1. PENDAHULUAN

Sampai saat ini terdapat sejumlah teknik yang dapat digunakan untuk melakukan analisis suatu sistem dinamik non-linier yang mempunyai satu derajat kebebasan, tetapi metode-metode ini sangat sulit untuk diperluas penggunaannnya pada sistem yang mempunyai lebih dari satu derajat kebebasan. Penyelesaian eksak yang dapat digunakan untuk memecahkan berbagai problem dinamik non-linier secara umum belum ada.

Perilaku dinamik dari suatu sistem non-liniear yang sangat sederhana dapat didekati dengan menggunakan metode Fokker-Planck. Metode pendekatan dari Fokker-Planck mempunyai banyak keuntungan dibandingkan dengan pendekatan eksak, tetapi sayangnya keuntungan-keuntungan ini hanya dapat dipakai untuk memecahkan problem yang sangat terbatas. Usaha untuk memperluas pendekatan ini telah banyak dilakukan oleh para peneliti, salah satunya dapat dilihat dari hasil pekerjaan yang dilakukan oleh Caughey [1], yang menunjukkan bahwa persamaan Fokker-Planck stasioner dapat dipecahkan kepadatan probabilitas pertama dari suatu proses Markov dapat diperoleh. Tetapi pada kenyataannya sebagian besar sistem yang mewakili kasus-kasus praktis tidak memiliki kondisi-kondisi yang diperlukan untuk pemecahan masalah, khususnya batasan-batasan yang diminta antara matrik redaman linier dan gaya eksitasi sangat sulit diperoleh.

Teknik linierisasi statistik dapat dipergunakan untuk memecahkan sebagian besar kesulitan-kesulitan yang sering ditemui pada metode-metode yang terdahulu, untuk mempelajari respon acak stasioner dari suatu

sistem non-linier dengan banyak derajat kebebasan. Hal ini dapat dilihat dari hasil penelitian yang dilakukan oleh Spanos dan Iwan [2] dan Iwan dan Yang [3]. Ide dasar dari metode pendekatan ini adalah mengganti persamaan diferensial dari suatu sistem dinamik nonlinier dengan suatu persamaan diferensial linier ekivalen dimana perbedaan yang terjadi antara kedua sistem tersebut adalah minimum. Jadi sistem dinamik nonlinier digantikan dengan sistem dinamik linier ekivalen dimana jawab dari sistem linier tersebut telah diketahui. Tentu saja pemilihan model linier ekivalen ini harus didasari oleh pengetahuan yang cukup dan memadai mengenai karakteristik dinamik sistem asalnya. Teknik linierisasi statistik pada kasus-kasus ini memperlihatkan hasil-hasil yang sangat menjanjikan karena cara ini tidak memerlukan batasan-batasan yang sangat membatasi pemakaian metode-metode pendekatan lainnya.

Crandall [4], dalam penelitiannya menunjukkan bahwa teknik Gauss tertutup akan memberikan hasil yang sama dengan teknik linierisasi. Wen [5] menyimpulkan bahwa pendekatan dengan metode linierisasi adalah lebih baik dari pada pendekatan dengan mempergunakan metode Gauss tertutup. Sedangkan Wu [6,7] menyimpulkan bahwa pendekatan dari Gauss dan metode linierisasi akan memberikan hasil yang sama jika keduanya dipergunakan secara tepat.

Dalam tulisan ini, akan diperlihatkan bahwa, dalam kondisi tertentu fenomena loncatan yang sangat terkenal dalam sistem dinamik non-linier deterministik dapat juga diperlihatkan pada sistem dinamik non-linier acak. Fenomena loncatan yang terjadi pada sistem dinamik non-linier acak ini pada mulanya dipelajari secara analitik dan eksperimental oleh Lyon [8] untuk suatu

sistem non-linier dengan satu derajat kebebasan dengan menggunakan metode pendekatan linierisasi. Setio et al [9,10] dalam penelitiannya secara analitik dan eksperimental telah menunjukkan bahwa basis modal dapat digunakan untuk menerangkan fenomena loncatan dari sistem dinamik non-linier yang memiliki banyak derajat kebebasan. Jie dan Fang [11] menggunakan metode Fokker-Planck untuk mengamati fenomena loncatan untuk suatu sistem dengan dua derajat kebebasan.

Akan diperlihatkan disini dua metode pendekatan dari penyelesaian stokastik; yang pertama adalah pendekatan linierisasi berdasarkan hasil pekerjaan Iwan dan Yang [3] sedangkan metode yang lain adalah metode pendekatan berdasarkan persamaan diferensial stokastik Ito [6,7,11,12,13] dan hirarki dari persamaan momen dibatasi dengan menggunakan teknik Gauss tertutup [6,7].

