1. PENDAHULUAN

Robot industri umumnya dikendalikan dengan kendali terpisah dimana setiap sambungan dikendalikan oleh servo posisi/kecepatan sederhana dengan penguatan tetap. Kendali-kendali tersebut memadai untuk melakukan tugas-tugas sederhana seperti tugas ambil dan taruh (pick-and-place) yang hanya memerlukan gerak titik-ketitik saja. Untuk tugas-tugas dimana diperlukan tracking cepat yang teliti dengan beban yang berbeda-beda, kendali tersebut di atas tidak akan memadai.

Untuk mengurangi keterbatasan-keterbatasan kendali robot saat ini, banyak penelitian-penelitian yang telah dilakukan untuk mengembangkan sistem kendali lanjut untuk manipulator. Sebagai hasil dari kegiatan penelitian ini banyak metoda kendali untuk manipulator yang telah diusulkan. Beberapa metoda dapat dikelompokkan dalam Metoda Torsi Terhitung (Computed Torque Methods) (Craig et al., 1987; Spong and Ortega, 1990), yang berdasarkan atas perlawanan terhadap komponen tak-linier dalam dinamika robot. Sebagai konsekuensinya, metoda ini memerlukan model sistem yang lengkap dan akurat. Dalam praktik, metoda tersebut sulit untuk diterapkan karena

Staf pengajar Jur. Mesin ITB

^&lt;sup>2</sup> Peneliti Senior dengan dana F.W.O. (Fund for Scientific Research, Flanders, Belgia)

^&lt;sup>3</sup> Professor di KU Leuven, Belgia

model manipulator biasanya tidak diketahui atau sulit didapat. Lebih jauh lagi, metoda tersebut memiliki struktur kendali terpusat yang memerlukan komputasi yang intensif.

Untuk mengurangi kesulitan-kesulitan dalam mendapatkan suatu model robot yang teliti, algoritma kendali adaptif untuk manipulator robot telah dikembangkan. Tetapi, sebagian besar kendali-kendali adaptif tersebut dikembangkan berdasarkan struktur terpusat yang memerlukan komputasi yang intens (Craig et al., 1987; Spong and Ortega, 1990).

Untuk memperbaiki kekurangan-kekurangan kendali adaptif terpusat, banyak peneliti telah memberikan perhatiannya kepada kendali adaptif terdesentralisir. Beberapa keuntungan kendali adaptif tersentralisasi adalah: pertama, pengetahuan tentang dinamika manipulator lengkap tidak diperlukan, serta kendali adaptif terdesentralisir dapat secara umum diterapkan pada berbagai jenis robot tanpa memerlukan perubahan yang berarti. Kedua, karena struktur terdesentralisirnya dan kesederhanaan perhitungannya prosedur kendali ini dapat diterapkan dengan laju cuplik yang tinggi.

Beberapa kendali adaptif terdesentralisir untuk manipulator robot telah diusulkan dalam tulisan berikut (Gavel and Hsia, 1987; Seraji, 1989; Fu, 1992). Prosedur adaptif yang dideskripsikan dalam (Gavel and Hsia, 1987) menjamin kesalahan tracking yang terbatas lokal. Analisis kestabilan prosedur kendali ini berdasarkan penerapan umpan balik penguatan tinggi yang dapat menyebabkan aksi kendali yang berlebihan dan dapat mengeksitasi dinamika yang tak-termodelkan. Dalam tulisan ini (Seraji, 1989), prosedur kendali adaptif terdesentralisir dirancang dengan asumsi bahwa lengan robot bergerak pelan sehingga komponen interkoneksi tak-linier karena gaya Coriolis dan sentrifugal berubah pelan terhadap waktu. Untuk mengikuti lintasan cepat, asumsi tersebut dilanggar dan kemungkinan terjadi ketidakstabilan. Prosedur kendali terdesentralisir yang ditulis dalam (Fu, 1992), tidak secara eksplisit memerlukan asumsi bahwa lengan robot bergerak pelan, walaupun begitu pembuktian kestabilannya tetap berdasarkan penerapan penguatan tinggi.

Tulisan ini menyajikan kendali adaptif terdesentralisir tangguh. Kendali yang diusulkan dikembangkan berdasarkan teknik kendali adaptif referensi model digabung dengan teknik kendali adaptif jenuh. Tulisan ini disusun sebagai berikut. Dalam bagian 2 diuraikan dinamika manipulator robot dan sifat-sifatnya yang digunakan dalam perancangan kendali. Dalam bagian 3, prosedur kendali adaptif dan kestabilan globalnya diinvestigasi. Bagian 4 menyajikan unjuk kerja tracking pengendali yang diusulkan didemonstrasikan dengan hasil percobaan. Akhirnya bagian 5 menyajikan kesimpulan.

