1. PENDAHULUAN

Konveksi alami dalam annulus memegang peranan penting dalam aplikasi rekayasa, sehingga menarik banyak peneliti untuk melakukan penelitian secara eksperimen maupun secata teoritis/numeris. Holland dan Raithby [1] melakukan eksperimen dan memperoleh rumus korelasi untuk menghitung koefisien perpindahan panas. Dengan berkembangnya komputer digital berkecepatan tinggi, penelitian numerik semakin intensif dilakukan. Penelitian numerik bertujuan untuk mengembangkan suatu metode numerik yang dapat memprediksikan fenomena konveksi alami dengan akurat dan hemat biaya. Hasil eksperimen digunakan sebagai validasi metode numerik.

Kebanyakan penelitian numerik konveksi alami dilakukan dengan menggunakan variabel : vorticity, stream function dan temperatur. Dengan menggunakan variabel tersebut, suku tekanan dapat dihilangkan, sehingga perhitungan dapat dilakukan dengan mudah, Lee [2] menggunakan diskritisasi Beda Hingga dan meyelesaikannya dengan metode Alternating Direct Implicit (ADI). Shu dan Chew [3] menggunakan diskritisasi Fourier Differential Quadrature (FDQ), sedangkan Yau dkk [4] menggunakan Generailized Differential Ouadrature (GDO). Akurasi dari metode FDQ dan GDQ sangat baik, meskipun jumlah grid yang dipakai relatif sedikit. Tetapi kelemahan dari diskritisasi Beda hingga, FDQ dan GDQ seperti di atas adalah persamaan atur harus ditransformasi dulu ke dalam koordinat polar, Napolitano dan Quartapelie [5]

mentransformasikan persamaan atur ke dalam body fitted coordinates. Diskritisasi yang dipakai adalah Beda Hingga, dan sistem persamaan aljabar yang terbentuk kemudian diselesaikan secara simultan dengan Block ADI. Dengan Block ADI, perhitungan dapat dengan cepat mencapai konvergen. Penggunaan body fitted coordinates lebih fleksibel, karena dapat digunakan untuk domain yang relatif lebih kompleks.

Kelemahan pemakaian variabel vorticity dan stream function adalah: penentuan syarat batas tidak mudah dan pengembangan ke permasalahan 3 dimensi sangat sulit dilakukan. Untuk itu pemakaian variabel primitif (kecepatan, tekanan dan temperatur) terus dikembangkan. Kesulitan utama pemakaian variabel primitif adalah : variabel tekanan tidak terhubung langsung dengan variabel lainnya. Sehingga medan tekanan sulit untuk dihitung. Gartling dan Nickell [6] menggunakan diskritisasi Elemen Hingga. Sistem persamaan aliabar yang terbentuk, diselesaikan secara simultan menggunakan iterasi Newton-Raphson. Matriks yang digunakan Gartling berukuran relatif besar, sehingga memboroskan memori komputer. Gartling & Nickell menggunakan fungsi interpolasi kuadratik untuk kecepatan dan linear untuk tekanan. Penggunaan fungsi interpolasi yang berbeda ini bertujuan untuk menghilangkan Spurious Pressure Mode. Reddy [7] menggunakan Penalty Function dengan diskritisai Elemen Hingga. Metode yang dipakai Reddy lebih sederhana dibanding dengan metodenya Gartling, tetapi penentuan nilai dari Penalty Function tidak mudah dilakukan.

Pulicani dan Ouzzanni [8] menggunakan metode pseudo spectral untuk menganalisis konveksi alami dalam silinder 3 dimensi . Persamaan atur ditransformasi ke dalam koordinat silinder. Dan untuk mengatasi kesulitan yang berhubungan dengan tekanan, Pulicani menggunakan metode artificial compressibility. Dengan metode ini, turunan tekanan terhadap waktu dihubungkan langsung dengan kecepatan (kekekalan massa). Metode ini akan memberikan jawaban yang benar jika, perhitungan sudah mencapai konvergen. Sebelum mencapai konvergen, hasil perhitungan tidak mempunyai arti fisis. Dengan demikian metode ini, hanya sesuai untuk permasalahan yang tidak tergantung waktu (steady).