2. METODE LINIERISASI

Persamaan diferensial orde dua dari suatu sistem nonlinier yang mempunyai banyak derajat kebebasan dapat ditulis dalam bentuk:

\[M \ddot{u} + C \dot{u} + K u + f(u, \dot{u}) = P(t)\] (1)

M, C, K, \(f(u, \dot{u})\), P(t) dan u berturut-turut adalah matriks massa, matrik redaman, matrik kekakuan, vektor gaya dalam non-linier yang merupakan fungsi dari perpindahan dan kecepatan, vektor gaya eksitasi luar acak stasioner yang mempunyai sifat-sifat Gauss dan vektor perpindahan.

Persamaan diferensial linier orde dua, yang dapat mewakili persamaan diferensial non-linier orde dua dari Pers. (1) adalah:

\[M \ddot{u} + C \dot{u} + K u + C \dot{u} + K' u = P(t)\] (2)

Matriks C dan K' adalah matriks redaman dan kekakuan linier ekivalen yang menggantikan vektor gaya-gaya dalam non-linier \(f(u, \dot{u})\).

Pers. (2) dapat dianggap mempunyai penyelesaian linier stasioner dan merupakan fungsi dari \(c_{ij}\) dan \(k_{ij}\).

\[u = u(c_{ij}, k_{ij}, t)\] (3)

\(c_{ij}\) dan \(k_{ij}\) berturut-turut adalah elemen-elemen matrik C dan K'.

Perbedaan antara Pers. (1), yang menggambarkan sistem yang sebenarnya dengan sistem substitusinya yang linier pada Pers. (2) dapat dijelaskan melalui vektor selisih \(\epsilon\):

\[\varepsilon = f(u, \dot{u}) - C' \dot{u} - K' u \tag{4}\] dengan u adalah penyelesaian Pers. (3) dari persamaan substitusi Pers. (2). Harga vektor selisih adalah fungsi dari parameter-parameter sistem substitusi \(c_{ij}\) dan \(k_{ij}\). Suatu penyelesaian pendekatan dari Pers. (1) dapat dihasilkan dengan memilih harga \(c_{ij}\) dan \(k_{ij}\) sedemikian

rupa sehingga harga selisih ɛ mempunyai harga yang minimum. Sehingga dapat dianggap bahwa penyelesaian dari Pers. (1) dapat diwakili oleh Pers. (3) dan (2) dengan ketelitian yang cukup tinggi.

Kriteria minimum harus memenuhi hubungan berikut :

\[E[\varepsilon^T \varepsilon] = \min\] (5)

Operator E adalah harga rata-rata statistik atau harga harapan matematik.

Kondisi-kondisi yang diperlukan untuk Pers. (5) adalah

\[\frac{\partial E[\varepsilon^{T}\varepsilon]}{\partial c_{ij}} = 2E[\varepsilon^{T} \frac{\partial \varepsilon}{\partial c_{ij}}] = 2E[\varepsilon_{i} \ \dot{u}_{j}] = 0\] \[\frac{\partial E[\varepsilon^{T}\varepsilon]}{\partial k_{ij}} = 2E[\varepsilon^{T} \frac{\partial \varepsilon}{\partial k_{ij}}] = 2E[\varepsilon_{i} \ u_{j}] = 0\] \[i, j = 1, \dots, n\] (6)

Karena P(t) mempunyai sifat-sifat Gauss, maka dapat ditunjukkan bahwa Pers. (6) menunjukkan harga minimum yang sesungguhnya dari \(E[\epsilon^T \epsilon]\). Dengan menggunakan definisi harga selisih \(\epsilon\) dan Pers. (4), Pers. (6) dapat disederhanakan menjadi :

\[E[\varepsilon \ \dot{u}^{T}] = E[g(u, \ \dot{u} \ ) \ \dot{u}^{T}] - C \ E[\ \dot{u} \ \dot{u}^{T}] - K \ E[u \ \dot{u}^{T}] = 0\] \[(7)\] \[E[\varepsilon \ u^{T}] = E[g(u, \ \dot{u} \ ) \ u^{T}] - C \ E[\ \dot{u} \ u^{T}] - K \ E[u \ u^{T}] = 0\]

Untuk memecahkan Pers. (7) untuk harga-harga C dan K, maka diperlukan transformasi harga-harga \(E[g(u,\dot{u})\dot{u}^T]\) dan \(E[g(u,\dot{u})u^T]\) menjadi harga-harga baru sebagai fungsi dari \(E[u\,u^T]\), \(E[u\,\dot{u}^T]\) dan \(E[\dot{u}\,\dot{u}^T]\)

