PENDAHULUAN

Persamaan gerak balok lentur dalam metode elemen hingga adalah sebagai ber ikut :

\[[m] \{\ddot{u}\} + [k] \{u\} = \{f\}\] (1)

• [m] = matriks inersia elemen atau matriks inersia lokal
• [k] = matriks kekakuan elemen atau matriks kekakuan lokal
• {u} = vektor perpindahan titik-titik no dal elemen
• {ü} = vektor percepatan perpindahan titik-titik nodal elemen
• {f} = vektor gaya pada titik-titik nodal elemen

Untuk soal getaran bebas, maka per samaan geraknya adalah sebagai berikut:

\[[m] \{\ddot{u}\} + [k] \{u\} = \{0\}\] (2)

Persamaan gerak untuk seluruh balok lentur mempunyai bentuk yang sama, kecuali bahwa matriks inersianya adalah matriks inersia global, [M], dan matriks kekakuannya adalah matriks kekakuan global [K]. Sedangkan vektor perpindahannya adalah vektor perpindahan semua titik nodal dari balok lentur.

Persamaan gerak (1) dapat diturunkan dengan metode Lagrangian :

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{u}}_{\dot{\mathbf{i}}}} \right] - \frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}_{\dot{\mathbf{i}}}} = 0 \quad \dot{\mathbf{i}} = 1, 2, \dots (3)\] dengan

\[L = T - V \tag{4}\]

T = energi kinetik elemen

V = energi potensial elemen

Karena V hanya tergantung dari \(\mathbf{u_i}\) dan tidak tergantung dari \(\dot{\mathbf{u_i}}\), sedangkan sebaliknya T hanya tergantung dari \(\dot{\mathbf{u_i}}\) dan tidak tergantung dari \(\mathbf{u_i}\), maka per-

^* Jurusan Teknik Mesin ITB

samaan (3) dapat dituliskan sebagai berikut:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial \dot{\mathbf{u}}_{i}}\right) + \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathbf{u}_{i}} = 0 \quad i = 1, 2, \ldots (5)\]

Suku pertama dari persamaan (5), yaitu \(\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{\downarrow}} \end{array} \right)\), akan membentuk matriks inersia elemen, sedang suku ke-2, yaitu \(\frac{\partial V}{\partial \dot{u}_{\downarrow}}\), akan membentuk matriks kekakuan elemen.

Dalam makalah ini akan diturunkan rumus matriks inersia elemen [m]:

\[[m] = \iiint [N]^T [N] \rho dv \qquad (6)\] dan berdasarkan persamaan (6) tersebut akan diturunkan semua elemen matriks inersia untuk balok lentur dengan potongan tak seragam.

Matriks inersia elemen balok lentur dengan potongan seragam telah diturunkan dalam makalah [3], sedangkan rumus untuk matriks kekakuan elemen balok lentur untuk berbagai potongan tak seragam telah diturunkan dalam makalah [1], [2].

FUNGSI BENTUK ELEMEN BALOK LENTUR

Elemen balok lentur untuk perhitungan dengan metode elemen hingga dapat digambarkan sebagai berikut :

u₁(t), u₃(t) adalah perpindahan linear (vertikal) titik nodal 1 dan 2

u₂(t), u₄(t) adalah perpindahan sudut titik nodal 1 dan titik nodal 2

f₁(t), f₃(t) adalah gaya nodal yang bekerja pada titik nodal 1 dan 2 f₂(t), f₄(t) adalah momen lentur yang bekerja pada titik nodal 1 dan 2 w(x,t) adalah perpindahan linear (vertikal) titik - titik yang terletak antara titik nodal 1 dan 2

Dalam khasanah metode elemen hingga, maka perpindahan titik-titik balok lentur yang terletak antara titik nodal 1 dan titik nodal 2, w(x,t), biasanya dinyatakan dalam perpindahan titik-titik nodalnya \(u_1(t)\), \(u_2(t)\), \(u_3(t)\) dan \(u_4(t)\) sebagai berikut :

\[w(x,t) = N_1(x)u_1(t) + N_2(x)u_2(t) + N_3(x)u_3(t) + N_4(x)u_4(t)\] (7)

atau \[w(x,t) = \sum_{i=1}^{4} N_{i}(x)u_{i}(t)\] (8)

\(N_1(x)\), \(N_2(x)\), \(N_3(x)\) dan \(N_4(x)\) dinamakan fungsi bentuk perpindahan w(x,t).

