Studi Perbandingan Metode Modal Testing Klasik Dan Modal Testing Kompleks Dengan Metode Analitik Dalam Identifikasi Arah Whirling Orbit Sistem Rotor.

1. PENDAHULUAN

Karakteristik dinamik yang inheren pada struktur, dinyatakan dengan parameter dinamik, seperti; frekuensi pribadi, modus getar dan rasio redaman. Karakteristik dinamik struktur dapat diidentifikasikan dengan modal testing dan parameter dinamik yang diperoleh dapat digunakan untuk verifikasi atau validasi model teoritik serta untuk mendapatkan model matematik komponenkomponen yang sulit dimodelkan secara analitik.

Metode modal testing klasik telah digunakan secara luas dan cukup baik untuk identifikasi parameter modal berbagai struktur, kecuali mesin-mesin rotasi.

Semua karakteristik dinamik rotor berhubungan erat dengan putaran rotor, sehingga arah modus merupakan hal yang sangat penting pada rotor dinamik. Pada saat rotor mulai berputar, maka akan muncul dua macam modus berbeda, yang dikenal dengan modus forward dan backward. Karakteristik modal yang berhubungan dengan modus forward dan backward, berbeda dengan karakteristik modal konvensional struktur non-rotasi. Karakteristik dinamik struktur nonrotasi pada daerah frekuensi negatif tidak mempunyai arti, sebaliknya karakteristik dinamik sistem rotor pada daerah frekuensi positif dan pada daerah frekuensi negatif berbeda, dan mempunyai arti fisik yang signifikan. Jika teknik modal testing klasik diterapkan pada sistem rotor, maka arah modus sistem rotor sama sekali diabaikan. Modus forward dan backward tidak dapat dibedakan dalam daerah frekuensi dan karakteristik respon frekuensi dari dua modus yang secara fisik berbeda, tercampur dalam satu daerah frekuensi, padahal modus ini secara fisik dapat dipisahkan dengan baik. Pada saat karakteristik respon frekuensi dua modus yang secara fisik berbeda tercampur dalam satu daerah frekuensi, maka kerugiannya adalah efek dari parameter modal yang berhubungan dengan putaran rotor tidak dapat dengan mudah diidentifikasikan[3].

Dalam usaha untuk memahami pengertian fisik karakteristik dinamik sistem rotor, maka analisis modal yang dinyatakan dalam bentuk perhitungan nonselfadjoint dikembangkan dengan menggunakan notasi kompleks. Akibat faktor-faktor yang berhubungan dengan putaran seperti efek giroskopik dan gaya dinamika fluida bantalan dan seal, maka masalah eigenvalue sistem rotor pada umumnya diekspresikan dengan operator diferensial nonself-adjoint. Analisis modal masalah nonself-adjoint eigenvalue tidak hanya membutuhkan parameter modal klasik, tetapi juga parameter modal adjoint seperti eigenvector kiri[3]

Eksitasi pada rotor dinamik juga berhubungan dengan putaran rotor. Gaya tak imbang yang sulit dihindari pada sistem rotor merupakan tipe eksitasi sinkron forward.

Karena perilaku getaran sistem rotor berhubungan erat dengan putaran rotor, maka sering disepakati untuk menyatakan getaran sistem rotor dalam notasi kompleks. Dengan teori modal testing kompleks, getaran rotor dapat dipisah dengan baik ke dalam daerah frekuensi positif dan negatif, sehingga identifikasi parameter modal efektif dapat dilakukan. Identifikasi arah modus seperti forward dan backward disarankan menggunakan fungsi respon frekuensi (FRF) yang diperoleh dari teori modal testing yang ditawarkan tersebut^[3].