\(y_{ij}\) adalah perpindahan relatif dari massa ke i terhadap massa ke j dan \(s_{ij}(y_{ij}, \dot{y}_{ij})\) adalah vektor gaya yang bekerja pada elemen non-linier yang menghubungkan massa i dan j.

\[E[g_{i}(u, \dot{u})u_{j}] = \sum_{k, k \neq 1} E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik})u_{j}]\] \[E[g_{i}(u, \dot{u})\dot{u}_{j}] = \sum_{k, k \neq 1} E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik})\dot{u}_{j}]\] (8)

\(y_{ij}\) adalah perpindahan relatif dari massa ke i terhadap massa ke j dan \(s_{ij}(y_{ij}, \dot{y}_{ij})\) adalah vektor gaya yang bekerja pada elemen non-linier yang menghubungi massa i dan j.

Karena u mempunyai sifat-sifat Gauss, maka \(y_{ij}\), \(\dot{y}_{ij}\), \(u_j\), dan \(\dot{u}_j\) dapat dianggap mempunyai distribusi Gauss.

Dapat diperlihatkan bahwa:

\[E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik})u_j] = E[(\gamma_{ik} \dot{y}_{ik} + k_{ik}y_{ik})u_j]\] \[E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik}) \dot{u}_j] = E[(\gamma_{ik} \dot{y}_{ik} + k_{ik}y_{ik}) \dot{u}_j]\] (9)

dengan

\[\gamma_{ik} = E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik}) \dot{y}_{ik}]/E[\dot{y}_{ik}^{2}]\] \[\kappa_{ik} = E[s_{ik}(y_{ik}, \dot{y}_{ik})y_{ik}]/E[y_{ik}^{2}]\] \[i \neq k\] (10)

Matrik redaman dan matrik kekakuan dari sistem linier yang didefinisikan pada Pers. (10) adalah C dan K, jadi elemen-elemen dari matrik C tergantung pada harga \(\gamma_{ik}\) dan elemen-elemen dari matrik K tergantung pada harga \(\kappa_{ik}\). Dapat diperlihatkan bahwa :

\[E[g(u, \dot{u})u^{T}] - \hat{C}' E[\dot{u} u^{T}] - \hat{K}' E[u u^{T}] = 0\] \[E[g(u, \dot{u}) \dot{u}^{T}] - \hat{C}' E[\dot{u} \dot{u}^{T}] - \hat{K}' E[u \dot{u}^{T}] = 0\] (11)

Pers. (7) dapat diselesaikan untuk C dan K yang memenuhi persyaratan minimum \(E[\epsilon^T \epsilon]\), dengan mensubstitusi Pers. (11) pada Pers. (7), akan didapat :

\[(C - \hat{C}') E[\dot{u} \ u^{T}] - (K - \hat{K}') E[u \ u^{T}] = 0\] \[(C - \hat{C}') E[\dot{u} \ \dot{u}^{T}] - (K - \hat{K}') E[u \ \dot{u}^{T}] = 0\] (12)

Suatu seri dari dua nxn persamaan dapat ditulis kembali dalam bentuk :

\[X = \begin{bmatrix} (C' - \hat{C}')^T \\ (K' - \hat{K}')^T \end{bmatrix} = 0\] (13)

atau

\[X = \begin{bmatrix} E[\dot{u} u^T] & E[u u^T] \\ E[\dot{u} \dot{u}^T] & E[u \dot{u}^T] \end{bmatrix}\](14)

Jika matrik X dengan ukuran \(2n \times 2n\) dari nilai harapan u adalah non-singuler, maka satu-satunya jawab dari Pers. (12) adalah:

\[C' = \hat{C}'\] \[K' = \hat{K}'\] (15)

Jika X adalah singuler, maka penyelesaian Pers. (15) bukan merupakan satu-satunya jawab dari Pers. (12), tetapi setiap penyelesaian C dan K dari Pers. (12) akan tetap memberikan harga minimum untuk \(E[\epsilon^T \epsilon]\).