Dalam menentukan fungsi bentuk ter sebut di atas, maka antara lain dipakai ketentuan bahwa w(x,t) harus memenuhi syarat batas berikut:

\[w(0,t) = u_1(t), \quad \frac{\partial w(x,t)}{\partial x} = u_2(t)\] \[w(L,t) = u_3(t), \quad \frac{\partial w(x,t)}{\partial x} = u_4(t)\] \[x=L\]

Syarat batas tersebut di atas meng hasilkan beberapa syarat pada fungsi bentuk \(N_i(x)\) seperti tercantum di bawah ini :

\[N_1(0) = 1\], \(N_1(L) = 0\), \(\frac{dN_1}{dx} = 0\), \(\frac{dN_1}{dx} = 0\) (10)

\[N_2(0) = 0\], \(N_2(L) = 0\), \(\frac{dN_2}{dx} = 1\),

\[\frac{dN_2}{dx} = 0\] (11)

\[N_3(0) = 0\], \(N_3(L) = 1\), \(\frac{dN_3}{dx} = 0\),

\[\frac{dN_3}{dx} = 0\] (12)

\[N_4(0) = 0\], \(N_4(L) = 0\), \(\frac{dN_4}{dx} = 0\).

\[\frac{dN_4}{dx} = 1\] (13)

Misalkan fungsi bentuk N₁(x) adalah sebagai berikut :

\[N_1(x) = c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4\] (14)

Jika fungsi bentuk \(N_1(x)\) tersebut di atas harus memenuhi syarat batas (10), maka ditemukan :

\[c_1 = \frac{2}{L^3}\]; \(c_2 = -\frac{3}{L^2}\); \(c_3 = 0\) dan \(c_4 = 1\)

sehingga

\[N_1(x) = 1 - 3 \frac{x^2}{L^2} + 2 \frac{x^3}{L^3}\] (15a)

Dengan cara yang sama, diperoleh fungsi bentuk \(N_2(x)\), \(N_3(x)\) dan \(N_4(x)\) sebagai berikut :

\[N_2(x) = x - 2 \frac{x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2}\] (15b)

\[N_3(x) = 3 \frac{x^2}{L^2} - 2 \frac{x^3}{L^3}\] (15c)

\[N_4(x) = \frac{x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2}\] (15d)

Sehingga perpindahan titik-titik yang terletak antara titik nodal 1 dan titik nodal 2 menjadi:

\[w(\mathbf{x}, \mathbf{t}) = \begin{bmatrix} 1 - 3 \frac{x^2}{L^2} + 2 \frac{x^2}{L^3} \end{bmatrix} u_1(\mathbf{t}) + \\ \begin{bmatrix} \frac{x}{L} - 2 \frac{x^2}{L^2} + \frac{x^3}{L^3} \end{bmatrix} Lu_2(\mathbf{t}) + \\ \begin{bmatrix} 3 \frac{x^2}{L^2} - 2 \frac{x^3}{L^3} \end{bmatrix} u_3(\mathbf{t}) - \\ \begin{bmatrix} \frac{x^2}{L^2} - \frac{x^3}{L^3} \end{bmatrix} Lu_4(\mathbf{t})\](16)

ENERGI KINETIK ELEMEN BALOK

Dengan diperolehnya rumus w(x,t), maka energi kinetik balok T(t), persama an (16), dapat dituliskan sebagai berikut:

\[T(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m \left[ \frac{\partial w(x,t)}{\partial t} \right]^{2} dx\]

Untuk merumuskan energi kinetik elemen T lebih lanjut, maka mula-mula fungsi bentuk dan vektor perpindahan titik-titik nodal dituliskan sebagai matriks

\[[N] = \left[ \begin{array}{cc} N_1 & N_2 & N_3 & N_4 \end{array} \right] \tag{17}\]

\[\{u\} = \begin{cases} u_1(t) \\ u_2(t) \\ u_3(t) \\ u_4(t) \end{cases}\] (18)

Dengan persamaan (17) dan (18) di atas, maka perpindahan (vertikal) titik-titik elemen yang terletak di antara kedua titik nodal pada persamaan (16) dapat dituliskan sebagai berikut:

\[w(x,t) = [N] \{u\}\] (19)

Vektor kecepatan dan percepatan perpindahan titik-titik nodal adalah :

\[\{\dot{\mathbf{u}}\} = \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{u}}_{1}(t) \\ \dot{\mathbf{u}}_{2}(t) \\ \dot{\mathbf{u}}_{3}(t) \\ \dot{\mathbf{u}}_{4}(t) \end{array} \right\} \quad \mathbf{dan} \quad \{\ddot{\mathbf{u}}\} = \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\mathbf{u}}_{1}(t) \\ \ddot{\mathbf{u}}_{2}(t) \\ \ddot{\mathbf{u}}_{3}(t) \\ \ddot{\mathbf{u}}_{4}(t) \\ ---- \quad (20) \end{array} \right\}\]

Dari persamaan (19) dapat diturunkan kecepatan titik-titik elemen yang terletak antara kedua titik nodal sebagai berikut:

\[\dot{w}(x,t) = [N] \{\dot{u}\}\] (21)

