Analisis Dinamika Struktur Pada Sistem Fleksibel Di Antariksa

1. PENDAHULUAN

Wahana antariksa atau satelit di antariksa adalah sistem fleksibel, yang selain dipengaruhi oleh medan gravitasi bumi, gaya orbital, gaya elastik, dan gangguan dinamik, baik yang berasal dari dalam maupun dari luar. Gangguan dapat berupa gaya pengendalian, pengaturan distribusi massa, tumbukan mikrometeorid, tekanan radiasi elektromagnetik dan partikel, torsi magnetik. Ditinjau dari gerak dan getaran struktur wahana antariksa yang dianalisis dengan mengabaikan rotasinya, pengaruh rotasi dapat dipandang pula sebagai gangguan. Gangguan-gangguan ini menghasilkan respons wahana yang bergantung pada konfigurasi, ukuran, kefleksibelan, dan pengaturan operasi.

Dalam makalah ini dikembangkan persamaan gerak struktur fleksibel di orbit. Struktur yang ditinjau dimodelkan sebagai benda kontinuum (continuum). Persamaan-persamaan diferensial parsial yang terdapat dalam makalah ini diturunkan melalui peninjauan interaksi antara deformasi elastik wahana dan potensial gravitasi. Tinjauan khusus dilakukan pada batang silinder seragam yang panjang dalam orbit lingkaran yang dalam

hal ini merupakan penyederhanaan dari struktur satelit yang memiliki panel surya yang secara geometrik cukup dominan terhadap badan satelit, dan pada sistem wahana antariksa yang besar dan kompleks, struktur serupa batang merupakan elemen pembentuk utama.

Persamaan-persamaan gerak yang diturunkan terutama mengikuti analisis Bainum, [1].

Persamaan gerak dalam makalah ini diperoleh melalui integrasi Galerkin persamaan gerak titik generik (generic point) benda. Gerakan titik generik dilukiskan sebagai superposisi antara gerakan benda kaku dan kombinasi modusmodus struktural.

2. KERANGKA KOORDINAT

Sistem koordinat yang akan dipakai secara konsisten dalam mengembangkan persamaan gerak dalam makalah ini diuraikan hubungannya dengan memperhatikan Gambar 1.

Pada Gambar 1 terlihatlah bahwa kita kenal lima kerangka koordinat, yaitu:

1) Kerangka rujukan inersial [τ₀ : O'XYZ], dengan definisi sebagai berikut: O'Z - sepanjang sumbu rotasi bumi,

O'X - sepanjang garis yang menghubungkan pusat bumi dengan ascending node,

O'Y - sepanjang garis yang tegak lurus O'X dan O'Z, sesuai aturan tangan kanan.

Gambar 1 : Kerangka koordinat

Keterangan gambar:

O' - pusat bumi

O - pusat massa benda

P - sebarang titik yang ditinjau dalam

2) Kerangka intrinsik lokal pada titik yang ditinjau P \([\tau_{1P}: Pi_1i_2i_3]\), dengan definisi sebagai berikut:

Pi₁ - sepanjang vektor jari-jari dari O'

Pi₂ - sepanjang garis yang tegak lurus terhadap Pi₁ dalam bidang ZO'P, dan

Pi₃ — sepanjang garis yang tegak lurus terhadap Pi₁ dan Pi₂ , sesuai aturan tangan kanan.

3) Kerangka intrinsik lokal pada O [\(\tau_{10}\): Oi\(_{1}\)i\(_{2}\)i\(_{9}\)l, dengan definisi analog dengan kerangka intrinsik lokal pada titik P.

4) Kerangka tetap orbit \(^2\) [\(\tau_2\): \(OX_0Y_0Z_0I\), dengan definisi sebagai berikut: \(OX_0\) - sepanjang garis vertikal lokal, \(OY_0\) - sepanjang garis normal bidang

orbit dan dalam arah negatif dari vektor momentum sudut orbit, dan

OZo - sepanjang garis yang tegak lurus terhadap OXo dan OYo , sesuai

aturan tangan kanan.

5) Sumbu-sumbu utama benda 3 [τ₃: OXYZ].

Adapun hubungan antar kerangka rujukan di atas adalah berikut:

1. Transformasi dari \(\tau_0\) ke \(\tau_1\), dinyatakan dengan persamaan

\[\left\{ \begin{array}{c} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{array} \right\}_{\tau_{1P}} = T_1 \left\{ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right\}_{\tau_0}\] di mana

\[T_{1} = \begin{bmatrix} s\eta c\omega & s\eta s\omega & c\eta \\ c\eta c\omega & c\eta s\omega & -s\eta \\ -s\omega & c\omega & 0 \end{bmatrix}\]

disini, simbol-simbol s dan c menyatakan fungsi sinus dan cosinus.

2. Transformasi dari kerangka intrinsik [\(\tau_1\)] ke kerangka tetap orbit [\(\tau_2\)], dinyatakan dengan persamaan

di mana

\[T_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c\chi & s\chi \\ 0 & -s\chi & c\chi \end{bmatrix}\] (42)

3. Transformasi dari kerangka tetap orbit \([\tau_2]\) ke sumbu-sumbu utama benda \([\tau_a]\), dinyatakan dengan persamaan

\[\left\{ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right\}_{\tau_3} = T_3 \left\{ \begin{array}{c} X_o \\ Y_o \\ Z_o \end{array} \right\}_{\tau_2}\] di mana

\[T_{3} = \begin{bmatrix} c\phi c\theta & s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi & s\phi s\psi - c\phi s\theta c\psi \\ -s\phi c\theta & c\phi c\psi - s\phi s\theta s\psi & c\phi s\psi + s\phi s\theta c\psi \\ s\theta & -c\theta s\psi & c\theta c\psi \end{bmatrix}\] (6)

Ascending node adalah titik pertemuan lintasan naik orbit dengan bidang katulistiva bumi.

Z Kerangka tetap orbit yang dipakai di sini berbeda dengan kerangka yang lazim dipergunakan, di mana pada kerangka yang lazim dipergunakan mengambil OZo sepanvertikal lokal menuju O'; OXO menyinggung lintasan bila. orbit orbit lingkaran; dan OYo sesuai dengan aturan tangan kanan. Kerangka te dipakai di sini mengikuti Kerangka tetap orbit yang Bainum, Peter M. (Ref. 1).

sumbu-sumbu utama benda yang dipergunakan di sini berbeda dengan yang lazim Sumbu-sumbu utama dipergunakan. yang lazim dipergunakan mendasarkan OYo sebagai sumbu gerak tukik (pitch, angguk) , OZ' sebagai sumbu gerak toleh geleng), dan OX" sebagai (yaw, guling (roll). sumbu-sumbu utama gerak dipergunakan di sini mengiyang kuti Bainum, Peter M. [Ref. 1]

Komponen-komponen kecepatan sudut benda (wx, wy, wz) dan laju perubahan sudut Euler (φ,θ,ψ) dihubungkan sebagai berikut:

\[\omega = \dot{\psi} c\phi c\theta + \dot{\theta} s\phi - \omega (s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi)\] \[\omega = -\dot{\psi} s\phi c\theta + \dot{\theta} c\phi - \omega (c\phi c\psi - s\phi s\theta s\psi)\] \[\omega = \dot{\psi} s\theta + \dot{\phi} + \omega c\theta s\psi\] (7)

di mana ω_c adalah kecepatan sudut orbital.

3. PERSAMAAN GERAK

Struktur yang mengorbit di antariksa mengalami berbagai macam gerakan. Sebagai suatu benda kaku, struktur mengalami gerak rotasi; sedangkan sebagai benda fleksibel, struktur mengalami perpindahan elastik titik-titik modusnya.