3. METODE ITO

Perhatikan persamaan dinamik dari suatu sistem nonlinier dengan banyak derajat kebebasan yang mengalami gaya-gaya luar acak yang dapat digambarkan melalui persamaan diferensial (1), dan P(t) adalah suatu gaya eksitasi acak stasioner dengan pita besar. Gaya eksitasi ini dianggap mempunyai harga rata-rata nol dan kepadatan spektral 2D sampai frekuensi \(\omega >> \omega_n\), dimana \(\omega_n\) adalah frekuensi diri dari sistem. Pada kondisi ini, Pers. (1) dapat didekati dengan menggunakan suatu seri dari persamaan ekivalen dari Ito[6,7,11,12,13] dan penyelesaiannya mengikuti proses Markov.

Lakukan transformasi koordinat:

\[Y_i = u_i\] \[Y_{i+n} = \dot{u}_i\] \[i = 1, 2, ..., n\] (16)

Pers. (1) kemudian ditulis dalam bentuk 2n persamaan diferensial orde satu dan dalam bentuk vektor Markov, maka satu seri persamaan keadaan non-linier dari Pers. (1) dapat ditulis melalui suatu persamaan diferensial stokastik berikut ini:

\[dY(t) = F(Y, t) dt + G(Y, t) dB(t)\] (17)

B adalah suatu proses pergerakan dari Brown, Y(t) adalah vektor keadaan ruang, F(Y,t) dan G(Y,t) adalah matrik dari vektor keadaan yang mendifinisikan suatu sistem non-linier.

Persamaan diferensial dari momen dapat dibuat umum dengan menggunakan prosedur dari persamaan diferensial stokastik Ito.

\[d\Phi(Y) = \left\{\frac{\partial \Phi(Y)}{\partial Y_i}\right\}^T [dY]\] \[+ \frac{1}{2} \operatorname{Trace} \operatorname{GQG}^T \left\{\frac{\partial^2 \Phi(Y)}{\partial Y_i \partial Y_j}\right\} dt \tag{18}\] dengan \(\Phi(Y)\) adalah suatu fungsi skalar umum dari koordinat respon dan Q d\(\tau = E[dB(t) d B(t)^T]\)

Dengan mengambil harga harapan pada ke dua sisi dari Pers. (18) dan dengan membagi dengan dt, maka akan didapat:

\[dE[\Phi]/dt = E\left[\frac{\partial \Phi(Y)}{\partial Y_i}\right]^T \{f(Y, t)\}\] \[+ 1/2 E[\text{Trace } GQG^T \Phi_{YY}]\] (19)

atau

\[\dot{M}_{ijk...} = (d/dt)E[\Phi(Y)] = E\left[\left\{\frac{\partial \Phi(Y)}{\partial Y_i}\right\}^T \left\{F_i(Y,t)\right\}\right] + 1/2 \left[\text{Trace GQG}^T \Phi_{YY}\right]\] (20)

\(\Phi_{YY}(.)\) adalah matrik Jacob dari suatu transformasi, \(\Phi(.)\) adalah suatu fungsi skalar umum dan \(M_{ijk} = E[Y_1^i, Y_2^j, Y_3^k, ...]\).

Momen statistik dari suatu sistem dinamik non-linier yang mengalami gaya eksitasi acak dari luar pada Pers. (20) dapat dijabarkan melalui persamaan hirarki yang tak terbatas. Suatu strategi pemotongan yang tepat diperlukan untuk melakukan perhitungan pendekatan

MESIN Vol. XI No. 1 pada orde-orde pertama. Secara klasik dan karena kesederhanaannya, maka teknik Gauss tertutup sering digunakan untuk memecahkan problem dinamik nonlinier acak. Harga kumulan yang menunjukkan momen pada Pers. (20) dengan orde lebih besar dari dua adalah nol untuk membatasi hirarki dari persamaan momen menjadi orde dua. Oleh karena itu harga-harga momen kemudian dinyatakan sebagai fungsi dari momen orde pertama dan orde kedua.

Secara sistematik perluasan dari prosedur ini adalah metode non-Gauss tertutup dimana jumlah momen ditingkatkan untuk mendapatkan parameter-parameter tambahan dan ketelitian perhitungan dapat ditingkatkan dengan memperpanjang pemotongan dari orde dua ke orde yang lebih tinggi [12]. Misalnya dapat digunakan metode dengan orde 4 dari metode non-Gauss tertutup dengan cara menghilangkan kumulan berhubungan dengan momen-momen yang mempunyai orde 5, 6 dan orde lainnya yang lebih tinggi lagi pada Pers. (20), dengan maksud agar didapat hirarki dari persamaan momen untuk orde 4. Atau dapat juga digunakan metode dengan orde 6 dengan cara mengambil persamaan-persamaan momen hingga orde