Dari penerapan metode modal testing yang menggunakan perpindahan modal kompleks. diperlihatkan bahwa arah modus-modus berpasangan tidak berubah terhadap perubahan arah eksitasi, tetapi magnitude FRF modus forward pada daerah frekuensi positif lebih besar dari pada daerah frekuensi negatif. Sebaliknya magnitude FRF modus backward pada daerah fekuensi negatif lebih besar dari pada daerah frekuensi positif. Dengan kata lain bahwa jika magnitude FRF suatu modus pada daerah frekuensi positif lebih besar dari pada daerah frekuensi negatif maka modus tersebut adalah forward, sebaliknya jika magnitude FRF suatu modus pada daerah frekuensi negatif lebih besar dari pada daerah frekuensi positif maka modus tersebut adalah backward^[3].

Pada makalah ini akan diperlihatkan kedua metode modal testing klasik dan modal testing kompleks di atas pada penentuan arah whirling orbit sistem rotor dan kemudian dilakukan perbandingan dengan metode analitik serta aplikasinya pada system single dan multi rotor. Penentuan arah whiling orbit sistem rotor secara analitik dijelaskan dengan hitungan tangan untuk sistem rotor sederhana.

,2. TEORI MODAL ANALISIS SISTEM ROTOR^[3]

Persamaan gerak sistem rotor anisotropik multi-DOF yang terdiri atas poros fleksibel aksi-simetri tak seragam, disk kaku dan bantalan anisotropik, dapat ditulis sebagai berikut^[3]

\[[M]\{\ddot{q}\}+[C+\Omega G]\{\dot{q}\}+[K]\{q\}=\{F\}\] (1) dengan matriks definit positif \([M]\) adalah matriks massa (inersia) dan matriks tak simetri \([G]\) matriks giroskopik, sedangkan \([C]\) dan \([K]\) masing-masing adalah matriks redaman dan kekakuan tak simetri. Elemen-elemen matriks [M], [C], [G], [K], [F]dan \(\{q\}\) terdiri atas

\[\begin{bmatrix} M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix}_{N \times N}\] (2)

\[[C] = \begin{bmatrix} c_{yy} & c_{yz} \\ c_{zy} & c_{zz} \end{bmatrix}_{N \times N}\] \[[G] = \begin{bmatrix} 0 & g \\ -g & 0 \end{bmatrix}_{N \times N}\] (4)

\[[G] = \begin{bmatrix} 0 & g \\ -g & 0 \end{bmatrix}_{N \sim N} \tag{4}\]

\[[K] = \begin{bmatrix} k_{yy} & k_{yz} \\ k_{zy} & k_{zz} \end{bmatrix}_{N \times N}\] (5)

\[\{F(t)\} = \begin{cases} f_y(t) \\ f_z(t) \end{cases}_{N \times 1} \tag{6}\]

\[\{q(t)\} = \begin{cases} q_y(t) \\ q_z(t) \end{cases}_{N \times 1} \tag{7}\]

Pers. (1) merupakan persamaan gerak sistem rotor untuk kasus umum redaman tak sebanding atau tidak proposional. Tes redaman sebanding dari Ewins dapat membuktikan hal ini[1].

\[([M]^{-1}[K])([M]^{-1}[C+\Omega G]) \neq ([M]^{-1}[C+\Omega G])([M]^{-1}[K])\] (8)

Bentuk modus getar yang dihasilkan adalah modus getar kompleks dan eigenvector dapat dinyatakan dalam bentuk amplitudo dan fasa.