2. DINAMIKA MANIPULATOR ROBOT

Dinamika sebuah robot kaku dengan derajat kebebasan n dapat dinyatakan sebagai berikut (Spong and Vidyasagar, 1989):

\[M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q}) + F_v\dot{q} + F_c(\dot{q}) + G(q) = \tau\] (1)

dimana q adalah vektor \(n \times 1\) variabel posisi sambungan, \(\tau\) adalah vektor torsi input \(n \times 1\), M(q) adalah matrix inersia \(n \times n\) yang simetri dan positif terbatas, \(C(q,\dot{q})\) adalah vektor \(n \times 1\) percepatan Coriolis dan centripetal, \(F_v\) adalah matrik diagonal \(n \times n\) koefisien gesek viscous, \(F_c(\dot{q})\) adalah vektor \(n \times 1\) gesekan Coulomb, dan G(q) adalah vektor \(n \times 1\) gaya gravitasi.

Misalkan \(q_d\) adalah lintasan yang diinginkan yangberupa fungsi halus (smooth function) terhadap waktu sehingga \(\dot{q}_d\) dan \(\ddot{q}_d\) ada dan terbatas, dan keduanya kontinyu terhadap waktu. Kendali PD (proportional differential) klasik memiliki bentuk sebagai berikut

\[u = K_v \,\dot{e} + K_p \,e \tag{2}\]

dimana \(K_v = \operatorname{diag}[k_{v_1}, \dots, k_{v_n}], K_p = \operatorname{diag}[k_{p_1}, \dots, k_{p_n}], e = q_d - q\) adalah kesalahan tracking. Dengan mensubsitusikan hukum kendali Pers. 2 ke dinamika robot Pers. 1 menghasilkan sistem kesalahan

\[\dot{\mathbf{e}} = A\mathbf{e} + B\mathbf{u} \tag{3}\]

dimana

\[\begin{split} A &= \begin{bmatrix} 0 & I \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \\ a_{21} &= -M^{-1}(q)(K_p + \alpha C(q, \dot{q})), \\ a_{22} &= -M^{-1}(q)(K_v + C(q, \dot{q}) + \alpha M(q)), \\ e &= \begin{bmatrix} e \\ \dot{e} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ M^{-1}(q) \end{bmatrix}, \quad \alpha = k_p k_v^{-1}, \\ u &= M(q)(\ddot{q}_d + \alpha \dot{e}) + C(q, \dot{q})(\dot{q}_d + \alpha e) + F_v \dot{q} \\ + F_c(\dot{q}) + G(q), \end{split}\] (4)

Bila parameter sistem dinamika dalam Pers. 1 tidak diketahui dengan pasti, maka Pers. 4 mewakili ketidakpastian untuk suatu kendali. Tetapi diasumsikan bahwa terdapat fungsi skalar positif h yang dapat digunakan sebagai batas ketidakpastian

\[h \ge ||u||. \tag{5}\]

Seperti diuraikan dalam (Dawson et~al., 1990), dengan menggunakan sifat-sifat phisik dari manipulator robot dapat ditunjukkan bahwa h dalam Pers. 5 dapat dipilih sebagai berikut

\[h = \beta_1 + \beta_2 ||\mathbf{e}|| + \beta_3 ||\mathbf{e}||^2 \tag{6}\]

dimana \(\beta_1, \beta_2\), dan \(\beta_3\) adalah konstanta positif batas yang harganya diperkirakan berdasarkan kemungkinan massa, koefisien gesek, gangguan terbesar, dan sebagainya. Fungsi skalar h ini, Pers. 6, dapat digeneralisir menjadi

\[h \le \beta^* \sum_{k=0}^2 ||\mathbf{e}||^k\] (7)

dimana \(\beta^* = \max\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}\). Pernyataan dalam Pers. 7 akan digunakan untuk merancang pengendali dalam bagian selanjutnya dari tulisan ini.

3. KENDALI ADAPTIF TANGGUH TERDESENTRALISIR

Bagian ini menguraikan perancangan algoritma kendali adaptif tangguh terdesentralisir dan analisis perilaku loop tertutupnya dengan dinamika robot yang dinyatakan oleh Pers. 1. Dalam pengembangan algoritma kendali terdesentralisir, setiap sambungan manipulator diperlakukan sebagai subsistem. Subsistem-subsitem tersebut tersambungkan oleh "torsi kopling" yang mewakili kopling inersia, Corioli, centrifugal, dan gaya gravitasi. Seperti pada (Seraji, 1989), dinamika manipulator Pers. 1 dapat dinyatakan sebagai suatu kumpulan sebanyak n persamaan diferensial skalar orde dua taklinier

\[m_{ii}(q)\ddot{q}_{i} + \left[\sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n} m_{ij}(q)\ddot{q}_{j}\right] + c_{i}(q,\dot{q}) + f_{v_{i}}\dot{q}_{i} + f_{c_{i}}(\dot{q}_{i}) + g_{i}(q) = \tau_{i}, \quad i = 1, 2, \dots, n\] (8)