Sehingga energi kinetik elemen kini dapat dituliskan sebagai berikut :

\[T(t) = \frac{1}{2} \iiint \dot{\mathbf{w}}^{2} \rho \, dv\] \[T(t) = \frac{1}{2} \iiint \rho \left\{ \dot{\mathbf{u}}_{1} \, \dot{\mathbf{u}}_{2} \, \dot{\mathbf{u}}_{3} \, \dot{\mathbf{u}}_{4} \right\} \begin{bmatrix} N_{1} \\ N_{2} \\ N_{3} \\ N_{4} \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} N_{1} \, N_{2} \, N_{3} \, N_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{u}}_{1} \\ \dot{\mathbf{u}}_{2} \\ \dot{\mathbf{u}}_{3} \\ \dot{\mathbf{u}}_{4} \end{bmatrix} \, dv\] \[T = \frac{1}{2} \iiint \left\{ \dot{\mathbf{u}} \right\}^{T} \left[ N \right]^{T} \left[ N \right] \left\{ \dot{\mathbf{u}} \right\} \, dv \qquad (22)\]

Karena (u) tidak tergantung dari letak titik yang mengalami perpindahan w, jadi (u) tidak tergantung dari x, maka persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut:

\[T = \frac{1}{2} \left\{ \dot{\mathbf{u}} \right\}^{\mathrm{T}} \left[ \iiint \rho \left[ \mathbf{N} \right]^{\mathrm{T}} \left[ \mathbf{N} \right] d\mathbf{v} \right] \left\{ \dot{\mathbf{u}} \right\}\] (23)

MATRIKS INERSIA ELEMEN

Untuk menurunkan matriks inersia elemen dengan metoda Lagrangian, maka mula-mula [N]^T [N] dituliskan sebagai satu matriks [B] yang simetrik, yaitu :

\[[B] = [N]^{T} [N] = \begin{bmatrix} N_{1} \\ N_{2} \\ N_{3} \\ N_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} N_{1}^{2} & N_{1}N_{2} & N_{1}N_{3} & N_{1}N_{4} \\ N_{2}N_{1} & N_{2}^{2} & N_{2}N_{3} & N_{2}N_{4} \\ N_{3}N_{1} & N_{3}N_{2} & N_{3}^{2} & N_{3}N_{4} \\ N_{4}N_{1} & N_{4}N_{2} & N_{4}N_{3} & N_{4}^{2} \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} & B_{14} \\ B_{22} & B_{23} & B_{24} \\ B_{33} & B_{34} \\ \text{simetrik} & B_{44} \end{bmatrix}\]

sehingga

\[T = \frac{1}{2} \iiint \rho \{\dot{\mathbf{u}}\}^{\mathrm{T}} [B] \{\dot{\mathbf{u}}\} d\mathbf{v}\]

Untuk menurunkan \(\frac{d}{dt}\) \(\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_i}\right)\), maka \(\left\{\dot{u}\right\}^T\) [B] \(\left\{\dot{u}\right\}\) akan diuraikan terlebih dahulu :

\[T = \frac{1}{2} \iiint \rho \left\{ \dot{u}_{1} \ \dot{u}_{2} \ \dot{u}_{3} \ \dot{u}_{4} \right\}\] \[\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} & B_{14} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} & B_{24} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} & B_{34} \\ B_{41} & B_{42} & B_{43} & B_{44} \end{bmatrix} \left\{ \dot{u}_{2} \\ \dot{u}_{3} \\ \dot{u}_{4} \right\} dv\] (25)

\[T = \frac{1}{2} \iiint \rho \ (B_{11}\dot{\mathbf{u}}_{1}^{2} + B_{21}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{2} + B_{31}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{3} + B_{41}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{12}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{2} + B_{22}\dot{\mathbf{u}}_{2}^{2} + B_{32}\dot{\mathbf{u}}_{2}\dot{\mathbf{u}}_{3} + B_{42}\dot{\mathbf{u}}_{2}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{13}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{3} + B_{23}\dot{\mathbf{u}}_{2}\dot{\mathbf{u}}_{3} + B_{33}\dot{\mathbf{u}}_{3}^{2} + B_{43}\dot{\mathbf{u}}_{3}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{14}\dot{\mathbf{u}}_{1}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{24}\dot{\mathbf{u}}_{2}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{34}\dot{\mathbf{u}}_{3}\dot{\mathbf{u}}_{4} + B_{44}\dot{\mathbf{u}}_{4}^{2} ) \ dv\] (26)

Kemudian dilakukan penurunan :

\[\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{1}} = \frac{1}{2} \iiint \rho \frac{\partial}{\partial \dot{u}_{1}} (B_{11}\dot{u}_{1}^{2} + B_{21}\dot{u}_{1}\dot{u}_{2} + B_{21}\dot{u}_{1}\dot{u}_{2} + B_{21}\dot{u}_{1}\dot{u}_{3} + B_{41}\dot{u}_{1}\dot{u}_{4} + B_{12}\dot{u}_{1}\dot{u}_{2} + B_{22}\dot{u}_{2}^{2} + B_{32}\dot{u}_{2}\dot{u}_{3} + B_{42}\dot{u}_{2}\dot{u}_{4} + B_{13}\dot{u}_{1}\dot{u}_{3} + B_{23}\dot{u}_{2}\dot{u}_{3} + B_{33}\dot{u}_{3}^{2} + B_{43}\dot{u}_{3}\dot{u}_{4} + B_{14}\dot{u}_{1}\dot{u}_{4} + B_{24}\dot{u}_{2}\dot{u}_{4} + B_{34}\dot{u}_{3}\dot{u}_{4} + B_{44}\dot{u}_{4}^{2} ) dv\]

\[= \frac{1}{2} \iiint \rho (2B_{11}\dot{u}_1 + B_{21}\dot{u}_2 + B_{31}\dot{u}_3 + B_{41}\dot{u}_4 + B_{12}\dot{u}_2 + B_{13}\dot{u}_3 + B_{14}\dot{u}_4) dv\]