Dengan mempergunakan formula kumulan dari Wu [6], Momen dan kumulan mempunyai hubungan sebagai berikut:

\[\begin{split} E[Y_{j} Y_{k}] &= \kappa_{2}[Y_{j}, Y_{k}] \\ E[Y_{j} Y_{k} Y_{l}] &= \kappa_{3}[Y_{j}, Y_{k}, Y_{l}] \\ E[Y_{j} Y_{k} Y_{l} Y_{m}] &= \kappa_{4}[Y_{j}, Y_{k}, Y_{l}, Y_{m}] \\ &+ 3\{\kappa_{2}[Y_{j}, Y_{k}] \kappa_{2}[Y_{l}, Y_{m}]\}_{s} \end{split} \tag{21}\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\(\{\ \}_{\mathcal{S}}\) adalah suatu operasi yang meliputi seluruh kemungkinan kombinasi, seperti

\[\begin{aligned} \{ \kappa_{2}[Y_{j}, Y_{k}] \kappa_{2}[Y_{l}, Y_{m}] \}_{s} &= 1/3 \{ \kappa_{2}[Y_{m}, Y_{j}] \kappa_{2}[Y_{k}, Y_{l}] \\ &+ \kappa_{2}[Y_{j}, Y_{k}] \kappa_{2}[Y_{l}, Y_{m}] \\ &+ \kappa_{2}[Y_{j}, Y_{l}] \kappa_{2}[Y_{k}, Y_{m}] \} \end{aligned} (22)\]

4. CONTOH

Sebagai ilustrasi pemakaian metode Ito, telah diambil sebagai contoh suatu sistem dinamik yang mempunyai kekakuan non-linier jenis kubik dan mengalami gaya eksitasi luar acak.

Suatu keluaran dari saringan linier dengan pita sempit dan masukan berupa derau putih digunakan dalam analisis. Proses penyaringan dapat ditulis sebagai berikut [11]:

\[\ddot{x} + \xi \dot{x} + \omega_0^2 x = p(t)\] (C-1)

Dengan x dan \(\dot{x}\) adalah keluaran dari hasil saringan dan \(\omega(t)\) adalah derau putih dengan kepadatan spectral \(S_0\). Masukkan dapat dianggap memenuhi sifat Gauss dengan harga rata-rata nol. x dan \(\dot{x}\) tidak saling bergantungan. Keluaran rata-rata kuadrat mempunyai hubungan sebagai berikut:

\[\langle \dot{x}^2 \rangle = \omega_0^2 \langle x^2 \rangle = \pi S_0 / \xi\] (C-2)

Fungsi keluaran dari kepadatan spektral didapat melalui

\[S_x(\omega) = |H(\omega)|^2 S_0 = S_x(\omega)/\omega^2\] (C-3)

Dimana \(H(\omega)\) merupakan suatu fungsi transfer dari saringan linier. Jika redaman dari saringan cukup kecil, \(1>>\xi/\omega_0\), maka sebagian besar dari keluaran akan berkumpul pada harga di sekitar \(\omega_0\) dimana terletak puncak spektral dari keluaran. Besaran pita dari harga setengah kekuatan adalah kurang lebih sama dengan \(\xi\). Dalam hal ini, derau putih hasil saringan dapat dianggap sebagai gaya eksitasi acak dengan pita sempit. Dengan mengatur \(\xi\) dan \(\omega_0\), eksitasi dengan pita sempit dengan berbagai besaran pita dan berbagai harga tengah frekuensi dapat diperoleh.

Perhatikan sistem nonlinier tak berdimensi dengan jenis Duffing berikut ini :

\[\ddot{u}_{1} + \mu_{1} \dot{u}_{1} + \omega_{1}^{2} u_{1} = \alpha_{1} u_{1}^{3} + \alpha_{2} u_{1}^{2} u_{2} + \alpha_{3} u_{1} u_{2}^{2} + \beta_{1} x\] (C-4) \[\ddot{u}_{2} + \mu_{2} \dot{u}_{2} + \omega_{2}^{2} u_{2} = \alpha_{5} u_{1}^{3} + \alpha_{6} u_{1}^{2} u_{2} + \alpha_{8} u_{2}^{3} + \beta_{2} \dot{x}\]

dimana x dan \(\dot{x}\) adalah keluaran dari filter dengan \(\mu_i\), \(\omega_i\) dan \(\alpha_i\) adalah konstanta.