dimana subskrip i merujuk pada subsistem ke-i, \(m_{ii}\) adalah inersia yang berubah terhadap waktu dilihat dari sambungan ke-i. Diasumsikan bahwa gesekan Coulomb \(f_{c_i}\) memiliki bentuk

\[f_{c_i}(\dot{q}_i) = k_{c_i} \operatorname{sign}(\dot{q}_i) \tag{9}\]

dimana \(k_{c_i}\) adalah koefisien gesek Coulomb. Dinamika setiap subsistem pada Pers. 8 dapat juga dinyatakan dengan

\[m_{ii}(q)\ddot{q}_i + z_i(q,\dot{q},\ddot{q}) = \tau_i, \quad i = 1, 2, \dots, n\] (10)

dimana \(z_i(q,\dot{q},\ddot{q}) = \left[\sum_{j=1,j\neq i}^n m_{ij}(q)\ddot{q}_j(t)\right] + c_i(q,\dot{q}) + f_{v_i}\dot{q}_i + f_{c_i}(\dot{q}_i) + g_i(q)\). Komponen \(z_i\) dalam Pers. 10 diperlakukan sebagai "torsi gangguan" oleh pengendali sambungan ke-i.

Misalkan suatu sambungan manipulator diperlukan untuk mengikuti lintasan yang diinginkan \(q_{di}\) yang berupa fungsi halus terhadap waktu. Vektor kesalahan tracking sambungan i didefinisikan sebagai

\[\mathbf{e_i} = \begin{bmatrix} q_{d_i} - q_i \ \dot{q}_{d_i} - \dot{q}_i \end{bmatrix}.\]

Kendali adaptif terdesentralisir yang diusulkan untuk dinamika manipulator pada Pers. 8 adalah

\[\tau_i(t) = \hat{\theta}_i^T v_i + f_i \tag{11}\]

dimana \(v_i = [\mathbf{e}_i^T, \ddot{q}_{d_i}]^T\) adalah vektor regresi, \(\hat{\theta}_i = [k_{1_i}, k_{2_i}, k_{0_i}]\) adalah vektor penguatan adaptif, dan \(f_i\) adalah sinyal tambahan untuk memperbaiki respon transient dan menkompensasi sebagian kopling antar sambungan. Gambar 1 menunjukkan prosedur kendali yang diusulkan dalam tulisan ini.

Sinyal tambahan \(f_i\) tersebut terdiri atas tiga komponen

\[f_i = f_{0i} + f_{1i} + f_{2i} \tag{12a}\]

\[f_{0i} = \hat{k}_{ci} \operatorname{sign}(\dot{q}_{di}) \tag{12b}\]

\[f_{1i} = \hat{g}_i \tag{12c}\]

\[f_{2i} = \frac{\hat{h}_i^2 b_{m_i}^T P \mathbf{e}_i}{\hat{h}_i ||b_{m_i}^T P \mathbf{e}_i|| + \epsilon_i}\](12d)

dimana \(\hat{k}_{c_i}\) dan \(\hat{g}_i\) adalah perkiraan koefisien gesek Coulomb dan beban gravitasi. P adalah matriks positif terhingga, \(\epsilon_i > 0\) dan \(b_{m_i}\) adalah matriks input model referensi yang akan ditentukan nanti. \(\hat{h}_i\) adalah fungsi skalar yang didefinisikan sebagai

\[\hat{h}_{i} = \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||\mathbf{e}_{i}||^{k}, \tag{13}\]

dimana \(\hat{\beta}_i\) adalah perkiraan konstanta batas \(\beta^*\) dalam Pers. 7 dilihat dari sambungan i. Parameter-parameter kira tersebut yang ditandai dengan " \(\hat{}\) " dipekirakan secara langsung dengan hukum-hukum adaptasi yang akan diuraikan dibawah ini.

Masing-masing komponen dalam sinyal tambahan tersebut memiliki fungsi sebagai berikut:

• (1) Komponen \(f_0\), adalah kompensasi gaya gesek Coulomb dengan koefisien gesek Coulomb adaptif \(\hat{k}_{C_i}\).
• (2) Komponen \(f_{1i}\) digunakan untuk mengkompensasi gangguan step atau beban gravitasi.
• (3) Komponen f₂, mengkompensasi sebagian kopling antar sambungan. Kompensasi kopling adaptif ini adalah jenis kendali adaptif jenuh (Corless and Leitmann, 1983).

Dengan menggabung Pers. 11 dan Pers. 12a maka akan dihasilkan hukum kendali berikut ini:

\[\tau_i = \hat{\theta}_i^T v_i + \hat{\rho}_i^T w_i + \frac{\hat{h}_i^2 b_{m_i}^T P \mathbf{e}_i}{\hat{h}_i ||b_{m_i}^T P \mathbf{e}_i|| + \epsilon_i}\](14)

dimana \[\hat{\rho}_i^T = \begin{bmatrix} \hat{k}_{C_i} & \hat{g}_i \end{bmatrix}^T, w_i = \begin{bmatrix} \operatorname{sign}(\hat{q}_{d_i}) & 1 \end{bmatrix}^T\].