Mengacu pada Pulicani dan Ouzzanni, metode artificial compressibility dikembangkan untuk menyelesaikan konveksi alami dalam annulus konsentrik 2 dimensi dengan diskritisasi volume hingga. Volume hingga dapat digunakan untuk domain yang berbentuk kompleks. Sistem grid yang dipakai volume hingga dapat berupa grid berstruktur (structured grid) maupun grid tidak berstruktur (unstructured grid) [9]. berstruktur pada umumnya dipakai oleh metode beda hingga, dengan grid ini penyimpanan matriks dapat efisien sehingga hemat memory., selain itu penyusunan kode juga lebih mudah dilakukan. Sedangkan grid tidak berstruktur dipakai pada metode elemen hingga. Dengan grid ini, matriks yang ada berupa matriks jarang (sparse matrix). sehingga boros pemakaian memory. Keunggulan grid tidak berstruktur ini adalah mampu dipakai untuk domain yang sangat kompleks. Pada paper ini , grid yang dipakai adalah grid berstruktur karena keterbatasan memory PC yang digunakan dan bentuk domain tidak terlalu kompleks . Sel yang digunakan berbentuk segi empat sembarang. Untuk mengurangi efek spurious pressure mode, variabel tekanan diletakkan pada pusat sel (cell center) dan variabel kecepatan diletakkan pada pojok sel (cell vertex). Pemakaian staggered grid seperti ini juga dipakai oleh Benson dan Kim [10], untuk menganalisis aliran hidrodinamik unsteady melewati silinder.

2. PERSAMAAN ATUR DAN SYARAT BATAS

2.1. Persamaan Atur

Jika perbedaan temperatur yang terjadi kecil, maka pendekatan Boussisnesq berlaku dengan demikian persamaan Navier Stokes dua dimensi dapat ditulis seperti berikut [11]:

\[\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{y}} = \mathbf{0} \tag{1}\]

\[\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{Pr}{Ra^{0.5}} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)\](2)

\[\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{Pr}{Ra^{0.5}} \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right) + Pr\theta\] (3)

\[\frac{\partial \theta}{\partial t} + u \frac{\partial \theta}{\partial x} + v \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{Ra^{0.5}} \left( \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} \right)\](4)

Persamaan di atas diperoleh dengan membagi variabel berdimensi dengan variabel referensi. Variabel referensi untuk panjang adalah \(L_r = L\), untuk kecepatan \(V_r = (\alpha/L) \ Ra^{0.5}\), untuk variabel waktu \(t_r = (L^2/\alpha) \ Ra^{-0.5}\) dan untuk temperatur (\(\theta\)) didefinisikan seperti berikut : (T-\(T_r\))/(\(T_h\)-\(T_c\)) dan \(T_r = (T_h + T_c)/2\)

Dengan metode Artificial Compressibility persamaan (1) diubah menjadi :

\[\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} + \beta \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{y}} + \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{z}} \right) = 0 \tag{5}\]

Variabel waktu pada tekanan di atas merupakan variabel tiruan, karena persamaan di atas sebenarnya hanya berlaku untuk compressible flow, sedangkan β merupakan faktor kompresibilitas tiruan dan nilainya konstan. Dengan demikian penyelesaian transien sistem persamaan tidak mempunyai arti fisis, hanya kondisi steady yang mempunyai arti fisis.

Dengan Volume Hingga persamaan Navier Stokes ditulis dalam bentuk integral menggunakan teorema Gauss:

\[\Omega \frac{\partial p}{\partial t} + \beta \int (u dy - v dx) = 0\] (6)

\[\Omega \frac{\partial u}{\partial t} + \oint (uudy - uvdx) = -\oint pdy + \frac{1}{Ra^{0.5}} \left( \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint udx \right) dx + \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint udy \right) dy \right)^{(7)}\]

\[\Omega \frac{\partial v}{\partial t} + \oint (uvdy - vvdx) = \oint pdx + \Omega Pr \theta + \frac{Pr}{Ra^{0.5}} \left( \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint vdx \right) dx + \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint vdy \right) dy \right)\](8)