Penyelesaian persamaan eigenvalue Pers. (1) tidak dapat langsung diterima karena bukan merupakan masalah eigenvalue biasa. Definisikan koordinat vektor baru \(\{W\}\) dengan ukuran 2N yang terdiri atas vektor perpindahan \(\{q\}\) dan vektor kecepatan \(\{\dot{q}\}\).

\[\{W\} = \begin{cases} \{\dot{q}\} \\ \{q\} \end{cases} \tag{9}\]

Dengan menambahkan persamaan identitas \([M]\{\dot{q}\}-[M]\{\dot{q}\}=\{0\}\), maka Pers. (1) dapat ditulis dalam bentuk state space berikut

\[[A]\{W\} = [B]\{W\} + \{Q\}\] (10)

dengan

\[[A] = \begin{bmatrix} [0] & [M] \\ [M] & [C + \Omega G] \end{bmatrix}\] (11)

\[\begin{bmatrix} B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} M \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} & -\begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \end{bmatrix}\] (12)

\[\{Q\} = \begin{cases} \{0\} \\ \{F\} \end{cases} \tag{13}\]

\[\{W\} = \begin{cases} \{q\} \end{cases} \tag{14}\]

Kasus persamaan homogen, \(\{Q\} = \{0\}\), maka Pers. (10) dapat ditulis menjadi

\[{A}\dot{W} - {B}W = {0}.\] (15)

Matriks [A] dan [B] berukuran 2N x 2N dan matriks ril, tetapi secara umum indefinit tak simetri sehingga Pers. (15) merupakan masalah nonself-adjoint eigenvalue. Hubungan eigenvalue dengan Pers. (15) serta adjoint-nya dapat dinyatakan sebagai berikut [3]

\[\lambda_r[A][U]_r = [B][U]_r \quad r, s = 1, 2, ..., 2N\] (16)

\[\bar{\lambda}_{s} [A]^{T} \{V\}_{s} = [B]^{T} \{V\}_{s} \quad r, s = 1, 2, ..., 2N\] (17)

Tanda bar menyatakan konjugat kompleks, \(\{U\}_r\) eigenvector kanan ke-r dan \(\{V\}_s\) eigenvector kiri ke-s yang tersusun sebagai berikut

\[\{U\}_r = \begin{Bmatrix} \lambda_r \{u\}_r \\ \{u\}_r \end{Bmatrix}\] (18)

\[\{V\}_r = \begin{cases} \overline{\lambda}_r \{v\}_r \\ \{v\}_r \end{cases}\] (19)

dengan r = s.

\(\{U\}_r\) dan \(\{V\}_s\) bersifat biorthonormal, sehingga memenuhi persamaan berikut

\[\{\hat{V}\}_{s}^{T}[A]\{U\}_{r} = \delta_{rs} \tag{20}\]

\[\{\hat{V}\}_{s}^{T}[B]\{U\}_{r} = \lambda_{r}\delta_{rs} \tag{21}\] dengan \(\delta_{rs}\) kronecker delta, didefinisikan sebagai berikut\(^{[4]}\)

\[\delta_{rs} = \begin{cases} 1; r = s \\ 0; r \neq s \end{cases}\] (22)

Koordinat \(\{q(t)\}\) dapat diekspansi dalam bentuk sistem eigenvector sebagai berikut

\[\{q(t)\} = \begin{cases} q_y(t) \\ q_z(t) \end{cases} = \sum_{r=1}^{2N} \{u\}_r \{\eta(t)\}_r\] (23)

dengan

\[\{u\}_r = \begin{Bmatrix} u_y \\ u_z \end{Bmatrix}_r \tag{24}\]

\(\{q(t)\}\) merupakan vektor keadaan ril, konjugat kompleks dari \(\{u\}_r \{\eta(t)\}_r\) selalu ada pada penjumlahan Pers. (23). Substitusi Pers. (23) ke Pers. (10) dan dengan menggunakan Pers. (20) dan (21) diperoleh persamaan modal.

\[\{\dot{\eta}\}_r = \lambda_r \{\eta\}_r + \{f\}_r \quad r = 1, 2, ..., 2N\] (25) dengan

\[\{f\}_{r} = \hat{v}_{ry}^{T} f_{y} + \hat{v}_{rz}^{T} f_{z}\] (26)