Dengan melakukan transformasi koordinat,

\[Y_1=x\], \(Y_2=u_1\), \(Y_3=u_2\), \(Y_4=\dot{x}_1\), \(Y_5=\dot{u}_1\), \(Y_6=\dot{u}_2\) (C-5)

Pers. (C-1) dan (C-4) dapat ditulis dalam bentuk:

\[\dot{Y}_{2}=Y_{5},\] \[\dot{Y}_{3}=Y_{6},\] \[\dot{Y}_{4}=-\xi Y_{4}-\omega_{0}^{2}Y_{1}+p(t),\] \[\dot{Y}_{5}=-\mu_{1}Y_{5}-\omega_{1}^{2}Y_{2}+\alpha_{1}Y_{2}^{3}+\alpha_{2}Y_{2}^{2}Y_{3}+\alpha_{3}Y_{2}Y_{3}^{2}+\beta_{1}Y_{1},\] \[\dot{Y}_{6}=-\mu_{2}Y_{6}-\omega_{2}^{2}Y_{3}+\alpha_{5}Y_{2}^{3}+\alpha_{6}Y_{2}^{2}Y_{3}+\alpha_{8}Y_{3}^{3}+\beta_{2}Y_{4},\] (C-6)

Dengan menggunakan persamaan momen dari Pers. (20) dan Pers. (C-6), maka harga-harga respon dari momen dapat diperoleh dalam bentuk persamaan umum berikut:

\[\dot{M}_{i,j,k,l,m,n} = 1/2 \ l(l-1) \ p(t)^2 \ M_{i,j,k,l,m,n}\]

\[\begin{array}{l} + i M_{i-1,j,k,l+1,m,n} + j M_{i,j-1,k,l,m+1,n} \\ + k M_{i,j,k-1,l,m,n+1} - \xi \, l \, M_{i,j,k,l,m,n} \\ + \omega_0^2 l \, M_{i+1,j,k,l-1,m,n} - \mu_1 m M_{i,j,k,l,m,n} \\ + \omega_1^2 \, m \, M_{i,j+1,k,l,m-1,n} \\ + \alpha_1 m M_{i,j+3,k,l,m-1,n} \\ + \alpha_2 m M_{i,j+2,k+1,l,m-1,n} \\ + \beta_1 \, m \, M_{i+1,j,k,l,m-1,n} \\ - \mu_2 \, n M_{i,j,k,l,m,n} - \omega_2^2 n \, M_{i,j,k+1,l,m,n-1} \\ + \alpha_5 \, n \, M_{i,j+3,k,l,m,n-1} \\ + \alpha_6 n M_{i,j+2,k+1,l,m,n-1} \\ + \alpha_8 n M_{i,j,k+3,l,m,n-1} \\ + \beta_2 \, n \, M_{i,j,k,l-1,m,n-1} \end{array} \tag{C-7}\]

Penjumlahan indeks i+j+k+l+m+n mempunyai harga yang beragam dari satu sampai dengan harga orde yang dikehendaki.

Harga-harga momen dengan orde pertama didapat dari Pers. (C-7) dengan memberikan harga i+j+k+l+m+n=1

\[\dot{M}_{100000} = M_{000100} \dot{M}_{010000} = M_{000010} \dot{M}_{001000} = M_{000001} \dot{M}_{000100} = -\xi M_{000100} + \omega_0^2 M_{100000} \dot{M}_{000010} = -\mu_1 M_{000010} - \omega_1^2 M_{010000} + \alpha_1 M_{030000} + \alpha_2 M_{021000} + \alpha_3 M_{012000} + \beta_1 M_{100000}\] (C-8)

\[\dot{M}_{000001} = -\mu_2 M_{000001} - \omega_2^2 M_{001000} + \alpha_5 M_{030000} + \alpha_6 M_{021000} + \alpha_8 M_{003000} + \beta_2 M_{000100}\]

Dan harga-harga momen dengan orde dua didapat dengan memberikan harga i+j+k+l+m+n=2

\[\begin{split} \dot{M}_{200000} &= 2 \, M_{100100} \\ \dot{M}_{110000} &= M_{100010} + M_{010100} \\ \dot{M}_{101000} &= M_{100001} + M_{001100} \\ \dot{M}_{100100} &= -\xi \, M_{100100} - \omega_0^2 \, M_{200000} \\ \dot{M}_{100010} &= -\mu_1 \, M_{100010} - \omega_1^2 \, M_{110000} \\ &+ \alpha_1 M_{130000} + \alpha_2 \, M_{121000} \\ &+ \alpha_3 \, M_{112000} + \beta_1 \, M_{200000} \\ &+ M_{000110} \end{split}\]

\[\dot{M}_{100001} = -\mu_2 M_{100001} - \omega_2^2 M_{101000} + \alpha_5 M_{130000} + \alpha_6 M_{121000} + \alpha_8 M_{103000} + \beta_2 M_{100100} + M_{000101}\]