Dengan menganggap bahwa |r /p « 1, di mana r adalah vektor posisi sebarang titik di dalam benda terhadap titik O dan p adalah jarak titik yang sama dari titik O', potensial gravitasi dalam bentuk umum ditulis sebagai : m

\[V(\rho, \omega, \eta) = \frac{\nu a^2}{\rho} + \nu a \sum_{s=1}^{\infty} K_s \left(\frac{a}{\rho}\right)^{s+1} \Omega_s(\eta, \omega)\] (8)

di mana.

\[K_{e} = K_{eo} cos \phi_{eo}\] (9)

\[\Omega_{n}(\gamma,\omega) = \sum_{m=0}^{e} \left[ \frac{P_{n}^{(m)}(\gamma) \cos (m\omega + \phi_{nm})}{K_{n}} \right]\] (10)

P(m)(n) adalah fungsi Legendre orde s yang ke-m

K_so dan φ_sadalah kostanta yang ditentukan secara percobaan melalui teknik-teknik satelit geodetik

ν - konstanta gravitasi (9.79 m/s² bagi bumi )

a - jari-jari ekuator bumi

Gaya gravitasi per satuan massa pada sumbu pusat benda, O, dalam kerangka Tio adalah

\[\overline{F}_{0} = \overline{\nabla} V|_{0}\] (11)

Untuk titik pada jarak r dari O, dengan mengabaikan besaran-besaran kecil orde dari |r | /p , gaya gravitasi dalam sumbu utama benda, Ta , diberikan oleh

\[\overline{f} = \overline{f_0} + M\overline{r}\] (12)

dengan,

- gaya gravitasi pada titik dinyatakan dalam sumbu-sumbu utama benda (Ta)

\[M = \left[M^{(0)} + \sum_{e=1}^{\infty} K_e \left(\frac{a}{\rho}\right)^e M^{(e)}\right]\] (13)

\[M^{(0)} = \frac{\nu a^2}{\rho^3} \begin{bmatrix} 3c^2 \phi c^2 \theta - 1 & -3s\phi c\phi c^2 \theta & 3c\phi s\theta c\theta \\ -3s\phi c\phi c^2 \theta & 3s^2 \phi c^2 \theta - 1 & -3s\phi s\theta c\theta \\ 3c\phi s\theta c\theta & -3s\phi s\theta c\theta & 3s^2 \theta - 1 \end{bmatrix}\] (14)

\[M^{(9)} = \frac{\nu a^2}{\rho^8} T_8 T_2 B^{(9)} T_2^T T_8^T\] (15)

Matriks B dapat diturunkan, yaitu

\[\begin{bmatrix} (s+1)(s+2)\Omega_{s} & -(s+2)\Omega_{s}' & -(s+2)\frac{\hat{\Omega}_{s}}{s\eta} \\ -(s+2)\Omega_{s}' & [\Omega_{s}''-(s+1)\Omega_{s}] & (\frac{\hat{\Omega}_{s}}{s\eta})' \\ -(s+2)\frac{\hat{\Omega}_{s}}{s\eta} & (\frac{\hat{\Omega}_{s}}{s\eta})' & \Omega_{s}ctg\eta + \left(\frac{m^{2}}{s^{2}\eta} + s+1\right)\Omega_{s} \end{bmatrix}\] \[(16)\]

Kemudian diambil anggapan bahwa benda mengalami perpindahan dengan amplitudo kecil q yang ditransformasikan menjadi gaya elastik oleh operator linear L.

Gambar 2 : Konfigurasi benda terdeformasi dan tak terdeformasi

Keterangan gambar :

O - pusat massa benda

ro - vektor posisi titik P sebelum deformasi

- vektor posisi titik P sesudah deformasi

- perpindahan elastik

Berdasarkan hukum Newton II, persamaan gerak elemen massa dm yang vektor posisi sesaatnya r dari titik pusat massa benda (perhatikan Gambar 2) adalah:

\[\bar{a}\] dm = \(L(\bar{q}) + \bar{f}\) dm + \(\bar{E}\) (17)

dengan

- percepatan inersial yang dialami elemen massa dm

L(q) - gaya elastik yang bekerja pada elemen massa dm

f - gaya gravitasi per satuan massa - gaya-gaya lain yang bekerja pada elemen massa dm

Vektor persamaan di atas dapat dituiiskan dalam kerangka sumbu utama benda [7g] sebagai berikut :

\[\left\{ \vec{a}_{\alpha m} + \vec{r} + 2\vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{\omega} \times \vec{r} \right\} dm\] \[= L(\vec{q}) + \vec{f} dm + \vec{E} \qquad (18)\] dengan

\(rac{1}{2}\) percepatan pusat massa, atau berarti juga percepatan sumbu utama benda \(\tau_3\) terhadap kerangka inersial, r = percepatan elemen massa dm dalam \(\tau_{3}\),

Zwxr - percepatan Coriolis sehubungan gerak elemen massa dm dalam x, y, dan z,

\(\omega\) - percepatan elemen massa dm akibat perubahan \(\omega\) , dan ωχ(ωχr) percepatan sentrifugal sehubungan dengan sudut antara ω dan r.

Vektor posisi sesaat elemen massa dm dituliskan sebagai

\[r = r_0 + q\] (19)

di mana

ro- vektor posisi elemen massa dm terhadap O dalam keadaan tak terdeformasi, dan q - perpindahan elastik elemen massa dm.

Kemudian turunan pertama dan kedua dari vektor posisi elemen massa dm terhadap waktu dituliskan sebagai

\[\vec{r} = \vec{q} + \vec{\Omega}_{O} \times (\vec{r}_{O} + \vec{q}), \text{ dan}\] \[\vec{r} = \vec{q} + \vec{\Omega}_{O} \times (\vec{r}_{O} + \vec{q}) + \vec{\Omega}_{O} \times \vec{q}\] \[+ \vec{\Omega}_{O} \times (\vec{r}_{O} \times (\vec{r}_{O} + \vec{q})) + \vec{\Omega}_{O} \times \vec{q}\] (21)

di mana \(\Omega_0(t)\) adalah kecepatan sudut rotasi yang dilakukan kerangka sumbu utama benda \(\tau_3\).

Untuk perpindahan elastik dengan amplituda kecil, q dapat dinyatakan sebagai superposisi kontribusi modus menurut persamaan

\[\bar{q} = \sum_{n=1}^{\infty} A_n(t) \bar{\Phi}^{(n)}(\bar{r}_0) \qquad (22)\] di mana

An(t) - amplituda modus

\[\bar{\Phi}^{(n)}(\bar{r}_0) = \bar{\Phi}_{x}^{(n)} \mathbf{i} + \bar{\Phi}_{y}^{(n)} \mathbf{j} + \bar{\Phi}_{z}^{(n)} \mathbf{k}\] (23)

\(\tilde{\phi}^{(n)}(\tilde{r}_0)\) adalah bentuk modus (mode shape) sehubungan dengan frekuensi pribadi \(\omega_n\) dan menyatakan kondisi ortogonal sebagai berikut:

\[\int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(m)} \ \overline{\Phi}^{(n)} \ dm = \delta_{mn} \ M_n\] (24)

dan

\[L(\overline{q}^{(n)}) = -\omega_n^2 \overline{q}^{(n)} dm \qquad (25)\]

Selanjutnya, bila benda tak berkendala (unconstrained), modus-modus elastik haruslah ortogonal terhadap modus-modus benda kaku, yaitu

\[\int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} dm = 0\] (26)

\[\int_{AO} \vec{r}_{o} \times \vec{\Phi}^{(n)} dm = 0\] (27)

Bila benda berkendala terhadap translasi dan rotasi pusat massa benda tak terdeformasi, modus yang berhubungan dengannya disebut modus tetap (fixed modes). Untuk modus-modus tetap kondisi ortogonal, persamaan (24) dan (25), tidak berlaku. Juga dalam hal ini kerangka benda asal O menjadi tidak tepat dengan pusat massa benda dalam keadaan tak terdeformasi. Bila bagi modus-modus bebas

\[\int_{\text{vol}}^{-} dm = 0 ,\] tetapi untuk modus-modus tetap

\[\int_{\text{vol}} \vec{r} \, dm = \int_{\text{vol}} \vec{q} \, dm \neq 0\]