Pers. (25) merupakan persamaan diferensial kompleks orde satu. Karakteristik modal sistem diperoleh dari persamaan gerak homogen dengan \(\{f\}_r=0\). Penyelesaian Pers. (25) homogen dengan menggunakan Pers. (23) dan notasi kompleks adalah

\[q_{ry} + jq_{rz} = C_r e^{\delta_r t}\] \[\{ (u_{ry} + ju_{rz}) e^{j\omega_r t} + (\overline{u}_{ry} + j\overline{u}_{rz}) e^{-j\omega_r t} \}^{(27)}\] dengan

\[\lambda_r = \delta_r + j\omega_r \tag{28}\] dan \(C_r\) konstanta. Perpindahan modal kompleks untuk kasus redaman umum sistem rotor anisotropik dapat didefinisikan sebagai berikut^[3].

\[q_{ry} + jq_{rz} = \begin{cases} (u_{ry} + ju_{rz})e^{j\omega_{r}t} + \\ (\overline{u}_{ry} + j\overline{u}_{rz})e^{-j\omega_{r}t} \end{cases}\](29)

Jika bagian putaran forward Pers. (29) besar dari bagian putaran backward, maka modus ke-r dapat didefinisikan sebagai modus forward, tetapi jika bagian putaran backward besar dari bagian putaran forward, maka modus ke-r adalah backward^[3].

3. TEORI MODAL TESTING KOMPLEKS SISTEM ROTOR^[3]

Eksitasi pada sistem rotor juga berhubungan dengan kecepatan putaran rotor. Misalkan sistem diberi gaya rotasi sirkular dengan frekuensi sweep, \(\omega\) seperti berikut ini.

\[f_y + j f_z = f_0 e^{j\alpha x} \tag{30}\]

Substitusi Pers. (30) dengan Pers. (9) didapatkan

\[\eta_r = \frac{1}{2} \left\{ \frac{\hat{v}_{ry}^T - j\hat{v}_{rz}^T}{j\omega - \lambda_r} e^{j\omega t} - \frac{\hat{v}_{ry}^T + j\hat{v}_{rz}^T}{j\omega + \lambda_r} e^{-j\omega t} \right\} f_0\](31)

Jika Pers. (31) disubstitusikan ke Pers. (8), maka respon gaya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut ini

\[q_y = \frac{1}{2} \Big( H_{yc} e^{j\omega t} + \overline{H}_{yc} e^{-j\omega t} \Big) f_0\] (32a)

\[q_z = \frac{1}{2} \left( H_{zc} e^{j\omega t} + \overline{H}_{zc} e^{-j\omega t} \right) f_0 \tag{32b}\] dengan

\[H_{yc} = \sum_{r=1}^{N} H_{yc}^{r} = \sum_{r=1}^{N} \left[ u_{ry} \frac{\hat{v}_{ry}^{T} - j\hat{v}_{rz}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \overline{u}_{ry} \frac{\overline{\hat{v}}_{ry}^{T} - j\overline{\hat{v}}_{rz}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda}_{r}} \right]\](33a)

\[H_{zc} = \sum_{r=1}^{N} H_{zc}^{r} = \sum_{r=1}^{N} \left[ u_{rz} \frac{\hat{v}_{ry}^{T} - j\hat{v}_{rz}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \overline{u}_{rz} \frac{\overline{\hat{v}}_{ry}^{T} - j\overline{\hat{v}}_{rz}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda}_{r}} \right]\](33b)

Subskrip c pada Pers. (32) melambangkan gaya rotasi sirkular. \(H_{yc}\) dan \(H_{zc}\) adalah matriks respon frekuensi pada titik ukur arah y dan z dengan eksitasi berupa gaya rotasi seperti pada Pers. (30).