\[\begin{split} \dot{M}_{020000} &= 2 \ M_{010010} \\ \dot{M}_{011000} &= M_{010001} + M_{001010} \\ \dot{M}_{010100} &= -\xi M_{010100} - \omega_0^2 M_{110000} \\ &+ M_{000110} \end{split}\]

\[\begin{split} \dot{M}_{010010} = & -\mu_1 \, M_{010010} - \omega_1^2 M_{020000} \\ & + \alpha_1 M_{040000} + \alpha_2 M_{031000} \\ & + \alpha_3 M_{022000} + \beta_1 M_{110000} \\ & + M_{000020} \end{split}\]

\[\dot{M}_{010001} = -\mu_2 M_{010001} - \omega_2^2 M_{011000} + \alpha_5 M_{040000} + \alpha_6 M_{031000} + \alpha_8 M_{013000} + \beta_2 M_{010100} + M_{000011}\]

\(\dot{M}_{002000} = 2 M_{001001}\) \(\dot{M}_{001100} = -\xi M_{001100} - \omega_0^2 M_{101000}\) \(+ M_{000101}\)

\[\dot{M}_{001010} = - \mu_1 M_{001010} - \omega_1^2 M_{011000} + \alpha_1 M_{031000} + \alpha_2 M_{022000} + \alpha_3 M_{013000} + \beta_1 M_{101000} + M_{000011}\]

\[\begin{split} \dot{M}_{001001} &= - \, \mu_2 \, M_{001001} - \omega_2^2 \, M_{002000} \\ &+ \, \alpha_5 \, M_{031000} + \alpha_6 \, M_{022000} \\ &+ \, \alpha_8 \, M_{004000} + \beta_2 \, M_{001100} \\ &+ \, M_{000002} \end{split}\]

\[\dot{M}_{000200} = -2\xi M_{000200} - 2\,\omega_0^2 M_{100100} \\ + 2\pi S_0\]

\[\dot{M}_{000110} = -(\mu_1 + \xi) M_{000110} - \omega_1^2 M_{010100} + \alpha_1 M_{030100} + \alpha_2 M_{021100} + \alpha_3 M_{012100} + \beta_1 M_{100100} - \omega_0^2 M_{100010}\]

\[\begin{split} \dot{M}_{000101} &= -(\mu_2 + \xi) M_{000101} - \omega_2^2 M_{011000} \\ &+ \alpha_5 M_{030100} + \alpha_6 M_{021100} \\ &+ \alpha_8 M_{003100} + \beta_2 M_{000200} \\ &- \omega_0^2 M_{100001} \end{split}\]

\[\dot{M}_{000020} = -2\mu_1 M_{000020} - 2\omega_1^2 M_{010010} + 2\alpha_1 M_{030010} + 2\alpha_2 M_{021010} + 2\alpha_3 M_{012010} + 2\beta_1 M_{100010}\]

(C-9)

\[\begin{split} \dot{M}_{000011} = & -(\mu_1 + \mu_2) M_{000011} - \omega_2^2 M_{001010} \\ & + \alpha_5 M_{030010} + \alpha_6 M_{021010} \\ & + \alpha_8 M_{003010} + \beta_2 M_{000110} \\ & - \omega_1^2 M_{010001} + \alpha_1 M_{030001} \\ & + \alpha_2 M_{021001} + \alpha_3 M_{012001} \\ & + \beta_1 M_{100001} \end{split}\]

\[\dot{M}_{000002} = -2\mu_2 M_{000002} - 2\omega_2^2 M_{001001} + 2\alpha_5 M_{030001} + 2\alpha_6 M_{021001} + 2\alpha_8 M_{003001} + 2\beta_2 M_{000101}\]

Momen stasioner didapat dengan cara membuat bagian kiri Pers. (C-7) sama dengan nol. Pers. (C-8) dan (C-9) adalah persamaan terbuka, karena momen-momen dengan orde yang lebih tinggi terdapat dalam persamaan. Sesuai dengan metode Gauss tertutup yang didapat melalui Pers. (21) dan dengan memberikan \(\kappa_n = 0\) untuk \(n \ge 3\), maka didapat momen stasioner dengan orde 4 dalam bentuk :

\[E[Y_i Y_j Y_k Y_l] = E[Y_i Y_j] E[Y_k Y_l] + E[Y_i Y_k] E[Y_j Y_l] + E[Y_i Y_l] E[Y_j Y_k]\](C-10)

Dengan menggunakan Pers. (C-10), Pers. stasioner (C-8) dan (C-9) menjadi persamaan tertutup. Momen stasioner diperoleh dengan mempergunakan analisis numerik.