\[\Omega \frac{\partial \theta}{\partial t} + \oint (u\theta dy - v\theta dx) = \frac{1}{Ra^{0.5}} \left( \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint \theta dx \right) dx + \oint \left( \frac{1}{\Omega} \oint \theta dy \right) dy \right)^{(9)}\]

dalam bentuk diskrit menjadi [12]:

\[\Omega_{pm} \frac{\partial p}{\partial t} + \beta \sum_{m=1}^{4} \left( u_m \Delta y_m - v_m \Delta x_m \right) = 0\] (10)

\[\Omega_{pm} \frac{\partial u_{i,j}}{\partial t} + \sum_{k=1}^{4} ((uu)_k \Delta y_k - (uv)_k \Delta x_k) =\] \[- \sum_{k=1}^{4} p_k \Delta y_k + \frac{Pr}{Ra^{0.5}} \left( \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{i=1}^{4} u_i \Delta y_i \right) \Delta y_k \right) + \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{i=1}^{4} u_i \Delta x_i \right) \Delta x_k \right)\] (11)

\[\Omega_{pm} \frac{\partial v_{i,j}}{\partial t} + \sum_{k=1}^{4} ((uy)_k \Delta y_k - (vv)_k \Delta x_k) = \sum_{k=1}^{4} p_k \Delta x_k + \frac{Pr}{Ra^{0.5}} \left( \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{l=1}^{4} v_l \Delta y_l \right) \Delta y_k \right) + \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{l=1}^{4} v_l \Delta x_l \right) \Delta x_k + \Omega_p Pr\theta\] (12)

\[\Omega_{pm} \frac{\partial \theta_{i,j}}{\partial t} + \sum_{k=1}^{4} ((u\theta)_k \Delta y_k - (v\theta)_k \Delta x_k) = \frac{1}{Ra^{0.5}} \left( \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{l=1}^{4} \theta_l \Delta y_l \right) \Delta y_k + \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{\Omega_{sm}} \left( \sum_{l=1}^{4} \theta_l \Delta x_l \right) \Delta x_k \right) \tag{13}\]

2.1. Syarat Batas

Grid yang digunakan berbentuk lingkaran konsentrik dengan jari-jari dalam = 0,625 dan jari-jari luar = 1,625. Grid dirapatkan pada permukaan dinding untuk menangkap fenomena lapisan batas.

Syarat batas yang digunakan adalah seperti berikut:

• a. Permukaan dinding dalam (inner cylinder). Kecepatan (u,v) bernilai nol (no slip condition), θ=0,5
• b. Permukaan dinding luar (outer cylinder). Kecepatan (u,v) bernilai nol, θ=-0,5

Karena tekanan diletakkan pada tengah sel, maka syarat batas untuk tekanan tidak ada.

Sebagai syarat awal, u,v,p dan \(\theta\) bernilai nol.

3. ALGORITMA PENYELESAIAN

Algoritma Penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah sebagai berikut :

• Tentukan batas toleransi kesalahan atau jumlah iterasi (langkah waktu semu) untuk perhitungan ,
• tentukan pula kondisi awal (t=0) untuk semua variabel (u,v, \(\theta\),p).
• Selesaikan persamaan (11) untuk mendapatkan u dengan Metode Alternating Direct Implicit (ADI).
• Selesaikan persamaan (12) untuk mendapatkan v dengan Metode ADI.

• 4. Hitung tekanan menggunakan persamaan (10).
• Selesaikan persamaan (13) untuk mendapatkan θ dengan Metode ADI.
• Periksa apakah sudah mencapai batas konvergensi /melebihi batas jumlah iterasi atau belum, jika belum kembali ke langkah 2. Jika sudah ke langkah 7.
• 7. Tulis data.
• 8. Selesai.

4. HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN.

Perhitungan dilakukan pada komputer AMD K6-2 dengan Lahey Fortran 77. Untuk mempelajari pengaruh nilai faktor kompresibilitas tiruan (\(\beta\)), perhitungan dilakukan dengan nilai \(\beta\) yang cukup bervariasi ,yaitu : 1,5,10 dan 20. Pulicani & Ouzzanni menggunakan nilai \(\beta\) = 25 & 30 dengan \(\Delta t\)=0,002. Sedangkan Kwak dkk [13] merekomendasikan nilai \(\beta\) berkisar 0,75 < \(\beta\) < 10, tetapi Kwak dkk memakai metode Artificial Compressibility untuk menganalisis aliran hidrodinamis 3 dimensi, bukan konveksi alami. Pengaruh nilai \(\beta\) terhadap konvergensi dapat dilihat pada gambar 4a dan 4b. Perhitungan dilakukan dengan grid berukuran 101 x 31. Untuk \(\beta\)=1,5, dan 10 lebar langkah waktu semu (\(\Delta t\)) = 0,02, sedangkan untuk \(\beta\)=20, nilai \(\Delta t\)=0,005.

Residu dihitung dengan rumus:

\[\frac{\sum \left| \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right|}{\sum n} , n = nodal\]

Dari gambar 4a dan 4b, terlihat bahwa: konvergensi yang paling baik adalah untuk nilai \(\beta\)=5. Untuk \(\beta\)=1, konvergensi cukup baik, tetapi lebih lambat dibanding \(\beta\)=5. Konvergensi untuk \(\beta\)=10 cenderung lambat, dan jika beta \(\beta\) dinaikkan, konvergensi terganggu sehingga dapat divergen. Hal ini dapat dilihat pada perhitungan dengan \(\beta\)=20, konvergensinya sangat lambat. Untuk kondisi ini, supaya dapat konvergen, nilai \(\Delta t\) diperkecil,yaitu: 0,005. Untuk nilai \(\beta\) yang lebih besar dari 20, konvergen sangat sulit untuk dicapai

Untuk mengetahui akurasi perhitungan pada paper ini, hasil perhitungan untuk berbagai nilai Bilangan Rayleigh dibandingkan dengan hasil peneliti lainnya, yaitu : hasil eksperimen oleh Raithby & Holland dan perhitungan numerik oleh Napolitano & Quartapelle. Grid yang dipakai pada perbandingan ini berukuran : 101 x 31, \(\beta\)=5, \(\Delta t\)=0,02 dan RR=2,6. Gambar 5 menunjukkan perbandingan nilai \(\overline{K}_{eq}\) perhitungan sekarang dengan perhitungan dari korelasi Raithby & Holland. \(\overline{K}_{eq}\) dihitung dengan rumus :

\[\begin{split} \overline{K_{\text{eq}}} &= \frac{\left(\left(\overline{K_{\text{eq}}}\right)_{\text{inner}} + \left(\overline{K_{\text{eq}}}\right)_{\text{outer}}\right)}{2} \\ \left(\overline{K_{\text{eq}}}\right)_{\text{inner}} &= -\frac{1}{2\pi} \int \left(\frac{\partial \theta}{\partial r}\right)_{\text{inner}} \ln \left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right) r_{i} d\phi \\ \left(\overline{K_{\text{eq}}}\right)_{\text{outer}} &= -\frac{1}{2\pi} \int \left(\frac{\partial \theta}{\partial r}\right)_{\text{outer}} \ln \left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right) r_{o} d\phi \end{split}\]

Korelasi dari Raithby & Holland adalah sebagai berikut [1]:

\[\overline{K}_{eq} = 0.386 \left( \frac{Pr}{0.861 + Pr} \right)^{\frac{1}{4}} Ra_{eyl}^{\frac{1}{4}}\] \[Ra_{eyl}^{\frac{1}{4}} = \frac{ln \left( \frac{r_o}{r_i} \right)}{\left( r_o L - r_i L \right)^{\frac{3}{4}} \left( \left( D_i L \right)^{-\frac{3}{5}} + \left( D_o L \right)^{-\frac{3}{5}} \right)^{\frac{5}{4}}} Ra^{\frac{1}{4}}\]

Konduktivitas ekivalen rata-rata tanpa dimensi diperoleh dengan membagi konduktivitas ekivalen rata-rata berdimensi dengan konduktivitas berdimensi (k).