Seperti terlihat pada Pers. (32) \(H_{yc}\) dan \(H_{zc}\) terdiri atas \(H_{yy}\), \(H_{yz}\), \(H_{zz}\) dan \(H_{zy}\) sebagai berikut.

\[H_{yy} = \sum_{r=1}^{N} \left[ \frac{u_{ry} \hat{v}_{ry}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \frac{\overline{u}_{ry} \overline{\hat{v}}_{ry}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda_{r}}} \right],\] \[H_{yz} = \sum_{r=1}^{N} \left[ \frac{u_{ry} \hat{v}_{rz}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \frac{\overline{u}_{ry} \overline{\hat{v}}_{rz}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda_{r}}} \right],\] \[H_{zz} = \sum_{r=1}^{N} \left[ \frac{u_{rz} \hat{v}_{rz}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \frac{\overline{u}_{rz} \overline{\hat{v}}_{rz}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda_{r}}} \right],\] \[H_{zy} = \sum_{r=1}^{N} \left[ \frac{u_{rz} \hat{v}_{ry}^{T}}{j\omega - \lambda_{r}} + \frac{\overline{u}_{rz} \overline{\hat{v}}_{ry}^{T}}{j\omega - \overline{\lambda_{r}}} \right],\] (34)

\(H_{yy}\), \(H_{yz}\), \(H_{zz}\) dan \(H_{zy}\) pada Pers. (34) dapat diperoleh dengan teknik modal testing klasik yang sudah biasa diterapkan pada struktur tak berputar. Pada metode modal testing klasik tersebut eksitasi forward dan backward mempunyai nilai yang sama dan tercampur pada salah satu daerah frekuensi. Dari Pers. (34) diperoleh

\[H_{ik}(-j\omega) = \overline{H}_{ik}(j\omega) \ i, k = y, z \tag{35}\]

sehingga terlihat bahwa FRF pada daerah frekuensi negatif merupakan duplikat dari FRF pada daerah frekuensi positif dan arah modus forward atau backward tidak dapat ditentukan.

Respon gaya Pers. (32) dapat ditulis sebagai berikut

\[q_{y} + jq_{z} = \sum_{r=1}^{N} (q_{ry} + jq_{rz}) = \frac{1}{2} (H_{uc}e^{j\omega t} + \overline{H}_{uc}e^{-j\omega t}) f_{0}\] (36)

dengan \(H_{uc} = H_{yc} + jH_{zc}\). \(H_{uc}\) adalah FRF untuk perpindahan kompleks u = y + jz dan gaya eksitasi rotasi sirkular seperti pada Pers. (30). Berdasarkan Pers. (33) \(H_{uc}\) dapat juga ditulis sebagai berikut

\[H_{uc} = H_{yy} + H_{zz} - j(H_{yz} - H_{zy}). \tag{37}\]

Untuk frekuensi eksitasi \(\omega \cong \omega_r (\geq 0)\), respongaya ke-r dari Pers. (36) dapat didekati sebagai^[3]

\[q_{ry} + jq_{rz} = \frac{1}{2} \frac{1}{j\omega_{r} - \lambda_{r}}\] \[\begin{bmatrix} \left(u_{ry} + ju_{rz}\right) \left(\widehat{v}_{ry} + j\widehat{v}_{rz}\right)^{T} e^{j\omega_{r}t} - \left(\overline{u}_{ry} + j\overline{u}_{rz}\right) \left(\widehat{v}_{ry} + j\widehat{v}_{rz}\right)^{T} e^{-j\omega_{r}t} \end{bmatrix} f_{0}\] (38)

Dari Pers. (32), (36) dan (38), dapat diperoleh harga pendekatan untuk \(H_{uc}^r\), \(H_{yc}^r\) dan \(H_{zc}^r\) pada frekuensi eksitasi \(\omega \cong \omega_r (\geq 0)\)

\[H_{uc}^{r}(\omega_{r}) = \frac{u_{ry} + ju_{rz}}{j\omega_{r} - \lambda_{r}} \left( \hat{v}_{ry} + j\hat{v}_{rz} \right)^{T}\](39a)

\[H_{yc}^{r}(\omega_{r}) \cong \frac{u_{ry}}{j\omega_{r} - \lambda_{r}} (\widehat{v}_{ry} + j\widehat{v}_{rz})^{r},\]

\[H_{zc}^{r}(\omega_{r}) \cong \frac{u_{rz}}{j\omega_{r} - \lambda_{r}} \left( \hat{v}_{ry} + j\hat{v}_{rz} \right)^{T}\] (39b)