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

Dengan cara yang sama diperoleh :

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{3}} = \iiint \rho \ ( B_{31} \dot{u}_{1} + B_{32} \dot{u}_{3} + B_{33} \dot{u}_{3} + B_{34} \dot{u}_{4} ) \ dv\] (27c)

\[\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{4}} = \iiint \rho \ ( B_{41}\dot{u}_{1} + B_{42}\dot{u}_{2} + B_{43}\dot{u}_{3} + B_{44}\dot{u}_{4} )\] (27d)

Dengan menurunkan ke-4 persamaan di atas terhadap waktu t akan diperoleh :

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{1}} \right) = \iiint_{B_{13}\ddot{u}_{3}} \rho \left( B_{11}\ddot{u}_{1} + B_{12}\ddot{u}_{2} + B_{13}\ddot{u}_{3} + B_{14}\ddot{u}_{4} \right) dv \quad (28a)\]

\[\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial T}{\partial \dot{u}_2} \end{array} \right) = \iiint \rho \; \left( \begin{array}{ccc} B_{21} \ddot{u}_1 \; + \; B_{22} \ddot{u}_2 \; + \\ B_{23} \ddot{u}_3 \; + \; B_{24} \ddot{u}_4 \end{array} \right) \; dv \quad (28b)\]

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{3}} \right) = \iiint \rho \left( B_{31} \ddot{u}_{1} + B_{32} \ddot{u}_{2} + B_{33} \ddot{u}_{3} + B_{34} \ddot{u}_{4} \right) dv \quad (28c)\]

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{4}} \right) = \iiint \rho \left( B_{41} \ddot{u}_{1} + B_{42} \ddot{u}_{2} + B_{43} \ddot{u}_{3} + B_{44} \ddot{u}_{4} \right) dv \quad (28d)\]

Dalam bentuk matriks, maka

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \tilde{u}} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \tilde{u}} \right) = \iiint \rho[B] \{\tilde{u}\} dv\] \[= \iiint \rho [N]^{T} [N] \{\tilde{u}\} dv\] (29)

\[= \left[ \iiint \rho [N]^{T} [N] dv \right] \{\ddot{u}\}\]\[= [m] \{\ddot{u}\}\](30)

dimana

\[[m] = \iiint \rho [N]^T [N] dv\] (31)

yaitu formulasi matriks inersia elemen yang dicari.

PENURUNAN MATRIKS INERSIA ELEMEN BALOK LENTUR DENGAN POTONGAN SERAGAM

Berdasarkan persamaan (31) di atas akan diturunkan matriks inersia elemen dengan potongan seragam dengan mulamula menggantikan dv dengan dx dy dz, sehingga persamaan (31) menjadi sebagai berikut :

\[[\mathbf{m}] = \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{x}_2} \int_{\mathbf{y}_1}^{\mathbf{y}_2} \int_{\mathbf{z}_1}^{\mathbf{z}_2} \rho [\mathbf{N}]^{\mathrm{T}} [\mathbf{N}] dz dy dx\] (32)

\[\begin{bmatrix} \mathbf{m} \end{bmatrix} = \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{y}_2} \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{y}_2} \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{z}_2} \rho \quad [B] \, d\mathbf{z} \, d\mathbf{y} \, d\mathbf{x}\] (33)

Tinggi dan lebar potongan balok lentur masing-masing adalah h dan b, sehingga persamaan (33) untuk elemen balok lentur dengan potongan seragam dapat dituliskan sebagai berikut :

\[[m] = \int_{0}^{L} \int_{\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \rho \quad [B] \quad dz \quad dy \quad dx\] \[(34)\]

Integrasi persamaan (34) terhadap z menghasilkan :

\[[m] = \int_{0}^{L} \frac{h}{2}^{\frac{h}{2}} \rho b [B] dy dx\] (35)

Integrasi persamaan (35) terhadap y menghasilkan :

\[[m] = \int_{\rho}^{L} \rho \, \mathbf{b} \, \mathbf{h} \, [B] \, d\mathbf{x} \tag{36}\]