3.1 Persamaan Gerak Rotasi

Persamaan gerak rotasi benda diturunkan dari operasi f x pers.(18), yaitu

\[\int_{\text{vol}} \vec{r} \times \left\{ \vec{a}_{cm} + \vec{r} + 2(\vec{\omega} \times \vec{r}) + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{r} \right\} dm = \int_{\text{vol}} \vec{r} \times \left( \frac{L(\vec{q})}{dm} + \vec{f} + \vec{e} \right) dm\] (28)

di mana e adalah gaya luar per satuan

Dengan anggapan \(|\bar{q}| \ll |\bar{r}|\), dan hanya suku-suku orde pertama \(\bar{q}\) yang disisakan dalam mengembangkan persamaan, dan dengan mendefinisikan

\[\int_{\text{vol}} \vec{q} \, dm \times \left( \vec{a}_{cm} - \vec{f}_{0} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \omega_{n}^{2} A_{n} \int_{\text{vol}} \vec{r}_{0} \times \vec{q}_{0} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \vec{D}^{(n)}\] (29)

diperoleh:

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\] \[\equiv \overline{R} \qquad (300)\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[\int_{\text{vol}} \vec{r}_{o} \times M\vec{r}_{o} dm = \vec{G}_{R}\] \[\int_{\text{vol}} \left( \vec{r}_{o} \times M\vec{q} + \vec{q} \times M\vec{r}_{o} \right) dm = \sum_{n=4}^{\infty} \vec{G}^{(n)}\] (32)

maka diperoleh persamaan gerak rotasi:

\[\vec{R} + \sum_{n=1}^{\infty} \vec{Q}^{(n)} + \vec{C} + \sum_{n=1}^{\infty} \vec{D}^{(n)} = \vec{G}_{R} + \sum_{n=1}^{\infty} \vec{G}^{(n)}\] (34)

Berbagai suku dalam Pers. (34) di atas

• dapat dikenali sebagai berikut : , mencerminkan torsi inersia sehubungan dengan deformasi elastik,
• \(\tilde{G}_R\) , berhubungan dengan gravitasional pada benda kaku,
• G(n) , berhubungan dengan gravitasional akibat deformasi elastik, dan
• \(\overline{\mathbb{D}}^{(n)}\) , memperhitungkan perbedaan posisi antara pusat massa sesungguhnya dan pusat massa benda tak terdeformasi. Untuk kasus modus bebas, \(\tilde{D}^{(n)}=0\) .

Persamaan Modus Generik

Persamaan modus generik dihasilkan dengan melakukan operasi

yang menghasilkan

\[\int_{\sqrt{0}}^{\frac{1}{2}} (n) \cdot \left[ \vec{a}_{\alpha m} + \vec{r} + \vec{z} \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right] dm = \int_{\sqrt{0}}^{\frac{1}{2}} (n) \left[ \frac{L(\vec{q})}{dm} + \vec{f} + \vec{e} \right] dm\] (355)

Dengan definisi

\[D_{n}' = \int_{0}^{\infty} \overline{\phi}^{(n)} dm \cdot \left( \overline{a}_{cm} - \overline{f}_{o} \right)\] (36)

\[\sum_{\mathbf{m}=1}^{\infty} \varphi_{\mathbf{m}n} = \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left[ \overline{\Omega}_{0} \times \overline{q} \right] dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{0} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{0} \times \overline{q} \right\} dm + 2 \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + 2 \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{0} \times \overline{r_{0}} \right\} dm + 2 \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{q} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{r_{0}} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{r_{0}} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{r_{0}} \right\} dm + \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \overline{r_{0}} \right\} dm\] \[\mathbf{g}_{n} = \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \mathbf{m}_{0} dm \qquad (38)\] \[\mathbf{g}_{m} = \int_{\mathbf{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \mathbf{m}_{0} dm \qquad (39)\]

\[\sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} = \int_{0}^{\infty} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot Mq \, dm\] (40)

pers. (35) dapat dituliskan dalam bentuk

di mana

• suku pn , berhubungan dengan suku gaya pada benda kaku;
• suku pmn , adalah suku gaya hubungan gerak elastik dalam modus ke-m;
• suku gn , menyatakan gaya gravitasi yang bekerja pada modus ke-n gerakan benda kaku.
• suku \(g_{mn}\) , berhubungan dengan gaya gravitasi yang bekerja pada modus ke-n akibat gerakan elastik dalam modus ke-m;
• En , adalah komponen gaya luar yang bekerja pada modus ke-n; dan
• Dn', adalah suku yang berhubungan dengan gerak perpindahan pusat massa dari titik O.

4. PENINJAUAN KASUS

Dalam bab ini akan digunakan persamaan-persamaan gerak yang disajikan pada Bab 3 dengan meninjau batang silinder panjang yang seragam dalam orbit lingkaran. Sub-bab 4.1 meninjau gerakan dua dimensi batang hanya dalam bidang orbit, sedang sub-bab

\[\vec{\Omega}_0(t) = \vec{\Omega}_0(t) = 0\]

Asumsi bahwa medan gravitasi sferik simetrik dan orbit yang ditinjau berbentuk lingkaran menghasilkan penyederhanaan

\[\frac{va^2}{o^2} = \omega_c^2\] dan

\[M_{ij}^{(m)} = 0\] (1, j = 1,2.3)

4.1 Gerakan Dua Dimensi Batang Silinder Panjang yang Seragam dalam Orbit Lingkaran

Karena gerakan batang dianggap hanya dalam bidang orbit, maka sudut toleh (yaw, geleng) dan guling (roll) tidak ada, artinya

\[\phi(t) = 0\] (b) (42)

juga, tidak terjadi deformasi elastik keluar bidang orbit, atau

\[\Phi_y^{(n)} = 0\] (c)

Untuk struktur-struktur bebas, dan titik pusat massa benda tak berpindah, \(\overline{D}^{(n)} = 0\)

\[D_{n}' = 0\] (b) (43)

\[H_{\alpha\beta}^{(n)} = H_{\beta\alpha}^{(n)}\] (c)

di mana

\[H_{\alpha\beta}^{(n)} \equiv \int_{\text{ol}} \xi_{\alpha} \, \Phi_{\beta}^{(n)} \, dm\] \[= \int_{\text{ol}} \mu \, \xi_{\alpha} \, \Phi_{\beta}^{(n)} \, d\xi_{x} d\xi_{y} d\xi_{z}\]

\((\alpha,\beta)=x,y,z)\) dengan \(\mu\) adalah kerapatan material batang; dan \((\xi_x,\xi_y,\xi_z)\) adalah koordinat-koordinat elemen massa dm dalam keadaan tidak berdeformasi dinyatakan dalam kerangka benda.