Catatan 1. : Untuk menghindari ketidakkontinyuan torsi karena fungsi signum dalam kompensasi gaya gesek Coulomb \(f_{0i}\), fungsi signum diganti dengan fungsi jenuh yang memiliki bentuk

Gambar 1. Prosedur kendali adaptif terdesentralisir

\[\operatorname{sat}(\dot{q}_{d_i}) = \begin{cases} \dot{q}_{d_i}/\kappa & |\dot{q}_{d_i}| < \kappa, \\ \operatorname{sign}(\dot{q}_{d_i}) & \text{bila tidak.} \end{cases}\](15)

dimana \(\kappa\) adalah lapisan batas yang harganya ditentukan secara percobaan \(\blacktriangle\)

Dengan memasukkan Pers. 11 dan Pers. 12a ke dalam dinamika robot pada Pers. 8 akan dihasilkan persamaan state space kesalahan tracking

\[\dot{\mathbf{e}}_{i}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{-k_{1i}}{m_{ii}} & \frac{-k_{2i}}{m_{ii}} \end{bmatrix} \mathbf{e}_{i}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m_{ii}} \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} m_{ii} - k_{0i} \end{bmatrix} \ddot{q}_{d_{i}}(t) + [f_{c_{i}} - f_{0i}] + [g_{i} - f_{1i}] + [h_{i} - f_{2i}] \right), \tag{16}\] \[= A_{i} \mathbf{e}_{i}(t) + b_{i} \left[ (m_{ii} - k_{0i}) \ddot{q}_{d_{i}}(t) + (f_{c_{i}} - f_{0i}) + (g_{i} - f_{1i}) + (h_{i} - f_{2i}) \right]\]

dimana \[h_i = \left[\sum_{\substack{j=1\j \neq i}}^n m_{ij}(q)\ddot{q}_j(t)\right] + c_i(q,\dot{q}) + f_{v_i}\dot{q}_i.\]

Unjuk kerja kesalahan tracking yang diinginkan dinyatakan dengan \(e_{m_i}\) dan diberikan oleh model referensi orde dua sebagai berikut:

\[\dot{\mathbf{e}}_{m_i}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\omega_i^2 & -2\xi\omega_i \end{bmatrix} \mathbf{e}_{m_i}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} 0 = A_{m_i} \mathbf{e}_{m_i}(t) + b_{m_i} 0,\] (17)

dimana \(\xi_i\) adalah faktor redaman, \(\omega_i\) adalah frekuensi pribadi, dan \(\mathbf{e}_{m_i}(t) = [e_{m_i}(t), \dot{e}_{m_i}(t)]^T\) adalah vektor \(2 \times 1\) kesalahan posisi dan kesalahan kecepatan yang diinginkan. Model referensi Pers. 17 dipilih berupa sistem yang stabil, sehingga ada matriks \(2 \times 2\) konstan simetrik positif terhingga P dan suatu matriks positif terhingga Q yang memenuhi persamaan Lyapunov sebagai berikut:

\[A_{m_i}^T P + P A_{m_i} = -Q. (18)\]

Dengan mengasumsikan bahwa kondisi awal state referensi untuk setiap subsistem adalah nol

\[\mathbf{e}_{m_i}(0) = [e_{m_i}(0), \dot{e}_{m_i}(0)]^T = 0,\]

maka penyelesaian Pers. 17 akan tetap nol; yakni \(e_{m_i}(t) \equiv 0\) untuk semua waktu t.

MESIN Vol. XIV No. 3

Hukum adaptasi yang diusulkan untuk memperkirakan parameter pengendali dalam Pers. 14 adalah (Indrawanto, 1998):

\[\begin{split} \dot{\hat{\theta}}_{i} &= -\Gamma_{i}[(b_{m_{i}}^{T}PE_{i})v_{i} + \sigma_{i}\hat{\theta}_{i}], \ \hat{\theta}_{i}(0) > 0, \quad (19a) \\ \dot{\hat{\rho}}_{i} &= -\Gamma_{i}[(b_{m_{i}}^{T}PE_{i})w_{i} + \sigma_{i}\hat{\rho}_{i}], \ \hat{\rho}_{i}(0) \geq 0, \quad (19b) \\ \dot{\hat{\beta}}_{i} &= \Gamma_{i}[||b_{m_{i}}^{T}PE_{i}|| \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} - \sigma_{i}\hat{\beta}_{i}], \ \hat{\beta}_{i}(0) > 0, \end{split}\]

dimana

\[E_i(t) = \mathbf{e}_{m_i}(t) - \mathbf{e}_i(t) \tag{20}\] adalah vektor kesalahan adaptasi, \(\Gamma_i > 0\) adalah penguatan adaptasi, \(\sigma_i > 0\) adalah "modifikasi \(\sigma\)" untuk memperbaiki ketangguhan adaptasi karena dinamika yang taktermodelkan (Ioannou and Kokotovic, 1984).