Untuk frekuensi eksitasi \(\omega = -\omega_r (< 0)\), respongaya ke-r dari Pers. (36) dapat didekati sebagai

\[q_{ry} + jq_{rz} \approx \frac{1}{2} \frac{1}{j\omega_r + \overline{\lambda}_r} \left[ \left( u_{ry} + ju_{rz} \right) \left( \widehat{v}_{ry} - j\widehat{v}_{rz} \right)^T e^{j\omega_r t} - \left( \overline{u}_{ry} + j\overline{u}_{rz} \right) \left( \widehat{v}_{ry} - j\widehat{v}_{rz} \right)^T e^{-j\omega_r t} \right] f_0\] \[(40)\]

Dari Pers. (32), (36) dan (40), dapat diperoleh harga pendekatan untuk \(H^r_{uc}\), \(H^r_{yc}\) dan \(H^r_{zc}\) pada frekuensi eksitasi \(\omega = -\omega_r (< 0)\)

\[H_{uc}^{r}(-\omega_{r}) \cong -\frac{\overline{u}_{ry} + j\overline{u}_{rz}}{j\omega_{r} + \overline{\lambda}_{r}} (\hat{v}_{ry} - j\hat{v}_{rz})^{T}\](41a)

\[H_{yc}^{r}(-\omega_{r}) \cong -\frac{\overline{u}_{ry}}{j\omega_{r} + \overline{\lambda}_{r}} (\hat{v}_{ry} - j\hat{v}_{rz})^{T},\] \[H_{zc}^{r}(-\omega_{r}) \cong -\frac{\overline{u}_{rz}}{j\omega_{r} + \overline{\lambda}_{r}} (\hat{v}_{ry} - j\hat{v}_{rz})^{T}\] (41b)

Seperti terlihat pada Pers. (38) dan (40), variasi amplitudo respon gaya komponen ke-r terhadap perubahan arah eksitasi tergantung pada besaran relatif \((\hat{v}_{ry} + j\hat{v}_{rz})\) dan \((\hat{v}_{ry} - j\hat{v}_{rz})\). Jika \(c_{yz} = -c_{zy}\), \(k_{yz} = -k_{zy}\), dengan menggunakan Pers. (6) diperoleh

\[\left(\frac{\hat{\mathbf{v}}_{ry} + j\hat{\mathbf{v}}_{rz}}{\hat{\mathbf{v}}_{ry} + j\hat{\mathbf{v}}_{rz}}\right) = K_r \left(u_{ry} + ju_{rz}\right) \tag{42a}\] \[\left(\hat{\mathbf{v}}_{ry} - j\hat{\mathbf{v}}_{rz}\right) = K_r \left(u_{ry} - ju_{rz}\right) \tag{42b}\]

Dengan menggunakan Pers. (11), amplitudo Pers. (42a) selalu lebih besar dari pers (42b) pada modus forward, sedangkan pada modus backward selalu lebih kecil. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo dari respon gaya pada modus forward lebih besar dengan eksitasi putaran forward dibandingkan dengan eksitasi putaran backward, sedangkan pada modus backward amplitudo lebih besar dengan eksitasi putaran backward dari pada eksitasi putaran forward.

4. PENENTUAN ARAH WHIRLING ORBIT SECARA ANALITIK^[5]

Secara analitik, arah whirling orbit dapat ditentukan berdasarkan pengertian dari Gb. (1) berikut.