Karena P, b, h, dan L tidak tergantung dari x, maka persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut :

\[[m] = \rho b h \int_{0}^{L} [B] dx\] (37)

dengan elemen-elemen matriks [B] seperti dinyatakan pada persamaan berikut :

\[B_{11} = N_1^2 = (L^6 - 6L^4x^2 + 4L^3x^3 + 9L^2x^4)\] \[12Lx^5 + 4x^6)/L^6\]

\[B_{12} = N_1 N_2 = (L^6 x - 2L^5 x^2 - 2L^4 x^3 + 8L^3 x^4 - 7L^2 x^5 + 2L x^6)/L^6\]

\[B_{13} = N_1 N_3 = (L^4 x^2 - 2L^3 x^3 - 9L^2 x^4 + 12L x^5 - 4x^6)/L^6\]

\[B_{14} = N_1 N_4 = (-L^5 x^2 + L^4 x^3 + 3L^3 x^4 - 5L^2 x^5 + 2L x^6)/L^6\]

\[B_{22} = N_2^2 = (L^6x^2 - 4L^5x^3 + 6L^4x^4 - 4L^3x^5 + L^2x^6)/L^6\]

\[B_{23} = N_2 N_3 = (3L^4 x^3 - 8L^3 x^4 + 7L^2 x^5 - 2Lx^6)/L^6\]

\[B_{24} = N_2 N_4 = (-L^5 x^3 + 3L^4 x^4 - 3L^3 x^5 + L^2 x^6)/L^6\]

\[B_{33} = N_3^2 = (9L^2x^4 - 12Lx^5 + 4x^6)/L^6\]

\[B_{34} = N_3 N_4 = (-3L^3x^4 + 5L^2x^5 - 2Lx^6)/L^6\]

\[B_{44} = N_4^2 = (L^4 x^4 - 2L^3 x^5 + L^2 x^6)/L^6\]

Diperlukan 10 kali integrasi untuk menghasilkan persamaan (37). Integrasi pertama adalah sebagai berikut :

\[\int_{0}^{L} B_{11} dx = \int_{0}^{L} \left[ \left[ L^{6} - 6L^{4}x^{2} + 4L^{3}x^{3} + 9L^{2}x^{4} - 12Lx^{5} + 4x^{6} \right] / L^{6} \right] dx\] \[= \left[ \frac{156}{420} \right] L \qquad (39)\]

Dengan cara yang sama, maka diperoleh :

\[\int_{0}^{L} B_{12} dx, \int_{0}^{L} B_{13} dx, \dots, \int_{0}^{L} B_{44} dx\]

Sehingga matriks inersia [m] untuk elemen balok lentur dengan penampang seragam menjadi :

[m] = \[\rho\] A \(\frac{L}{420}\) \[\begin{bmatrix} 156 & 22L & 54 & -13L \\ & 4L^2 & 13L & -3L^2 \\ & & 156 & -22L \\ simetrik & & 4L^2 \end{bmatrix}\] (40)

PENURUNAN MATRIKS INERSIA ELEMEN BALOK LENTUR DENGAN POTONGAN TAK SERAGAM

Elemen balok lentur dengan potongan tak seragam dapat dilihat pada gambar di atas. Tinggi dan lebar potongan balok lentur dianggap bervariasi secara linear terhadap sumbunya:

\[b(x) = b_1 + \frac{(b_2 - b_1)}{L} x\] (41)

\[h(x) = h_1 + \frac{(h_2 - h_1)}{L} x\] (42)

Persamaan (33) untuk matriks inersia elemen balok lentur dengan potongan tak seragam dapat ditulis sebagai berikut :

\[[m] = \int_{0}^{L} \frac{\frac{h(x)}{2}}{\int_{0}^{\infty} \frac{b(x)}{2}} \int_{\rho}^{\infty} [B] dz dy dx\] \[-\frac{h(x)}{2} - \frac{b(x)}{2} \qquad (43)\]

Integrasi persamaan (43) terhadap z menghasilkan:

\[[m] = \int_{0}^{L} \frac{h(x)}{2}\] \[-\frac{h(x)}{2}\] (44)

Integrasi persamaan (44) terhadap y menghasilkan:

\[[m] = \int_{0}^{L} \rho [B] b(x) h(x) dx\] (45)

Jika didefinisikan c(x) = b(x) h(x), maka

\[c(x) = (b_1 + \frac{b_2 - b_1}{L} x)(h_1 + \frac{h_2 - h_1}{L} x)\] --- (46)

Jika persamaan (46) diuraikan menjadi :

\[c(x) = b_1 h_1 + \frac{1}{L} \left[ b_1 (h_2 - h_1) + (b_2 - b_1) h_1 \right] x + \frac{1}{L^2} \left[ b_2 - b_1) (h_2 - h_1) \right] x^2\] (47)

maka persamaan (45) menjadi sebagai ber ikut :

[m] = \[\int_{0}^{L} \rho\] [B] (c₁ + c₂ x + c₃ x²) dx (48)

Kemudian persamaan (48) diuraikan menjadi:

[m] = \[\rho c_1 \int_0^L [B] dx + \rho_{\overline{L}}^1 c_2 \int_0^L [B] x dx\]
+ \(\rho \frac{1}{L^2} c_3 \int_0^L [B] x^2 dx\) (49)

dengan

\[c_1 = b_1 h_1 c_2 = [b_1(h_2 - h_1) + (b_2 - b_1) h_1] c_3 = [(b_2 - b_1) (h_2 - h_1)]\](50)

