416-418, Telp. 24327. MEDAN: C.V. INDAKO TRADING Coy., Jl. Pemuda 18 D/E/F, Telp. 326900. JAMBI: P.D. SINAR SENTOSA; Jl. Kol. Abunjani 9, Telp. 25551-25531. PALEMBANG: P.T. ASTRA INTERNATIONAL, Inc., Jl. Jen. A. Yani 24 J, PLBG 30252, Telp. 28167. PONTIANAK: P.T. CAHAYA MOTORINDO NUSAMAS, Jl. Tanjung Pura 399, Telp. 2399. SAMARINDA: C.V. SEMOGA JAYA, BSC. Pinang Babaris Blok E 17-18, Telp. 23694-21648. BALIKPAPAN: U.D. HARAPAN UTAMA, Jl. D.I. Panjaitan RT VII A/106, Balikpapan 76123, Telp. 24874. MANADO: U.D. SENTOSA JAYA MOTOR, Jl. Yos Sudarso 38-40, Paal II Telp. 52761. JAYAPURA: C.V. FAJAR BARU, Jl. Percetakan 10-14, Telp. 22181.