Dari gambar 5 terlihat bahwa: Konduktivitas ekivalen rata-rata pada perhitungan sekarang mempunyai kesesuaian yang sangat baik dengan korelasi dari Raithby dan Holland. Perbandingan dengan hasil perhitungan numeris lainnya disajikan pada tabel 1. Tabel 1 menunjukkan bahwa hasil perhitungan sekarang sangat dekat dengan perhitungan Napolitano & Quartapelle dan Goldstein & Kuehn [1].

Untuk memeriksa hasil perhitungan tidak tergantung pada ukuran grid (grid independence), perhitungan dilakukan pada berbagai ukuran grid, yaitu : 61 x 15, 81 x 21 dan 101 x 31dengan \(\beta\)=5 dan \(\Delta t\)=0,02. Dari tabel 1 terlihat bahwa meskipun ukuran grid bervariasi, jawaban tetap tunggal (trivial). Ukuran grid hanya berpengaruh pada akurasi. Semakin besar ukuran grid, hasil berhitungan semakin akurat. Dengan demikian, pada perhitungan ini bebas dari ukuran grid.

Tinjauan secara fisis akan diberikan pada bagian di bawah ini. Dari gambar 6a,7a dan 8a terlihat bahwa: aliran di bagian atas dan samping silinder dalam (inner cylinder) mengalir dengan cepat menuju ke atas. Hal ini karena densitas mengalami penyusutan karena efek pemanasan dari silinder dalam, sehingga lebih ringan dan mengapung ke atas. Setelah mencapai dinding silinder luar (outer cylinder), aliran bercabang, sehingga bagian percabangan ini tekanan naik, karena merupakan titik stagnasi. Fluida mengalir menyusuri dinding

silinder luar bagian atas sambil mengalami pendinginan. Densitas bertambah, sehingga lebih berat dan mengalir turun Pada daerah yang ditinggalkan oleh fluida panas, akan disi oleh fluida yang relatif dingin. Fluida dari bagian bawah silinder dalam akan mengalir ke atas. Dengan demikian akan terjadi sirkulasi aliran fluida. Dengan semakin meningkatnya Bilangan Rayleigh, tebal lapisan batas pada dinding silinder semakin tipis. Hal ini sangat jelas terlihat pada gambar 6a,7a dan 8a. Fluida mengalir juga membawa panas, hal ini terlihat pada gambar 6 b, 7b dan 8b. Pada Ra=103, isotherm berbentuk mirip cincin konsentrik. Pada Ra rendah, kecepatan aliran yang terjadi juga relatif rendah, selain itu diffusivitas mendominasi aliran. Pada Ra=10⁴ dan 5x10⁴, isotherm pada bagian atas silinder dalam mengalami penyebaran, sesuai dengan arus aliran fluida. Pada Ra=10⁴ dan 5x10⁴, arus konveksi lebih dominan dibanding dengan diffusivitas. Pada perhitungan ini, pemakaian staggered grid dapat menghilangkan spurious pressure mode, hal ini dapat dilihat pada isobar gambar 6c,7c dan 8b. Pada gambar tersebut, isobar berupa garis mulus, tidak ada gangguan riak (wiggle).

Dari perhitungan yang telah dilakukan, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

• 1. Penempatan variabel kecepatan dan temperatur pada pojok sel dan variabel tekanan pada pusat sel dapat menghilangkan spurious pressure mode.
• 2. Konvergensi metode artificial compressibility sangat dipengaruhi oleh nilai faktor kompresibilitas tiruan, nilai yang direkomendasikan : \(1 \le \beta \le 10\).
• 3. Perbandingan dengan hasil peneliti lain menunjukkan bahwa penyelesian numerik dengan metode artificial compressibility dan diskritisasi volume hingga mempunyai akurasi yang baik.