Dengan mengurangkan Pers. 16 dari Pers. 17 maka akan dihasilkan dinamika kesalahan tracking sebagai berikut:

\[\dot{E}_{i} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\omega_{i}^{2} & -2\xi\omega_{i} \end{bmatrix} E_{i} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \frac{k_{1i}}{m_{ii}} - \omega_{i}^{2} & \frac{k_{2i}}{m_{ii}} - 2\xi\omega_{i} \end{bmatrix} e_{i} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m_{ii}} \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} k_{0i} - m_{ii} \end{bmatrix} \ddot{q}_{d_{i}} + \begin{bmatrix} f_{0i} - f_{c_{i}} \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix} f_{1i} - g_{i} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} f_{2i} - h_{i} \end{bmatrix} , = A_{m_{i}} E_{i} + b_{i} (\tilde{\theta}_{i}^{T} v_{i} + \tilde{\rho}_{i}^{T} w_{i} + f_{2i} - h_{i}), \quad (21a)\]

\[\dot{\tilde{\theta}}_i = \Gamma_i [-\sigma_i \tilde{\theta}_i - (b_{m_i}^T P E_i) v_i - \sigma_i \theta_i^*], \tag{21b}\]

\[\dot{\tilde{\rho}_i} = \Gamma_i [-\sigma_i \tilde{\rho}_i - (b_{m_i}^T P E_i) w_i - \sigma_i \rho_i^*], \tag{21c}\]

\[\dot{\tilde{\beta}}_{i} = \Gamma_{i} [-\sigma_{i} \tilde{\beta}_{i} - ||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} + \sigma_{i} \beta_{i}^{*}], \quad (21d)\]

dimana \(\tilde{\theta}_i(t)\), \(\tilde{\rho}_i(t)\), and \(\tilde{\beta}_i(t)\) adalah kesalahan adaptasi parameter subsistem ith yang didefinisikan sebagai

\[\tilde{\theta}_i = \hat{\theta}_i - \theta_i^*, \tag{22a}\]

\[\tilde{\rho}_i = \hat{\rho}_i - \rho_i^*, \tag{22b}\]

\[\tilde{\beta}_i = \beta_i^* - \hat{\beta}_i. \tag{22c}\]

dimana \(\theta_i^* = [k_{1i}^*, k_{2i}^*, k_{0i}^*]\) adalah vektor parameter matching dengan \(k_{1i}^* = \omega_i^2 m_{ii}\), \(k_{2i}^* = 2\xi \omega_i m_{ii}\), dan \(k_{0i}^* = m_{ii}\). Bila \(\hat{\theta}_i\) tepat sama dengan \(\theta_i^*\), maka pasangan \((A_i, b_i)\) dalam Pers. 16 sama dengan pasangan \((A_{m_i}, b_{mi})\) dalam Pers. 17. \(\rho_i^* = [k_{c_i} \ g_i]\) adalah harga sesungguhnya dari koefisien gesek Coulomb dan beban gravitasi atau gangguan pada sambungan i, dan \(\beta_i^*\) adalah kontanta batas \(\beta^*\) Pers. 7 dilihat dari sambungan i.

Dalam menurunkan Pers. 21 diasumsikan bahwa \(m_{i_i}\) dan \(g_i(q)\) adalah "berubah pelan terhadap

waktu" dibandingkan dengan penguatan pengendali \(\{k_{1_i}, k_{2_i}, k_{0_i}, f_{1_i}\}\), sehingga \(\dot{\theta}_i^* \approx 0\) dan \(\dot{\rho}_i^* \approx 0\).

Theorema: Penyelesaian \((E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta})\) \((t; t_0, E_0, \tilde{\theta}_0, \tilde{\rho}_0, \tilde{\beta}_0)\) dinamika kesalahan loop-tertutup Pers. 21 adalah terbatas ultimate global (globally ultimately bounded).

Bukti: Pilih kandidat fungsi Lyapunov (Indrawanto, 1998)

\[V(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) = \sum_{i=1}^{n} \left[ k_{0i}^{\star} E_{i}^{T} P E_{i} + \tilde{\theta}_{i}^{T} \Gamma_{i}^{-1} \tilde{\theta}_{i} + \tilde{\rho}_{i}^{T} \Gamma_{i}^{-1} \tilde{\rho}_{i} + \tilde{\beta}_{i}^{T} \Gamma_{i}^{-1} \tilde{\rho}_{i} \right]\] \[+ \tilde{\beta}_{i}^{T} \Gamma_{i}^{-1} \tilde{\beta}_{i}.\] \[(23)\]