Dengan tidak adanya deformasi keluar bidang orbit, atau \(\Phi_y^{(n)}=0\), maka dapat dituliskan

\[H_{y\alpha}^{(n)} = H_{\alpha y}^{(n)} = 0\] \((\alpha = x, y, z)\) (44)

Yang perlu dicatat adalah bahwa batang (Gambar 3) dengan penampang melintang seragam,

\[\iint \xi_z d\xi_y d\xi_z = \iint \xi_y d\xi_y d\xi_z = 0\] (45)

Lebih jauh lagi dapat kita deduksi bahwa

(46)

Dengan definisi

\[L_{\alpha\beta}^{(mn)} \equiv \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}_{\alpha}^{(m)} \overline{\Phi}_{\beta}^{(n)} dm \qquad (\alpha, \beta = x, y, z)\] dan dengan tidak adanya deformasi elastik keluar bidang orbit, atau \(\bar{\Phi}_{y}^{(n)}\) = 0, dapat diperlihatkan dengan mudah bahwa

\[L_{xy}^{(mn)} = L_{xy}^{(mn)} = 0\] \((\alpha = x, y, z)\) (47)

Gambar 3 : Batang di orbit dengan penampang tak beraturan

Dengan menggunakan hasil-hasil di atas, persamaan tukik (pitch, angguk) dan persamaan modus generik untuk kasus gerakan dalam bidang orbit dari batang silinder panjang yang seragam disajikan sebagai berikut:

Persamaan tukik.

\[J_{yy} + \sum_{n=4}^{\infty} Q_{y}^{(n)} + C_{y} = G_{R} + \sum_{n=4}^{\infty} G_{y}^{(n)}\] (48)

di mana,

\[\dot{\omega}_{y} = \ddot{\theta}\] \[Q_{y}^{(n)} = 2\left[\dot{A}_{n} \left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right) + A_{n} \ddot{\theta}\right] H_{xx}^{(n)}\] \[G_{R} = 3\omega_{c}^{2} \left(J_{x} - J_{z}\right) s\theta c\theta \approx -3\omega_{c}^{2} J_{z} s\theta c\theta\]

Cuntuk J_x≪ J_z⊃

\[G_y^{(n)} = -6\omega_c^2 H_{xx}^{(n)} s\theta c\theta\] dengan pengertian

Cy - resultan torsi gangguan luar yang bekerja pada benda dalam sumbu y

Ja - Momen inersia dasar benda dalam keadaan tak terdeformasi terhadap sumbu a, (a = x,y,z) ib nakatumexib

(a, B, dan y = x, y, z; serta a= B=y)

- torsi inersia akibat deformasi elastik modus ke-n dalam komponen

- torsi gravitasional pada benda GRY kaku dalam komponen yang tang

- torsi gravitasional akibat deformasi elastik modus ke-n dalam komponen y Persamaan modus generik,

\[An + \omega_n^2 An + \frac{\varphi_n}{M} + \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{\infty} \varphi_{mn}\] \[= \frac{1}{M} \left( g_n + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_n \right)\] \[= \frac{1}{M} \left( g_n + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_n \right)\] \[= \frac{1}{M} \left( g_n + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_n \right)\] \[= \frac{1}{M} \left( g_n + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_n \right)\] di mana

\[\varphi_{n} = -\left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right)^{2} H_{xx}^{(n)}\] \[\varphi_{mn} = \left[2\dot{A}m \left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right) + Am \theta\right] \left(L_{xz}^{(mn)} - L_{xz}^{(mn)}\right) - Am \left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right)^{2} \left(L_{xx}^{(mn)} + L_{zz}^{(mn)}\right) \quad (b)\] \[g_{n} = \omega_{c}^{2} H_{xx}^{(n)} \left(3c^{2}\theta - 1\right) \qquad (c)\] \[g_{mn} = \omega_{c}^{2} A_{m} \left[3c^{2}\theta - 1\right] L_{xx}^{(mn)} + 3s\theta c\theta \left(L_{xz}^{(mn)} + L_{zx}^{(mn)}\right) + 3s\theta^{2}\theta\] \[- 1 L_{xz}^{(mn)}\] (a)

dengan arti fisik

frekuensi pribadi batang dalam modus ke-n

massa rampat dalam modus ke-n

Berikut ini akan dibahas beberapa kasus batang silinder panjang yang berotasi dan berdeformasi hanya dalam bidang orbit. , sacras al ame - s

Kasus tanpa getaran memanjang, atau acn) = 0

Dalam kasus ini berarti

\[H_{XX}^{(n)} = L_{XX}^{(mn)} = L_{XX}^{(mn)} = L_{XX}^{(mn)} = 0\] (50)

Dengan pemilihan \(\Phi_z^{(n)}\) untuk menampilkan modus karakteristik dari getaran-getaran lentur batang yang kedua ujungnya bebas, diperoleh,

\[L_{zz}^{(mn)} = \delta_{mn} M_n\] (51)

di mana, 6mn adalah kronecker delta.

Dengan memasukkan hasil-hasil atas ke persamaan (48), dan karena batang

berbentuk silinder homogen memanjang dalam arah sumbu x, atau Jz = Jy, sehingga persamaan gerak tukik dan modus generik batang silinder panjang yang seragam, bergerak dua dimensi dalam orbit lingkaran tanpa getaran memanjang dengan medan gravitasi simetrik sferik menjadi

\[\frac{1}{2}\omega_{e}^{2}\sin 2\theta + \frac{C}{y} = 0 \quad (52)\]

\[\ddot{A}_{n} + \left\{ \omega_{n}^{2} - \left[ \dot{\theta} - \omega_{o} \right]^{2} - \omega_{o}^{2} \left[ 3s^{2} \theta - 1 \right] \right\} A_{n} = \frac{E_{n}}{M_{n}}\] (53)

Persamaan (52) hanya menyatakan persamaan tukik benda kaku tanpa ada gerakan elastik. Bila tidak ada gangguan luar dan osilasi-osilasi tukik benda kaku kecil, 0 «1. solusi dapat dinyatakan sebagai

\[\theta = C \sin \left( \sqrt{3} \omega_c t + \gamma \right)\] (54)

dan penggunaan variabel-variabel tak berdimensi

\[\tau = \frac{1}{2} \left( \omega_o t \sqrt{3} + \gamma \right) \quad dan\] \[Z_n = A_n / l\]

menghasilkan persamaan modus generik dalam bentuk tak berdimensi sebagai

\[\frac{d^{2}Z_{n}}{d\tau^{2}} + \frac{4}{3} \left[ \left\{ \left( \frac{\omega_{n}}{\omega_{c}} \right)^{2} - \frac{3C^{2}}{2} \right\} + 2\sqrt{3} C \cos 2\tau - \frac{3C^{2}}{2} \cos 4\tau \right] Z_{n} = 0\] (55)

Persamaan (55) adalah persamaan 3 suku Hill atau persamaan Whittaker. Untuk amplituda tukik kecil, atau C « 1, persamaan di atas dapat didekati lebih lanjut dengan persamaan Mathiew,

\[\frac{d^2Z}{d\tau^2} + (\delta + \epsilon \cos 2\tau) Z_n = 0\] (56)

di mana

\[\delta = \frac{4}{3} \left\{ \left( \frac{\omega_n}{\omega_c} \right)^2 - \frac{3}{2} C^2 \right\}, \text{ dan}\]

\(\varepsilon = \frac{8\sqrt{3}}{3} C = 4.62 C\)

Bila \((\omega_n/\omega_c)^2 \gg 1\), atau daerah frekuensi tinggi, modus elastik dapat dinyatakan dengan persamaan sederhana,

\[\frac{d^2 Z_n}{d\tau^2} + \frac{4}{3} \left( \frac{\omega_n}{\omega_c} \right)^2 Z_n \cong 0\]

Hal ini berarti, dapat disimpulkan bahwa batang dengan \((\omega_n/\omega_c)^2 \gg 1\) ( n = 1, 2, ..., co), gerak elastik dan gerak tukik

benda kaku saling berdekopel (decoupled) sepenuhnya. Sedang bila (wn/wc) = 0(1). (batang sangat fleksibel) maka persamaan (55) harus digunakan untuk mempelajari gerak elastik, dan paduan gerak elastik dengan gerak benda kaku. Solusi numerik dari persamaan (55) untuk beberapa harga (wn/wc) diadakan pada Bab 5.