5. DAFTAR PUSTAKA

• Sadik Kakac dan Yaman Yener, Convective Heat Transfer, CRC Press, Boca Raton, 1995.
• 2. T.S. Lee, Numerical Computation with Air Enclosed Between The Annuli Of Eccentric Heated Horizontal Rotating Cylinder, Journal of Computers & Fluids, Vol. 21, No. 3, 1992.
• 3. C. Shu dan Y.T. Chew, Fourier Differential Quadrature and Its Application to Simulate Natural Convection in a Concentric Annuli, International Symposium on Transport Phenomenona in Thermal-Fluids Engineering, Singapore, 1996.
• 4. Q. Yau, C. Shu dan S. Yeo, GDQ Simulation of Natural Convection in a Concentric Annuli by Iterative Method, International Symposium on Transport Phenomenona in Thermal-Fluids Engineering, Singapore, 1996.
• M. Napolitano dan L. Quartapelle, Block ADI for Steady Natural Convection in Two Dimensions, Numerical Methods in Heat Transfer Vol. 2 (Edited by: R.W.Lewis, K. and Morgan), John Wiley & Sons, Bristol, 1985.
• D.K. Gartling dan R.E. Nickell, Finite Element Analysis of Free and Forced Convection, Finite Elements in Fluids Vol. 3 (Edited by : R.H. Gallagher, O.C. Zienkiewicz, J.T. Oden, M. Morandi Cecchi and C. Taylor), John Wiley & Sons, Bristol, 1985.

• J. N. Reddy, 1983, Penalty-finite Elemen Methods in Conduction and Convection Heat Transfer, Numerical Methods in Heat Transfer Vol. 2 (Edited by: R.W.Lewis, K. Morgan and B.A. Schrefler), John Wiley & Sons, Bristol, 1983.
• 8. J.P Pulicani and Ouazzani, A Fourier-Chebyshev Pseudospectral Method for Solving Steady 3-D Navier Stokes and Heat Equations in Cylindrical Cavities, International Journal of Computers & Fluids, Vol. 20, No. 2, 1991.
• Charles Hirsch, (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 1, John Wiley & Sons, Chichester, 1988..
• 10. S.W. Kim dan T.J. Benson, Comparison of SMAC, PISO and Iterative Advancing Scheme for Unsteady Flow, Journal of Computers & Fluids, Vol. 21, No. 3, 1992.
• 11. P.Le Quere, 1990, Accurate Solutions to The Square Thermally Driven Cavity at High Rayleigh Number, International Journal of Computers & Fluids, Vol. 20, No. 1, 1990.
• 12. Kardana Natakusumah, Finite Volume Solution of Two Dimensional Compressible Euler and Navier Stokes Equations on Structured Grids, Journal SITRA 93-01-06,1993.
• 13. Dochan Kwak et al, A Three-Dimensional Incompressible Navier-Stokes Flow Solver Using Primitive Variables, AIAA Journal, Vol. 24, 1986.
• 14. D. W. Pepper, dan R.E Cooper, 1983, Numerical Solution of Natural Convection in Eccentric Annuli, AIAA Journal, Vol. 21, No. 9, 1983.

6. NOTASI

p : Tekanan

x : Sumbu horizontal y : Sumbu vertikal

t : Waktu semu Ra : Bilangan Rayleigh

\(: \frac{g\beta(T_{h-}T_c)L^3}{v\alpha}\)

Pr : Bilangan Prandtl Nu : Bilangan Nusselt

T : Temperatur berdimensi

K_eq: Konduktivitas ekivalen tanpa dimensi

L : Jarak antara silinder berdimensi

r_i : Jari-jari dalam tanpa dimensi r_o : Jari-jari luar tanpa dimensi

D_i : Diameter dalam tanpa dimensi D_o : Diameter dalam tanpa dimensi

RR : Perbandingan jari-jari luar dan dalam

α : Diffusivitas thermal

β : Faktor kompresibilitas tiruan : Koefisien ekspansi thermal

ф : Sudut

θ : Temperatur tanpa dimensi

\(\Omega\) : Area sel

Subskrip

r : Variabel referensi

c : Properti pada dinding dingin h : Properti pada dinding panas pp : sel primer untuk tekanan pm : sel primer untuk kecepatan sm : sel sekunder untuk kecepatan

Tabel 1. Perbandingan Konduktivitas eqivalen lokal.

Nap. = Napolitano & Quartapelle

Gold. = Goldstein & Kuehn

*: sumber dari ref [5]