Adalah nyata bahwa \(V(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \geq 0\). Turunan fungsi ini terhadap dinamika kesalahan Pers. 21 adalah

\[\dot{V}(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) = \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\theta}_{i} + \theta_{i}^{*})^{T} \tilde{\theta}_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\rho}_{i} + \rho_{i}^{*})^{T} \tilde{\rho}_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\beta}_{i} - \beta_{i}^{*})^{T} \tilde{\beta}_{i} - 2||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \tilde{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} + 2b_{m_{i}}^{T} P E_{i} (f_{2i} - h_{i}) \right].\] (24)

Mengganti \(h_i\) dalam Pers. 24 dengan \(\beta_i^* \sum_{k=0}^2 ||E_i||^k\) yakni batas ketidakpastian yang didefinisikan dalam Pers. 7, dilihat dari sambungan i menghasilkan

\[\dot{V}(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\theta}_{i} + \theta_{i}^{*})^{T} \tilde{\theta}_{i} \right. \\ \left. - 2\sigma_{i} (\tilde{\rho}_{i} + \rho_{i}^{*})^{T} \tilde{\rho}_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\beta}_{i} - \beta_{i}^{*})^{T} \tilde{\beta}_{i} \right. \\ \left. - 2 \|b_{m_{i}}^{T} P E_{i}\| \tilde{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} \|E_{i}\|^{k} \right. \tag{25}\] \[+ 2 \|b_{m_{i}}^{T} P E_{i}\| \beta_{i}^{*} \sum_{k=0}^{2} \|E_{i}\|^{k} + 2b_{m_{i}}^{T} P E_{i} f_{2i}.\]

Dengan mensubstitusikan Pers. 12d dan Pers. 22c kedalam Pers. 25 dan menggunakan kenyataan bahwa e dalam Pers. 20 adalah sama dengan \(-E_i\), maka didapatkan:

\[\dot{V}(E, \hat{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\theta}_{i} + \theta_{i}^{*})^{T} \tilde{\theta}_{i} \right. \\ \left. - 2\sigma_{i} (\tilde{\rho}_{i} + \rho_{i}^{*})^{T} \tilde{\rho}_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\beta}_{i} - \beta_{i}^{*}) \tilde{\beta}_{i} \right. \\ \left. + 2||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} \right. \\ \left. - 2\frac{(b_{m_{i}}^{T} P E_{i})^{T} (\hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k})^{2} (b_{m_{i}}^{T} P E_{i})}{||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} + \epsilon_{i}} \right].\] (26)

Menyamakan penyebut kedua komponen terakhir Pers. 26 akan menghasilkan

\[\dot{V}(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - 2\sigma_{i} (\tilde{\theta}_{i} + \theta_{i}^{*})^{T} \tilde{\theta}_{i} \right. \\ \left. - 2\sigma_{i} (\tilde{\rho}_{i} + \rho_{i}^{*})^{T} \tilde{\rho}_{i} - \sigma_{i} (\tilde{\beta}_{i} - \beta_{i}^{*}) \tilde{\beta}_{i} \right. \\ \left. + \frac{\epsilon_{i} ||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k}}{||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} + \epsilon_{i}} \right].\] (27)

Dengan menggunakan hubungan \(2\theta_i^* \tilde{\theta}_i \leq ||\theta_i^*||^2 + ||\tilde{\theta}_i||^2\) dalam Pers. 27 maka akan dihasilkan:

\[\dot{V}(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - \sigma_{i} ||\tilde{\theta}_{i}||^{2} + \sigma_{i} ||\theta_{i}^{*}||^{2} \right. \\ \left. - \sigma_{i} ||\tilde{\rho}_{i}||^{2} + \sigma_{i} ||\rho_{i}^{*}||^{2} - \sigma_{i} ||\tilde{\beta}_{i}||^{2} + \sigma_{i} ||\beta_{i}^{*}||^{2} \right. \\ \left. + \frac{\epsilon_{i} ||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k}}{||b_{m_{i}}^{T} P E_{i}|| \hat{\beta}_{i} \sum_{k=0}^{2} ||E_{i}||^{k} + \epsilon_{i}} \right], \tag{28}\] \[\leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -k_{0i}^{*} E_{i}^{T} Q E_{i} - \sigma_{i} ||\tilde{\theta}_{i}||^{2} + \sigma_{i} ||\theta_{i}^{*}||^{2} - \sigma_{i} ||\tilde{\rho}_{i}||^{2} \right. \\ \left. + \sigma_{i} ||\rho_{i}^{*}||^{2} - \sigma_{i} ||\tilde{\beta}_{i}||^{2} + \sigma_{i} ||\beta_{i}^{*}||^{2} + \epsilon_{i} \right], \tag{29}\]

\[\leq \sum_{i=1}^{n} \left[ -\mu_{i} V_{i}(E_{i}, \tilde{\theta}_{i}, \tilde{\rho}_{i}, \tilde{\beta}_{i}) + \eta_{i} \right], \tag{30}\]

\[< -\mu V(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) + \eta,\] (31)

dimana \(\mu_i = \min\{\lambda_{\max}^{-1}(P)\lambda_{\min}(Q), \lambda_{\min}(\Gamma_i)\sigma_i\}, \mu = \min_{i \in n}\{\mu_i\}, \eta_i = \sigma_i\{||\theta_i^*||^2 + ||\rho_i^*||^2 + ||\beta_i^*||^2\} + \epsilon_i, \eta = \sum_{i=1}^n \eta_i, \lambda_{\max}(\cdot) \text{ dan } \lambda_{\min}(\cdot) \text{ menunjukkan harga maksimum dan minimum matriks yang bersangkutan.}\)