4.1.2 Kasus tanpa getaran lentur, atau

Pada sub-bab ini perhatian akan dikhususkan pada persamaan (48) dan (49) dengan membatasi bahwa batang tanpa lentur atau getaran lentur, namun mengijinkan kemungkinan getaran memanjang. Dengan asumsi di atas dan asumsi bahwa orbit lingkaran dalam gravitasi simetrik sferik. penyederhanaan tersebut menghasilkan.

\[L_{zz}^{(mn)} = L_{xz}^{(mn)} = L_{zx}^{(mn)} = 0\] (57)

Sedang pemilihan (n) untuk menampilkan modus karakteristik getaran-getaran memanjang batang kedua ujungnya bebas, diperoleh,

\[L_{xx}^{(mn)} = \delta_{mn} M_{n}\] (58)

Substitusi hasil-hasil ini ke persamaan (54), (tidak ada gangguan luar, Cy = 0)

\[J_{y} \stackrel{\omega}{\omega} + \sum_{n=1}^{\infty} 2 \left\{ \dot{A}_{n} \quad \left( \dot{\theta} - \omega_{c} \right) + A_{n} \quad \ddot{\theta} \right\} \quad H_{xx}^{(n)} + \left\{ J_{y} + \sum_{n=1}^{\infty} 2 H_{xx}^{(n)} \right\} \stackrel{3}{\geq} \omega_{c}^{2} \approx 2\theta = 0\] (59)

dan substitusi ke persamaan (49), menghasilkan

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\] \[\left. - 1 \right\} \left\{ \left[ \frac{H_{xx}^{(n)}}{M_{n}} + A_{n} \right] = \frac{E_{n}}{M_{n}} \right.\] \[(60)\]

Persamaan (59) dan (60) konsisten dengan persamaan (A.8) dan (A.9) Ashley dalam Ref.[2], yang diturunkan dari pendekatan energi.

Bila \(\theta(t)\) = konstan, atau secara fisik batang diberi gaya untuk mempertahankan orientasinya terhadap vertikal lokal, dapat diperlihatkan bahwa persamaan (60) mereduksi pengisolasi harmonik dengan frekuensi fisik \(\{\omega_n^2 - \omega_c^2 + \omega_c^2(1 - 3c^2\theta)\}^{1/2}\). Suku ketiga dalam pernyataan frekuensi ini berhubungan dengan efek gradien gravitasi. Sumbangan gradien gravitasi terhadap perubahan frekuensi berubah tanda ketika ce = 3 .

4.2 Gerakan Tiga Dimensi Batang Silinder Panjang yang Seragam dalam Orbit Lingkaran

Pada bagian ini diperlihatkan

persamaan gerak tiga dimensi batang dalam orbit lingkaran. Seperti telah dikemukakan di depan, batang yang ditinjau berbentuk silinder panjang yang seragam. Beberapa hasil yang diperoleh dari sub-bab 5.1 yang dipergunakan di sini adalah

\[\bar{D}^{(n)} = 0\] (a) \(D_n' = 0\) (b) (61) \(H_{\alpha \beta}^{(n)} = H_{\beta \alpha}^{(n)}\) (c)

\[H_{y\alpha}^{(n)} = H_{\alpha y}^{(n)} = H_{\alpha z}^{(n)} = H_{\alpha z}^{(n)} = 0\] (62)

\((\alpha = x, y, z)\)Juga, \(J_y = J_z\) dan \(J_y - J_x \cong J_y\) untuk batang panjang berpenampang lingkaran dan seragam. Asumsi medan gravitasi sferik simetrik

tikan gerak tukik; adalah

M(m) = 0 Persamaan tukik, diturunkan dari persamaan (34) dengan hanya memperha-

(i,j = 1,2,3)

\[J_{y}\dot{\omega}_{y} - J_{y}\omega_{x}\omega_{x} + \sum_{n=1}^{\infty} Q_{y}^{(n)} + C_{y} \cong G_{R_{y}}\] \[+ \sum_{n=1}^{\infty} G_{y}^{(n)} \qquad (63)\] di mana \(\omega_x\), \(\omega_y\), dan \(\omega_z\) dinyatakan oleh persamaan (4), yang dengan memasukkan persyaratan tukik (tanpa geleng, w = w = 0) didapat

\[\omega_{x} = \left[\dot{\theta} - \omega_{o}\right] s\phi \qquad (a)\] \[\omega_{y} = \left[\dot{\theta} - \omega_{c}\right] c\phi \qquad (b)\] \[\omega_{z} = \phi \qquad (c)\]

\[Q_y^{(n)} = 2\left\{\dot{A}_n\omega_y + A_n\left(\dot{\omega}_y - \omega_z\omega_x\right)\right\} H_{xx}^{(n)} \qquad (d)\]

\[G_R \simeq -3\omega_c^2 J_z c\phi c\theta s\theta\] \[= -3\omega_c^2 J_z c\phi c\theta s\theta \qquad (e)\]

\[G_y^{(n)} = -6\omega_c^2 c\phi c\theta s\theta \text{ An } H_{xx}^{(n)}\] (f)

Persamaan guling (roll), diturunkan dari persamaan (60) dengan memperhatikan gerak guling, adalah

\[J_{\underline{w}} + J_{\underline{w}} \times_{\underline{y}} + \sum_{n=1}^{\infty} Q_{\underline{n}}^{(n)} + C_{\underline{z}} \cong G_{\underline{R}_{\underline{z}}} + \sum_{n=1}^{\infty} G_{\underline{z}}^{(n)}\] (64)

di mana

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[G_{R_{\perp}} \cong -3\omega_{c}^{2} J_{z}^{i} c\phi s\phi c^{2}\theta\] (b)

\[G_{z}^{(n)} = -6\omega_{c}^{2} A_{n} H_{z}^{(n)} c\phi s\phi c^{2}\theta \qquad (c)\]

Persamaan modus generik diturunkan dari persamaan (41), diperoleh

\[A_{n} + \omega_{n}^{2} A_{n} + \frac{\varphi_{n}}{Mn} + \frac{1}{Mn} \sum_{m=1}^{\infty} \varphi_{mn} = \frac{1}{Mn} \left\{ g_{n} + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_{n} \right\}\] (65)

di mana \[\varphi_n = -\left(\omega_y^2 + \omega_z^2\right) H_{xx}^{(mn)}\]

\[P_{mn} = 2A_{m} \left\{ \left[ \omega_{y} - \omega_{z} \right] \left[ L_{zx}^{(mn)} - L_{xz}^{(mn)} \right] \right\}\] \[+ A_{m} \left\{ \left[ L_{zx}^{(mn)} - L_{xz}^{(mn)} \right] \left( \omega_{y} - \omega_{z} \right) + \omega_{x} \left( \omega_{y} \right) \right\}\] \[+ \omega_{z} \left[ L_{zx}^{(mn)} + L_{xz}^{(mn)} \right] + \left[ 2\omega_{y}\omega_{z} - 2\omega_{x}^{2} \right]\] \[- \omega_{y}^{2} - \omega_{z}^{2} L_{zz}^{(mn)} - \left[ \omega_{y}^{2} \right]\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[g_n = \omega_c^2 (3c^2 \phi c^2 \theta - 1)\] (c
\(g_{mn} = \omega_c^2 A_m \left\{ (3c^2 \phi c^2 \theta - 1) L_{xx}^{(mn)} + \left[ (3s^2 \phi c^2 \theta - 1) + 3(s^2 \theta - 1) \right] \right\}\)

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

Persamaan (65) adalah persamaan umum modus generik batang silinder panjang yang seragam bergerak tiga dimensi di orbit.