Persamaan (50) di atas dapat dituliskan sebagai berikut :

\[[m] = \rho \ c_1 \ [m_1] + \rho \ \frac{1}{L} \ c_2 \ [m_2] + \rho \ \frac{1}{L^2} \ c_3 \ [m_3]\] (51)

dengan

\[[m_1] = \int_0^L [B] dx\] (52)

\[\{\mathbf{m}_2\} = \int_0^L [\mathbf{B}] \mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} \tag{53}\]

\[[m_3] = \int_0^L [B] x^2 dx\] (54)

Perhitungan [m₁] adalah seperti dilaku kan pada halaman terdahulu, yaitu menu hasilkan :

\[[m_1] = \frac{L}{420} \begin{bmatrix} 154 & 22L & 54 & -13L \\ & 4L^2 & 13L & -3L^2 \\ & & 156 & -22L \\ \text{simetrik} & & 4L^2 \end{bmatrix} dx\] (54a)

Untuk menyelesaikan [m2] dalam persama an (53) diperlukan 10 kali integrasi :

\[[m_2] = \int_0^L \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} & B_{14} \\ & B_{22} & B_{23} & B_{24} \\ & & B_{33} & B_{34} \\ simetrik & & B_{44} \end{bmatrix} \times dx\] (55)

Integrasi pertama dari persamaan (55) adalah sebagai berikut :

\[\int B_{11} \times dx = \int \left[ (L^6 - 6L^4x^2 + 4L^3x^3) + (L^6 - 12Lx^5 + 4x^6) / L^6 \right] \times dx\] \[= \frac{1}{2} \left[ \frac{72}{420} \right] L^2 \qquad (56)\]

Dengan cara yang sama, akan dilakuka \(\int_0^L B_{12} \times dx\), ... \(\int_0^L B_{44} \times dx\), sehingg diperoleh matriks \([m_2]\) sebagai berikut

\[[m_2] = \frac{L^2}{420} \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 72 & 14L & 54 & -12L \\ 3L^2 & 14L & -3L^2 \\ & 240 & -30L \\ simetrik & 5L^2 \end{bmatrix}\] (57)

Dengan cara yang analog, diperoleh matriks [m₃] sebagai berikut :

\[[m_3] = \frac{L^3}{420} \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 76 & 17L & 92 & -19L \\ 4L^2 & 25L & -5L^2 \\ 580 & -65L \\ simetrik & 10L^2 \end{bmatrix}\]

(58

Dengan mensubstitusikan [m₁], [m₂] dan [m₃] dalam persamaan (51) maka matriks inersia balok dengan penampang tak seragam adalah sebagai berikut:

\[[m] = \rho \frac{L}{420} (c_1 [m_1] + c_2 [m_2] + c_3 [m_3]\] (59)

dengan

\[[m_1] = \begin{bmatrix} 156 & 22L & 54 & -13L \\ & 4L^2 & 13L & -3L^2 \\ & & 156 & -22L \\ simetrik & & 4L^2 \end{bmatrix}\] (53a)

\[[m_2] = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 72 & 14L & 54 & -12L \\ & 3L^2 & 14L & -3L^2 \\ & & 240 & -30L \\ simetrik & & 5L^2 \end{bmatrix}\] (56)

\[[m_3] = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 76 & 17L & 92 & -19L \\ 4L^2 & 25L & -5L^2 \\ & 580 & -65L \\ \text{simetrik} & 10L^2 \end{bmatrix}\] (57)

\[c_{1} = b_{1} h_{1} c_{2} = [b_{1} (h_{2} - h_{1}) + (b_{2} - b_{1}) h_{1}] c_{3} = [(b_{2} - b_{1}) (h_{2} - h_{1})]\] (50)

MATRIKS INERSIA ELEMEN BALOK LENTUR DENGAN BERBAGAI POTONGAN

Selanjutnya akan diselidiki bentuk matriks inersia balok untuk berbagai kasus, yaitu :

1. \[b_1 = b_2 = b\] dan \(h_1 = h_2 = h\)
2. \(b_1 = b_2 = b\) dan \(h_1 \neq h_2\)
3. \(b_1 \neq b_2\) dan \(h_1 = h_2 = h\)
4. \(b_1 \neq b_2\) dan \(h_1 \neq h_2\)

1. Untuk kasus dimana \(b_1 = b_2 = b\) dan \(h_1 = h_2 = h\) maka,

\[c_1 = b h = A\] \(c_2 = 0\) \(c_3 = 0\)

matriks inersianya adalah sebagai berikut:

\[[m] = \rho A \frac{L}{420} \begin{bmatrix} 156 & 22L & 54 & -13L \\ & 4L^2 & 13L & -3L^2 \\ & & 156 & -22L \\ simetrik & & 4L^2 \end{bmatrix}\] 2. Untuk kasus dimana \(b_1 = b_2 = b\) dan \(h_1 \neq h_2\), maka

\[c_1 = b h_1 = A_1\] \(c_2 = b (h_2 - h_1) = A_2 - A_1\) \(c_3 = 0\)