Dari Pers. 31, adalah nyata bahwa \(V(E, \bar{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta})\) mengecil secara monoton sepanjang solusi dinamika kesalahan Pers. 21 sampai solusi tersebut mencapai set yang kompak

\[\Omega_f = \left\{ (E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) : V(E, \tilde{\theta}, \tilde{\rho}, \tilde{\beta}) \le V_f \right\}\] (32)

dimana

\[V_f = \mu^{-1} \eta. \tag{33}\]

Maka dapat disimpulkan bahwa solusi \((E, \bar{\theta}, \bar{\rho}, \bar{\beta})\) \((t; t_0, E_0, \bar{\theta}_0, \bar{\rho}_0, \bar{\rho}_0, \bar{\theta}_0)\) dinamika kesalahan tracking Pers. 21 adalah terbatas secara ultimate global (globally ultimately bounded) dengan batas \(V_f\).

Catatan 2. : Dari Pers. 33, set residu \(\Omega_f\) dapat diperkecil sekecil mungkin dengan mengecilkan \(\sigma_i\), \(\epsilon_i\) dan membesarkan \(\Gamma_i\). Tetapi dalam praktik, penguatan adaptasi yang besar \(\Gamma_i\) dapat menimbulkan osilasi yang pada perkiraan parameter dan mengecilkan \(\epsilon_i \to 0\) akan menyebabkan komponen terakhir dari Pers. 14 menjadi fungsi signum yang dapat mengakibatkan perilaku chatter. Jadi, perancang dapat menentukan perimbangan antara ukuran set residu, penguatan adaptasi dan kemungkinan perilaku chatter \(\blacktriangle\)

Catatan 3. Dalam penurunan hukum adaptasi pengendali Pers. 21, diasumsikan bahwa \(m_{i_i}(q)\) dan \(g_i(q)\) bervariasi terhadap waktu secara pelan \(\dot{\theta}_i^* \approx 0\) dan \(\dot{\rho}_i^* \approx 0\). Asumsi ini tidak selalu membatasi bahwa lengan robot bergerak pelan, karena dalam penerapannya lengan robot dapat bergerak dengan cepat tetapi perubahan \(m_{ii}(q)\) dan \(g_i(q)\) adalah pelan. Suatu perubahan beban mendadak nyata-nyata melanggar asumsi tersebut. Tetapi, walaupun asumsi tersebut dilanggar, ada sinyal tambahan \(f_{2i} = \frac{h_i^2 b_{m_i}^T Pe_i}{h_i \|b_{m_i}^T Pe_i\| + \epsilon_i}\) dalam

Gambar 2. Set-up percobaan dengan KUKA IR-361 hukum kendali Pers. 14 yang akan mempertahankan kestabilan sistem terhadap gangguan yang terbatas (Corless and Leitmann, 1983) ▲

4. HASIL PERCOBAAN

Dalam bagian ini, hasil-hasil teoritis yang dikembangkan dalam bagian tiga diterapkan pada tiga sambungan pertama robot industri KUKA-361 untuk uji dan evaluasi. Prosedur kendali diterapkan pada platform piranti lunak COMRADE ⁴ (Witvrouw, 1996) dengan frekuensi cuplik 120 Hz.

Gambar 2 menunjukkan set-up percobaan. Dalam penerapannya, umpan maju percepatan tidak digunakan untuk menurunkan waktu perhitungan langsung, sehingga hukum kendali adaptif menjadi:

\[\tau_i = k_{1i}[q_{d_i} - q_i] + k_{2i}[\dot{q}_{d_i}(t) - \dot{q}_i(t)] + f_i.\] (34)

Lintasan sambungan yang diinginkan untuk setiap sambungan, seperti ditunjukkan Gambar 3, dibangkitkan berdasarkan spline orde 9 yang memiliki jerk \(\ddot{q}_{d_i}\) halus. Posisi sambungan robot KUKA-361 awalnya berada pada \(q(0) = [-40^0, 0^0, 0^0, 0^0, 0^0, 0^0]^T\), dan diperintahkan untuk bergerak ke \(q_d = [0^0, 40^0, 40^0, 0^0, 0^0, 0^0]^T\) dan kemudian diperintahkan bergerak kembali ke posisi awal.