4.2.1 Kasus tanpa getaran memanjang, atau \(\Phi_X^{(n)} = 0\)

Dalam hal ini,

\[H_{MN}^{(n)} = L_{MN}^{(mn)} = L_{KZ}^{(mn)} = L_{MX}^{(mn)} = 0\] (66)

Lebih jauh lagi, bila dipilih modus karakteristik (eigen modes) getaran lentur batang bebas-bebas bagi \(\Phi_{\mathbf{z}}^{(n)}\), maka

\[L_{zz}^{(mn)} = \delta_{mn} M \qquad (67)\]

Hasil-hasil di atasdisubstitusikan ke persamaan (62), (63), dan (64), menghasilkan

persamaan tukik :

\[\dot{\omega}_{y} - \omega_{z}\omega_{x} + 3\omega_{c}^{2}c\phi c\theta s\theta + \frac{C}{J_{y}} \cong 0\] (68)

persamaan guling :

\[\dot{\omega}_{\mathbf{z}} + \omega_{\mathbf{w}}\dot{\omega}_{\mathbf{y}} + 3\omega_{\mathbf{c}}^{2}\mathbf{s}\phi\mathbf{c}\phi\mathbf{c}^{2}\theta + \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{J}_{\mathbf{z}}} \cong 0 \quad (69)\]

persamaan modus generik

\[A_{n} + \left(\omega_{n}^{2} + 2\omega_{y}\omega_{z}^{2} - 2\omega_{x}^{2} - \omega_{y}^{2} - \omega_{z}^{2} - \omega_{c}^{2}(3s^{2}\phi c^{2}\theta - 1) - 3\omega_{c}^{2}(s^{2}\theta - 1) + 6\omega_{c}^{2}s\phi s\theta c\theta\right)A_{n} = \frac{E_{n}}{M_{n}}\] (70)

di mana \(\omega_x\), \(\omega_y\), dan \(\omega_z\) dinyatakan oleh persamaan (63) (a) sampai (c).

Dengan asumsi amplituda tukik dan guling kecil, atau \(\theta \ll 1\) dan \(\phi \ll 1\), dihasilkan persamaan terlinearkan bagi tukik dan guling sesudah mengabaikan suku-suku yang mengandung perkalian dan pemangkatan \(\phi\), \(\phi\), \(\theta\), dan \(\theta\).

Persamaan tukik terlinearkan,

\[\ddot{\theta} + 3\omega_{\rm e}^2\theta + \frac{C}{J_{\rm y}} \cong 0 \tag{71}\]

Persamaan guling terlinearkan,

\[\phi + 4\omega_o^2 \phi + \frac{C}{J_z} \cong 0 \tag{72}\]

Persamaan modus generik terlinearkan,

\[A_{n} + \left[\omega_{n}^{2} + 2\left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right)\dot{\phi} - \left(\dot{\theta} - \omega_{c}\right)^{2} - \dot{\phi}^{2} + 2\omega_{c}^{2}\right]A_{n} = \frac{E_{n}}{M_{n}}\] \[(73)\]

4.2.2 Kasus tanpa getaran lentur, atau \(\Phi_y^{(n)} = \Phi_z^{(n)} = 0\)

Dalam kasus ini, asumsi tidak adanya getaran lentur menyebabkan

\[L_{zz}^{(mn)} = L_{zx}^{(mn)} = L_{xz}^{(mn)} = 0\] (74)

Karena yang ditinjau adalah getaran memanjang batang, maka \(\mathbf{E}_{\mathbf{x}}^{(n)}\) adalah modus karakteristiknya, sehingga dinyatakan

\[L_{xx}^{(mn)} = \delta_{mn} M \qquad (75)\]

(m = 1, 2, ..., ∞)

Bagi kasus ini, persamaan tukik dan guling sama dengan persamaan (63) dan (64). Persamaan modus generik tanpa getaran lentur batang silinder panjang yang seragam bergerak tiga dimensi dalam orbit lingkaran, persamaan (65), dengan medan gravitasi simetrik sferik dan tanpa getaran lentur menjadi sebagai berikut:

An + \[\omega_n^2 A_n\] + \(\frac{\varphi_n}{Mn}\) + \(\frac{1}{Mn} \sum_{m=1}^{\infty} \varphi_{mn} = \frac{1}{Mn} \left\{ g_n + \sum_{m=1}^{\infty} g_{mn} + E_n \right\}\) (76)

di mana

\[\varphi_{n} = -\left(\omega_{y}^{2} + \omega_{z}^{2}\right) H_{xx}^{(mn)}\] \[\varphi_{mn} = -A_{m} \left(\omega_{y}^{2} + \omega_{z}^{2}\right) \delta_{mn} M_{n}\] \[\varphi_{n} = \omega_{c}^{2} (3c^{2}\phi c^{2}\theta - 1) H_{xx}^{(n)}\] \[\varphi_{mn} = \omega_{c}^{2} A_{m} (3c^{2}\phi c^{2}\theta - 1) \delta_{mn} M_{n}\] (d)

5. PEMECAHAN DAN HASIL NUMERIK

Dalam bab ini, persamaan modus generik dalam bentuk tak berdimensi, persamaan (55),

\[\frac{d^{2}Z_{n}}{d\tau^{2}} + \frac{4}{3} \left[ \left\{ \left( \frac{\omega_{n}}{\omega_{c}} \right)^{2} - \frac{3C^{2}}{2} \right\} + 2C\sqrt{3} \cos 2\tau - \frac{3}{2}C^{2} \cos 4\tau \right] Z_{n} = 0\]

dicari solusinya secara numerik. Dalam memecahkan persamaan diferensial tersebut digunakan metoda Runge-Kutta orde-4. Penyelesaian persamaan dilakukan dengan memisalkan

\[\frac{dZ_n}{d\tau} = y_n .\]

sehi ngga

\[\frac{d^2 Z_n}{d\tau^2} = \frac{dy_n}{d\tau}\] dan persamaan (55) ditulis dalam bentuk

\[\frac{dy_n}{d\tau} = -f(\tau) Z_n\] di mana

\[f(\tau) = \frac{4}{3} \left[ \left\{ \left( \frac{\omega_n}{\omega_c} \right)^2 - \frac{3C^2}{2} \right\} + 2C\sqrt{3} \cos 2\tau \right.\]\[\left. - \frac{3}{2} C^2 \cos 4\tau \right]\]

Kondisi awal dipakai

\[Z_n(0) = 0.00005 \text{ dan}\]
\(y_n(0) = \frac{dZ_n(0)}{d\tau} = 0\)

untuk membandingkan pengaruh \((\omega_n/\omega_c)^2\) dan amplituda tukik C terhadap kestabilan batang pada enam buah kasus yang data-datanya ditabelkan dalam Tabel 1. Kasus 6 sesuai dengan batang yang frekuensi pribadi dasarnya 1/100 cps dan bergerak dalam orbit lingkaran pada ketinggian 250 n.miles.

Hasil-hasil numerik kemudian ditampilkan dalam bentuk plot grafik \(Z_n\) terhadap \(\tau\) dan bidang fasa \(dZ_n/d\tau\)

terhadap \(Z_n\). Dari gambar plot hasil simulasi numerik, terlihat bahwa untuk kasus 1, 2, dan 3, yakni kasus-kasus dengan frekuensi pribadi struktur yang sama \((\omega_n^2/\omega_c^2=1)\) tetapi amplituda tukik struktur C berbeda, respons amplituda

Tabel 1 : Kasus yang diperbandingkan untuk simulasi numerik Pers. (60)

modus semakin membesar. Dengan perkataan lain, ketiga kasus tersebut menghasilkan respons dinamik struktur tidak stabil. Kasus 1 lebih tidak stabil dari kasus 2, dan kasus 2 lebih tidak stabil dari kasus 3. Jadi semakin besar amplituda tukik struktur, semakin tidak stabil pula respons dinamik struktur sebagai benda fleksibel.

Untuk kasus 1, 4, dan 5, yakni kasus-kasus dengan amplituda tukik struktur sama (C = 0.2) tetapi frekuensi pribadi struktur berbeda, respons amplituda modus struktur membesar untuk kasus 1, sedang kasus 4 dan 5 relatif tidak teredam. Jadi semakin kecil frekuensi pribadi struktur, semakin tidak stabil pula respons dinamiknya sebagai benda fleksibel.

Sedang kasus 6, yang bersesuaian dengan batang di orbit lingkaran pada ketinggian 250 n.miles dengan frekuensi pribadi 1/100 cps, dengan amplituda tukik C = 0.2 respons dinamik struktur teredam dengan perlahan.