\(\begin{array}{l} \omega_1{=}2.0,\,\omega_2{=}4.0,\,\mu_1{=}\mu_2{=}0.1,\,\alpha_1{=}{-}0.2,\,\alpha_2{=}{-}0.93,\\ \alpha_3{=}{-}0.33,\,\alpha_5{=}{-}0.03,\,\alpha_6{=}{-}0.33,\,\alpha_8{=}{-}1.15,\\ \xi{=}0.0005,\,\beta_2{=}0.1,\,\pi S_0{=}0.001 \end{array}\)

Gambar 1 Respon-frekuensi untuk berbagai amplitude gaya eksitasi dengan harga \(\beta_1\)berturut-turut 0.25, 0.5 dan 0.75

Gb. (1) menunjukkan respon-frekuensi dengan berbagai harga amplitude gaya eksitasi yang berbeda dan Gb. (2) adalah respon-frekuensi dengan harga amlitudo gaya eksitasi tetap \(\beta_1\)=0.75 tetapi mempunyai lebar pita yang berbeda \(\xi\) = 0.25, 0.005 dan 0.0005

Gambar 2 Respon-frekuensi dengan berbagai lebar pita \(\xi\)=0.25, 0.005 dan 0.0005. untuk \(\beta_1\)=0.75.

5. KESIMPULAN

Telah diperlihatkan bahwa pada kondisi-kondisi tertentu, fenomena loncatan dapat dihasilkan dari suatu sistem non-linier yang mengalami gaya eksitasi luar acak. Untuk besaran pita yang sangat sempit, maka akan didapat fenomena loncatan yang mempunyai karakteristik yang sama dengan fenomena loncatan yang dihasilkan dengan menggunakan gaya eksitasi deterministik.

Pustaka

• CAUGHEY, T. K., "Derivation and Application of the Fokker-Planck Equation to Discrete Nonlinear Dynamic Systems Subjected to White Random Excitation", The Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 35, No. 11, 1683-1692, Nov. 1963
• SPANOS, P. T. D. and IWAN, W. D., "On the Existence and Uniqueness of Solutions Generated by Equivalente Linearisation", Int. J. Non-linear Mechanics, Vol. 13, 71-78, 1978
• IWAN, W. D. and YANG, I. M., "Application of Statistical Linearization Techniques to Nonlinear Multidegree-of-Freedom Systems", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 545-550, June 1972
• CRANDALL, S. H., "Non-gaussian Closure Techniques for Stationary Random Vibration", Int. J. Non-linear Mechanics, Vol. 20, No. 1, 1-8, 1985
• WEN, Y. K., "Equivalent Linearization for Hysteretic Systems Under Random Excitation", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, Vol. 47, 150-154, Mar. 1980

• WU, W. F. and LIN, Y. K., "Cumulant-neglect Closure for Non-linear Oscillators under Random Parametric and External Excitations", Int. J. Nonlinear Mechanics, Vol. 19, No. 4, 349-362, 1984
• 7. WU, W. F., "Comparison of Gaussian Closure Technique and Equivalent Linearization Method", Probabilistic Engineering Mechanics, Vol. 2, No. 1, 2-8, 1987
• LYON, R. H., HECKL, M. and HAZELGROVE, C. B., "Response of Hard-Spring Oscillator to Narrow-Band Excitation", The Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 33, No. 10, 1404-1411, Oct. 1961
• SETIO, S., SETIO, H.D. and JEZEQUEL, L., "Modal Analysis of Nonlinear Multi-Degree-of-Freedom Structures", The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, Society for Experimental Mechanics, Inc., USA, 75-93, Volume 7, Number 2, April 1992
• SETIO, S., SETIO, H.D. and JEZEQUEL, L., "A Method of Non-Linear Modal Identification from Frequency Response Tests", Journal of Sound and Vibration, 497-515, 158(3), 1992
• JIA, W. and FANG, T., "Jump Phenomena in Coupled Duffing Oscillators Under Random Excitation", Journal Acoust. Soc. Am. 81 (4), 961-965, 1987
• IBRAHIM R. A., SOUNDARARAJAN, A., HEO, H., "Stochastic Response of Nonlinear Dynamic Systems Based on a Non-Gaussian Closure", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 965-970, Dec. 1985
• IYENGAR, R. N. and DASH, P. K., "Study of the Random Vibration of Nonlinear Systems by the Gaussian Closure Technique", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 393-398, June 1978

MESIN Vol. XI No. 1