Matriks inersianya adalah sebagai berikut:

\[[m] = \rho \frac{L}{420} (c_1 [m_1] + c_2 [m_2])\] \[= \rho \frac{L}{420} [A_1 [m_1] + (A_2 - A_1) [m_2]]\] \[= \rho \frac{L}{420} A_1 [([m_1] - [m_2]) + (\frac{L}{420} A_2 [m_2])]\] atau

[m] = \[\rho\] A₁ \(\frac{L}{420}\) \[\begin{bmatrix} 120 & 15L & 27 & -7L \\ & 2.5L^2 & 6L & -1.5L^2 \\ & & 36 & -7L \\ & & & & 1.5L^2 \end{bmatrix}\]

\[+ \rho A_{2} \frac{L}{420} \begin{bmatrix} 36 & 7L & 27 & 6L \\ & 1,5 & 7L & -1,5L^{2} \\ & & 120 & -15L \\ & & & 2,5L^{2} \end{bmatrix}\] (59)

3. Untuk kasus dimana \(b_1 \neq b_2\) dan \(h_1 = h_2 = h\), maka

\[c_1 = b_1 h = A_1\]
\(c_2 = (b_2 - b_1) h = A_2 - A_1\)
\(c_3 = 0\)

Matriks inersianya adalah sebagai berikut:

\[[m] = \rho \frac{L}{420} (c_1 [m_1] + c_2 [m_2])\]

\[= \rho \frac{L}{420} \left[ A_{1}[m_{1}] + (A_{2} - A_{1})[m_{2}] \right]\] \[= \rho \frac{L}{420} A_{1}[[m_{1}] - [m_{2}] + \rho \frac{L}{420} A_{2} [m_{2}] \right]\]

Bentuk matriks inersia untuk kasus 3 ini sama dengan bentuk matriks inersia pada kasus 2, yaitu persamaan (59).

4. Untuk kasus dimana \(b_1 \neq b_2\) dan \(h_1 \neq h_2\), maka

\[c_{1} = b_{1} h_{1} = A_{1}\] \[c_{2} = [b_{1} (h_{2} - h_{1}) + (b_{2} - b_{1}) h_{1}]\] \[= b_{1}h_{2} - b_{1}h_{1} + b_{2}h_{1} - b_{1}h_{1}\] \[= (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) - 2A_{1}\] \[c_{3} = [(b_{2} - b_{1}) (h_{2} - h_{1})]\] \[= b_{2}h_{2} - b_{2}h_{1} - b_{1}h_{2} + b_{1}h_{1}\] \[= A_{2} - (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) + A_{1}\]

Matriks inersianya adalah sebagai berikut:

\[[m] = \rho \frac{L}{420} (c_1[m_1] + c_2[m_2] + c_3[m_3])\] \[= \rho \frac{L}{420} (A_1[m_1] + ((b_1h_2) + b_2h_1) - 2A_1) [m_2] + (A_2 - (b_1h_2 + b_2h_1) + A_1) [m_3])\]

\[= \rho \frac{1}{420} \left[ A_1 ([m_1] - 2 [m_2] + [m_3]) + (b_1 b_2 + b_2 b_1) ([m_2] - [m_3]) + A_2 ([m_3]) \right]\]

Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

\[[b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}] = \rho \frac{L}{420} \frac{1}{6} \begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 580 & 65L & 92 & -25L \\ & 10L^{2} & 19L & -5L^{2} \\ & & 76 & -17L \\ & & 4L^{2} \end{bmatrix} + (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) \begin{bmatrix} 140 & 25L & 70 & -17L \\ & 5L^{2} & 17L & -4L^{2} \\ & & 140 & -25L \\ & & & 5L^{2} \end{bmatrix} + A_{2} \begin{bmatrix} 76 & 17L & 92 & -19L \\ & 4L^{2} & 25L & -5L^{2} \\ & & 580 & -65L \\ & & & & 10L^{2} \end{bmatrix}\] \[[60)\]

Persamaan (60) adalah matriks iner sia [m] untuk balok lentur yang mempunyai lebar (b) dan tinggi (h) yang variabel, dengan b₁, h₁, dan A₁ masingmasing adalah lebar, tinggi dan luas penampang pada titik simpul 1, dan b₂, h₂, dan A₂ masing-masing adalah lebar, tinggi, dan luas penampang pada titik simpul 2.

\[= \rho \frac{L}{420} \left[ A_1 [m_1] + (A_2 - A_1) [m_2] \right]\] \[= \rho \frac{L}{420} A_1 [[m_1] - [m_2] + \rho \frac{L}{420} A_2 [m_2]\]

Bentuk matriks inersia untuk kasus 3 ini sama dengan bentuk matriks inersia pada kasus 2, yaitu persamaan (59).