Model referensi dalam Pers. 17 untuk setiap sambungan diberikan oleh

\[A_{m_i} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, b_{m_i} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, i = 1, 2, 3.\] (35)

Dengan \(Q=2I_2\), dimana \(I_2\) adalah matriks identitas \(2\times 2\), dan solusi persamaan Lyapunov Pers. 18 adalah

\[P = \begin{bmatrix} 3'1\\1&1 \end{bmatrix}, \quad b_{m_i}^T P = \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}^T, i = 1, 2.\]

Gambar 4 menunjukkan hasil tracking menggunakan pengendali yang diusulkan setelah adaptasi

Gambar 3. Lintasan yang diinginkan: garis penuh - posisi dalam derajat, garis putus - kecepatan deg/s, dan garis putus titik - percepatan dalam deg/s².

selama 20 detik. Dari Gambar 4, dapat ditunjukkan bahwa pengendali yang diusulkan berperilaku lebih baik (kesalahan tracking lebih kecil) dibandingkan dengan pengendali PD yang ada pada robot. Patut diperhatikan bahwa unjuk kerja tracking dari pengendali yang diusulkan masih dapat diperbaiki dengan menaikkan laju cuplik dan menambahkan umpan maju percepatan

5. KESIMPULAN

Suatu pengendali adaptif tangguh terdesentralisir untuk manipulator robot telah diuraikan. Pengembangan pendali tersebut berdasarkan kendali adaptif referensi model yang dikombinasikan dengan teknik kendali adaptif jenuh.

Pengendali yang diusulkan tidak memerlukan pengetahuan tentang model dinamika dari robot dan hanya menggunakan informasi lokal. Kestabilan global kesalahan tracking terjamin. Struktur kendali terdesentralisir yang diusulkan memiliki perhitungan sederhana sehingga prosedur tersebut dapat diterapkan pada mikroprosesor paralel dengan laju cuplik yang tinggi yang akan meningkatkan unjuk kerja sistem. Keandalan pengendali yang diusulkan telah ditunjukkan pada percobaan dengan robot industri KUKA 361.

6. PENGHARGAAN

Terima kasih kepada Prof. H. Van Brussel dan Prof. J. Swevers, dari Afdeling PMA, Werktuigkunde, KU-Leuven Belgie, atas saran dan bantuan kepada penulis selama melakukan penelitian ini. Tulisan ini merupakan hasil penelitian pada program Interuniversity Poles of attraction (IUAP) pemerintah Belgia. Tanggungjawab scientific ada pada penulis.

7. PUSTAKA

Corless, M J and G Leitmann (1983). Adaptive control for systems containing uncertain functions and unknown functions with uncertain bounds. Journal of optimization theory applications 41(1), 155-168.

^&lt;sup>4</sup> COMRADE (Compliant Motion Research And Development, piranti lunak yang dikembangkan di Mech. Eng. Dept., PMA Div., KU-Leuven, Belgium, untuk mengembangkan dan tuning tugas gerak tertahan pada robot)

4.1: Sambungan ke-satu J1

4.2: Sambungan ke-dua J2

4.3: Sambungan ke-tiga J3

• Gambar 4. Kesalahan absolut tracking posisi, garis penuh kedali yang diusulkan, garis putus-putus kendali PD eksisting
• Craig, John J, Ping Hsu and S Shankar Sastry (1987). Adaptive control of mechanical manipulator. The International Journal of Robotics Research 6(2), 16-28.
• Dawson, D M, Z Qu, F L Lewis and J F Dorsey (1990). Robust control for the tracking of robot motion. International Journal of Control 52, 581-595.
• Fu, Li-Chen (1992). Robust adaptive decentralized control of robot manipulator. IEEE Transactions on Automatic Control 37(1), 106-110.
• Gavel, Donald T and T C Hsia (1987). Decentralized adaptive control of robot manipulators. In: Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. pp. 1230-1235.
• Indrawanto (1998). Decentralized Adaptive Control for Robot Manipulators. PhD thesis. Me-

• chanical Engineering Department, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium.
• Ioannou, Petros A and Petar V Kokotovic (1984). Robust redesign of adaptive control. IEEE Transactions on Automatic Control AC-29, 202-211.
• Seraji, Homayoun (1989). Decentralized adaptive control of manipulators: Theory, simulation, and experimentation. IEEE Transactions on Robotics and Automation 5(2), 183–201.
• Spong, Mark W and M Vidyasagar (1989). Robot Dynamics and Control. John Wiley & Sons. New York.
• Spong, Mark W and R Ortega (1990). On adaptive inverse dynamics control of rigid robots. IEEE Transactions on Automatic Control 35(1), 92-95.
• Witvrouw, Wim (1996). Development of Experiments and Environment for Sensor Controlled Robot Tasks. PhD thesis. Mech.Eng.Dept., Katholieke Universiteit Leuven Belgium.