6. KESIMPULAN DAN SARAN

Di dalam makalah ini, telah dilakukan analisis ulang pada dinamika wahana antariksa sebagai benda fleksibel, menganalisis yang dilakukan Ashley⁽²⁾, dan Bainum et al^(1),(4), khususnya untuk memahami interaksi antara gerak wahana sebagai benda kokoh (dinamika benda kokoh) dan getaran wahana sebagai benda fleksibel. Interaksi ini menyebabkan timbulnya masalah stabilitas Sebagai kelanjutan karya dinamik. Bainum[1]. Bainum⁽¹⁾, dalam makalah ini telah dimasukkan gerak rotasi benda, yang secara umum tidak dapat diabaikan. Berdasarkan analisis ini, diperoleh rumusan tentang pengaruh rotasi pada persamaan gerak yang mengatur dinamika wahana sebagai benda fleksibel di dalam orbitnya. Dengan dimasukkannya rotasi benda maka dibandingkan dengan Ref.[1], persamaan (30) makalah ini berbeda dengan persamaan (28) Ref. [1] dengan adanya tambahan suku

\[\int_{\text{vol}} \bar{r}_{o} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right) dm + \int_{\text{vol}} \bar{r}_{o} \times \left\{ \bar{\Omega}_{o} \times \left[ \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right] \right\} dm\] \[+ 2 \int_{\text{vol}} \bar{r}_{o} \times \left\{ \bar{\omega} \times \left[ \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right] \right\} dm\] untuk R, dan persamaan (31) berbeda dari persamaan (28) Ref.[1] dengan munculnya suku

\[\begin{split} & \int_{\text{vol}} \left[ \bar{r}_{o} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{q} \right) + \bar{r}_{o} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{q} \right) \right] \\ & + \bar{r}_{o} \times \left\{ \bar{\Omega}_{o} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{q} \right) \right\} + \bar{q} \times \left\{ \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right\} \\ & + \bar{q} \times \left\{ \bar{\Omega}_{o} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right) \right\} + z \bar{r}_{o} \times \left\{ \bar{\omega} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{q} \right) \right\} \\ & + z \bar{q} \times \left\{ \bar{\omega} \times \left( \bar{\Omega}_{o} \times \bar{r}_{o} \right) \right\} \right] \ dm \end{split}\] untuk \(\Sigma\) Q⁽ⁿ⁾.

torsi inersia akibat deformasi elastik, dalam gerak tukik ; sedang dalam persamaan modus generik persamaan (37)-berbeda dari persamaan (44) Ref.[1] dengan adanya suku tambahan

\[\int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left( \overline{\Omega}_{O} \times \overline{q} \right) dm + \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left( \overline{\Omega}_{O} \times \overline{q} \right) dm\] \[+ \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{O} \times \left( \overline{\Omega}_{O} \times \overline{q} \right) \right\} dm\] \[+ 2 \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\omega} \times \left( \overline{\Omega}_{O} \times \overline{q} \right) \right\} dm\]

gaya sehubungan gerak elastik batang

\(\sum_{m=1}^{\sum p_{mn}},\) dan persamaan (38) berbeda dengan persamaan (43) Ref.[1] dengan munculnya

\[\int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left( \overline{\Omega}_{O} \times \overline{\Gamma}_{O} \right) dm + \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{O} \times \overline{\Gamma}_{O} \right\} dm + 2 \int_{\text{vol}} \overline{\Phi}^{(n)} \cdot \left\{ \overline{\Omega}_{O} \times \overline{\Gamma}_{O} \right\} dm\] untuk gaya pada benda sebagai benda kaku

Penjabaran persamaan gerak tukik dan modus generik untuk keperluan simulasi numerik dalam makalah ini dilakukan dengan meninjau kasus batang silinder panjang yang seragam dengan mengabaikan rotasi batang, seperti halnya yang dilakukan Bainum (1)

Dari hasil simulasi numerik yang kemudian ditampilkan dalam bentuk gambar terlihat bahwa

- untuk kasus 1, 2, dah 3; dengan harga-harga \((\omega_n/\omega_c)^2\) yang sama terlihat bahwa semakin besar amplituda tukik, respons modus generik batang semakin membesar, dan

- untuk kasus 1, 4, dan 5; dengan harga-harga amplituda tukik yang sama terlihat bahwa semakin kecil (wn/wc)", respons modus generik batang semakin membesar.

Dengan demikian dalam kasus gerakan bidang batang silinder panjang yang seragam karena osilasi kecil tukik dan getaran lentur, gerakan tukik terdekopel

sepenuhnya dari gerakan elastik, serta dari Bab 5 terlihat bahwa gerak elastik dinyatakan dengan persamaan suku-3 Hill. Untuk harga-harga \((\omega_n/\omega_c)^2\) besar gerakan elastik terdekopel dari gerakan tukik, sedang untuk harga-harga \((\omega_n/\omega_c)^2\) rendah hasil numerik menunjukkan kecenderungan tidak stabil.

Terdekopelnya gerak tukik elastik makin besar bila amplituda osilasi tukik makin kecil.

Dari pembandingan tampilan hasil numerik makalah dengan hasil yang diperoleh dalam Ref.[1] terlihat bahwa ada sedikit pergeseran respons amplituda modus batang maupun gambar bidang fasa dengan semakin besarnya t/T untuk kasus 1, 3, dan 4. Sedangkan untuk kasus 6 yang bersesuaian dengan batang di orbit pada ketinggian 250 n.mi dengan (ωn/ωc) 3200 dan amplituda tukik C = 0.2, hasil numerik amat berbeda dengan hasil Ref.[1]. Respons amplituda modus batang yang dihasilkan dalam makalah ini menunjukkan bahwa batang seolah-olah mengalami Coulomb damping, sedang pada hasil Ref.[1] tidak menunjukkan hal tersebut. Peninjauan masalah ini , apakah hanya akibat beda ketelitian serta bahasa program yang digunakan -Ref.[1] menggunakan bahasa FORTRANataukah karena perbedaan alur program dan metoda yang dipakai untuk memecahkan persamaan diferensial, akan dilakukan sebagai kelanjutan makalah ini.

Penggunaan persamaan gerak untuk meninjau dinamika batang silinder seragam di orbit yang dilakukan dalam makalah ini mengabaikan rotasi benda pada sumbunya sendiri. Namun anggapan demikian belum tentu berlaku dalam hal sebenarnya. Sebagi contoh, satelit buatan yang diorbitkan dirancang untuk mempertahankan orientasi selalu tertentunya, misalkan panel surya selalu menghadap matahari. Dengan demikian dalam menjalani orbitnya, benda dapat melakukan rotasi pada sumbunya sendiri. Masalah ini akan ditinjau lebih lanjut pada karya selanjutnya, sebagai pengembangan tinjauan dinamika benda fleksibel pada orbitnya di antariksa, dengan memperhitungkan dan menganalisis berbagai kasus yang menyangkut rotasi

benda pada sumbunya sendiri.

7. APENDIKS

Berikut ini akan diturunkan hubungan antara kerangka-kerangka rujukan yang digunakan. Hal ini dapat dilakukan dengan memperhatikan gambar-gambar berikut:

1. Transformasi dari \(\tau_0\) ke \(\tau_1\)

Gambar 4 : Kerangka intrinsik dan inersial

Dari gambar terlihat bahwa

\(i_1 = X \cos \omega \sin \eta + Y \sin \omega \sin \eta\)+ \(Z \cos \eta\)

\(i_2 = X \cos \omega \cos \eta + Y \sin \omega \cos \eta\)- \(Z \sin \eta\)

\(i_3 = -X \sin \omega + Y \cos \omega\)

Atau dituliskan dalam bentuk matriks

di mana

\[T_{4} = \begin{bmatrix} s\eta c\omega & s\eta s\omega & c\eta \\ c\eta c\omega & c\eta s\omega & -s\eta \\ -s\omega & c\omega & 0 \end{bmatrix}\] (A-2)

2. Transformasi dari kerangka intrinsik [ \(\tau_1\) ] ke kerangka tetap orbit [ \(\tau_2\) ]

Gambar 5 : Kerangka intrinsik dan kerangka tetap orbit

Dengan melihat Gambar 5 didapat hubungan-hubungan sebagai berikut:

\(X_0 = i_1\) \(Y_0 = i_2 \cos \chi + i_3 \sin \chi\)\(Z_0 = -i_2 \sin \chi + i_3 \cos \chi\)

Atau secara matriks dapat dituliskan

\[\left\{ \begin{array}{c} X_{O} \\ Y_{O} \\ Z_{O} \end{array} \right\}_{\tau_{Z}} = T_{Z} \left\{ \begin{array}{c} i_{1} \\ i_{2} \\ i_{3} \end{array} \right\}_{\tau_{1O}}\] (A-3)

di mana

\[T_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c\chi & s\chi \\ 0 & -s\chi & c\chi \end{bmatrix}\] (A-42)

3. Transformasi dari kerangka tetap orbit [ \(\tau_2\) ] ke sumbu-sumbu utama benda [ \(\tau_3\) ]

Gambar 6: Putaran-putaran sudut Euler Dalam hal ini perubahan kedudukan dari kerangka orbit ke sumbu-sumbu utama benda dapat ditelusur dengan urut-urutan sebagai berikut:

• a) dengan sumbu putar \(X_0\), kerangka orbit [ \(\tau_2\): \(OX_0Y_0Z_0\) ] dipindah ke OX'Y'Z' oleh putaran sudut toleh \(\psi\), di mana \(X_0\) berimpit dengan X',
• b) kemudian dengan sumbu putar Y' kerangka OX'Y'Z' dipindah ke kerangka OX"Y"Z" oleh putaran sudut tukik θ, di mana Y' berimpit dengan Y", dan akhirnya
• c) dengan sumbu putar Z'' kerangka OX''Y''Z'' dipindah ke sumbu-sumbu utama benda [ \(\tau_3\): OXYZ ] oleh putaran sudut guling \(\phi\), di mana Z'' berimpit dengan Z.

Dengan melihat Gambar 6 dapat dituliskan hubungan-hubungan sebagai berikut:

\[\left\{ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right\}_{\tau_3} = Ts^* \left\{ \begin{array}{c} X'' \\ Y'' \\ Z'' \end{array} \right\}\] di mana

\[T_{\mathbf{g}}^{*} = \begin{bmatrix} c\phi & s\phi & 0 \\ -s\phi & c\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] (A-6)

Sedangkar

dan

Substitusi persamaan (A-7) ke persamaan (A-5) menghasilkan hubungan

\[\begin{cases} X \\ Y \\ Z \end{cases} = \begin{bmatrix} c\phi & s\phi & 0 \\ -s\phi & c\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\theta & 0 & -s\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= \begin{bmatrix} c\phi c\theta & s\phi & -c\phi s\theta \\ -s\phi c\theta & c\phi & s\phi s\theta \\ s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] \[= T_{s}^{MM} \begin{cases} X' \\ Y' \\ Z' \end{cases}\] di mana

\[T_{\mathbf{g}}^{\mathsf{MM}} = \begin{bmatrix} c\phi c\theta & s\phi & -c\phi s\theta \\ -s\phi c\theta & c\phi & s\phi s\theta \\ s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix}\] (A-11)

Sehi ngga

\[\left\{ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right\}_{T_{S}} = T_{S} \left\{ \begin{array}{c} X_{O} \\ Y_{O} \\ Z_{O} \end{array} \right\}_{T_{Z}}\] (A-12)

di mana

\[T_{g} = \begin{bmatrix} c\phi c\theta & s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi & s\phi s\psi - c\phi s\theta c\psi \\ -s\phi c\theta & c\phi c\psi - s\phi s\theta s\psi & c\phi s\psi + s\phi s\theta c\psi \\ s\theta & -c\theta s\psi & c\theta c\psi \end{bmatrix}\]

CA-130

disini, simbol-simbol s dan c menyatakan fungsi sinus dan cosinus.

Komponen-komponen kecepatan sudut benda \((\omega_x, \omega_y, \omega_z)\) dan laju perubahan sudut Euler \((\phi, \theta, \psi)\) dihubungkan dengan persamaan-persamaan sebagai berikut:

\[\begin{cases} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{cases} = T_{g} \begin{cases} \dot{\psi} \\ 0 \end{cases} + T_{g}^{**} \begin{cases} 0 \\ \dot{\theta} \\ 0 \end{cases}\] \[+ T_{g}^{**} \begin{cases} 0 \\ \phi \end{cases} + T_{g} \begin{cases} 0 \\ -\omega_{c} \\ 0 \end{cases}\] \[= \begin{cases} \dot{\psi}c\phi c\theta + \dot{\theta}s\phi - \omega \left( s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) \\ -\dot{\psi}s\phi c\theta + \dot{\theta}c\phi - \omega \left( c\phi c\psi - s\phi s\theta s\psi \right) \\ \dot{\psi}s\theta + \dot{\phi} + \omega_{c}c\theta s\psi \end{cases}\] atau,

\[\begin{array}{lll} \omega_x &= \dot{\psi} \ c\phi c\theta \ + \ \dot{\theta} \ s\phi \ - \ \omega_c (s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi) \\ \omega_y &= -\dot{\psi} \ _{\theta}\phi c\theta \ + \ \dot{\theta} \ c\phi \ - \ \omega_c (c\phi c\psi - s\phi s\theta s\psi) \\ \omega_z &= \dot{\psi} \ _{\theta}\theta \ + \ \dot{\phi} \ + \ \omega_c c\theta s\psi \end{array} \tag{A-14}\] di mana ω_c adalah kecepatan sudut orbital.

8. DAFTAR PUSTAKA

• Bainum, Peter M., Kumar, V.K., dan James, Paul K., The Dynamics and Control of Large Flexible Space Structures, NASA Grant : NSG-1414. May 1978.
• Ashley, H., "Observations on the Dynamic Behavior of Large Flexible Bodies in Orbit", AIAA J., Vol. 5, No. 3, pp. 460 - 469, March 1967.
• 3. Djojodihardjo, Harijono, Pengendalian Sikap Guna Penstabilan Struktur Besar di Antariksa, Laporan Penelitian Hibah Bersaing, PAU Aerodinamika ITB, Februari 1987.
• 4. Kumar, V.K., dan Bainum, Peter M., "Dynamics of a Flexible Body in Orbit", Journal of Guidance and Control, Vol. 3, No. 1, January-February 1980.
• 5. Pipes, Louis A., dan Harvill, Lawrence R., Applied Mathematics for Engineers and Physicists, McGraw-Hill Kogakosha Ltd., Third Edition, 1970.
• Kaplan, Marshall H., Modern Space-craft Dynamics and Control, John Wiley & Sons Inc., 1976.
• Wells, Dare A., Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill Book Company, Schaum's Outline Series, 1967.
• 8. Meirovitch, L., Analytical Methods in Vibrations, The Macmillan Co., New York, N.Y., 1967.

Kasus ke-i : Perbandingan hasil simulasi numerik dengan hasil Bainum, Ref.(1)

Basil simulasi numerik :

Hagil Bainum, Ref. (1) :

Fig. 1: Notal Amplitude Response - Very Flexible Brown

Kasus ke-4 : Perbandingan hasil simulasi numerik dengan hasil Bainum, Ref.(1)

Hasil simulasi numerik :

Hasil Bainum, Ref. (1) :

Fig. 5: Matel Applitude Response - Very Flexible how

Kasus ke-3 : Perbandingan hasil simulasi numerik dengan hasil Bainum, Nef.(1)

Hasil simulasi numerik :

Hasil Bainum, Ref. (1) :

Fig. 7: Hodal Amplitude Response - Effect of Increased Boom Stiffness

Kasus ke-6 : Perbandingan hasil simulasi numerik dengan hasil Bainum, Ref.(1)

Hasil simulasi numerik :

Hasil Bainum, Ref.(1):

Fig. 1st Haist Amplitude Response - Effect of Increased Name Stiffments.