4. Untuk kasus dimana \(b_1 \neq b_2\) dan \(h_1 \neq h_2\), maka

\[c_{1} = b_{1} h_{1} = A_{1}\] \[c_{2} = [b_{1} (h_{2} - h_{1}) + (b_{2} - b_{1}) h_{1}]\] \[= b_{1}h_{2} - b_{1}h_{1} + b_{2}h_{1} - b_{1}h_{1}\] \[= (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) - 2A_{1}\] \[c_{3} = [(b_{2} - b_{1}) (h_{2} - h_{1})]\] \[= b_{2}h_{2} - b_{2}h_{1} - b_{1}h_{2} + b_{1}h_{1}\] \[= A_{2} - (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) + A_{1}\]

Matriks inersianya adalah sebagai berikut:

\[\begin{split} [\mathbf{m}] &= \rho \ \frac{\mathbf{L}}{420} \ (\mathbf{c}_1[\mathbf{m}_1] + \mathbf{c}_2 \ [\mathbf{m}_2] + \\ & \mathbf{c}_3 \ [\mathbf{m}_3]) \end{split}\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[= \rho \frac{1}{420} \left[ A_{1} ([m_{1}] - 2 [m_{2}] + [m_{3}]) + (b_{1}h_{2} + b_{2}h_{1}) ([m_{2}] - [m_{3}]) + A_{2} ([m_{3}]) \right]\]

Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

\[[m] = \rho \frac{L}{420} \frac{1}{6} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 580 & 65L & 92 & -25L \\ & 10L^2 & 19L & -5L^2 \\ & & 76 & -17L \\ & & & 4L^2 \end{bmatrix} + \\ (b_1h_2 + b_2h_1) \begin{bmatrix} 140 & 25L & 70 & -17L \\ & 5L^2 & 17L & -4L^2 \\ & & 140 & -25L \\ & & & 5L^2 \end{bmatrix} + \\ + A_2 \begin{bmatrix} 76 & 17L & 92 & -19L \\ & 4L^2 & 25L & -5L^2 \\ & & 580 & -65L \\ & & & & 10L^2 \end{bmatrix}\] \[= A_2 \begin{bmatrix} 76 & 17L & 92 & -19L \\ & 4L^2 & 25L & -5L^2 \\ & & 580 & -65L \\ & & & & & 10L^2 \end{bmatrix}\]

Persamaan (60) adalah matriks iner sia [m] untuk balok lentur yang mempunyai lebar (b) dan tinggi (h) yang variabel, dengan b₁, h₁, dan A₁ masingmasing adalah lebar, tinggi dan luas penampang pada titik simpul 1, dan b₂, h₂, dan A₂ masing-masing adalah lebar, tinggi, dan luas penampang pada titik simpul 2.

Panjang Balok : 700 mm Gaya , P : 10 Kg (100 N) Panjang Setiap Klemen , L : 70 mm Modulus Klastisitas Young, K : 2E+05 N / mm

Massa Jenis Bahan , Rho : 7.8514K-06 Kg / mm³ Gravitasi , g : 10 m / s

8.

9.

10.

FREKUENSI PRIBADI DAN MODA GETARAN

ITER = 10 EIGENVALUE = 2.9229E-03 FREKUENSI PRIBADI = 1.8497E+01

NO. 3 ITER = 15 EIGENVALUE = 2.3330E-05

FREKUENSI PRIBADI = 2.0703E+02 MODA GETARAN :

MODA GETARAN :

4.7986E-03

1.0911E-02

1.2611E-02

ITER = 11NO. 2 EIGENVALUE = 1.4793E-04 FREKUENSI PRIBADI = 8.2220E+01 MODA GETARAN :

NO. ITER = 15 NO. 4 EIGENVALUE = 6.4680E-06 FREKUENSI PRIBADI = 3.9320E+02 MODA GETARAN :

-4.1737E-01

1.5009E-01

1.0000E+00

NO. 5 ITER = 15 RIGENVALUE = 2.4268E-06 FREKUENSI PRIBADI = 6.4192E+02 MODA GETARAN :

MODA GETARAAN BALOK KANTILEVER (BPTS) 10 ELEMEN

Moda getaran balok kantilever penampang tak seragam dengan 10 elemen

Panjang Balok : 700 mm Gaya , P : 10 Kg (100 N) Panjang Setiap Klemen , L : 70 mm Modulus Elastisitas Young, K : 2K+05 N / mm² Massa Jenis Bahan , Rho : 7.8514K-06 Kg / mm² Gravitasi , g : 10 m / s²

FREKUENSI PRIBADI DAN MODA GETARAN

NO. 1 EIGENVALUE = 2.9556E-O3 FREKUENSI PRIBADI = 1.8394E+O1 MODA GETARAN :

NO. 2 EIGENVALUE = 1.5001E-04 FREKUENSI PRIBADI = 8.1648E+01 MODA GETARAN :

NO. 5 ITER = 16 EIGENVALUE = 2.4615E-06 FREKUENSI PRIBADI = 6.3738E+02 MODA GETARAN :

KESIMPULAN

Perhitungan frekuensi pribadi batang kantilever dengan potongan tak seragam dengan memakai rumus matriks inersia untuk elemen balok lentur dengan potongan tak seragam akan memberikan hasil yang lebih teliti.