Gambar 1 Posisi sumbu rotor pada saat t

Pusat sumbu rotor pada titik A, \(Q_1\) dan \(Q_2\) respon perpindahan arah X dan Z. Dari perkalian silang \(OA \times dOA\), dapat ditentukan arah whirling. Dari Gb. (1) dapat ditentukan

\[OA = \begin{cases} Q_1 \sin \Omega t \\ 0 \\ Q_2 \cos \Omega t \end{cases}\] (43)

Diferensial Pers. (43) terhadap t

\[dOA = \begin{cases} Q_1 \Omega \cos \Omega t dt \\ 0 \\ -Q_2 \Omega \sin \Omega t dt \end{cases}\] (44)

ehingga

\[OA \times dOA = \begin{cases} 0 \\ Q_1 Q_2 \Omega dt \\ 0 \end{cases}\] (45)

Jika harga \(Q_1Q_2>0\), maka rotor dalam keadaan forward whirling dan sebaliknya jika harga \(Q_1Q_2<0\), maka arah whirling adalah backward.

5. KAJI NUMERIK DAN ANALISIS

Sebagai ilustrasi digunakan beberapa sistem rotor, seperti sistem rotor sederhana dan sistem rotor multi-DOF berikut ini.

Gambar 2 Sistem rotor sederhana

Data numerik sistem rotor dapat dilihat pada tabel berikut ini^[5].

Tabel 1 Data geometri poros

Tabel 2 Data geometri disk

Tabel 3 Data properti material poros dan disk

Tabel 4 Karakteristik bantalan

Persamaan gerak sistem rotor diturunkan dengan menggunakan metode Rayleigh-Ritz dan persamaan Lagrange. Persamaan homogen dalam bentuk matriks adalah^[5]

\[\begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{q}_1 \\ \ddot{q}_2 \end{pmatrix} + \Omega \begin{bmatrix} 0 & -a \\ a & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = 0\] (46)

dengan m = 14.29 kg, a = 2.871 N.s/m \(k_1 = 1.195 \times 10^6\) N/m dan \(k_2 = 1.570 \times 10^6\) N/m.

Respon gaya eksitasi harmonik diperoleh dari Pers. (46) dengan menambahkan gaya harmonik \(F\sin\omega t\). Penyelesaian persamaan tersebut untuk gaya eksitasi F=1~N dan kecepatan putaran \(N=4000rpm~(\Omega=418.88rad/s)\) adalah

\[Q_{1} = \frac{(k_{2} - m\omega^{2})F}{(k_{1} - m\omega^{2})(k_{2} - m\omega^{2}) - a^{2}\Omega^{2}\omega^{2}}\] \[= \frac{-9.37 \times 10^{5}}{1.23 \times 10^{12} - 1.45 \times 10^{6}\omega^{2}}\] \[Q_{2} = \frac{-a\Omega\omega F}{(k_{1} - m\omega^{2})(k_{2} - m\omega^{2}) - a^{2}\Omega^{2}\omega^{2}}\] \[= \frac{-1.2 \times 10^{3}\omega}{1.23 \times 10^{12} - 1.45 \times 10^{6}\omega^{2}}\] (48)

Harga \(Q_1\), \(Q_2\) dan perkalian \(Q_1 \cdot Q_2\) untuk kecepatan putaran eksitasi 0 sampai dengan 4800 rpm dapat dilihat pada Tabel (5).

Tabel 5 Harga \(Q_1\), \(Q_2\) dan \(Q_1 \cdot Q_2\) \(\omega = 0 - 4800 \text{ rpm}\)

Dari Tabel (5) dapat diketahui bahwa Whirling orbit sistem rotor pada Gb. (2) berbentuk ellips, dimana \(Q_1 \neq Q_2\). Arah whirling diketahui dari besaran \(Q_1 \cdot Q_2\). Untuk harga \(Q_1 \cdot Q_2 > 0\), rotor dalam keadaan forward dan sebaliknya jika \(Q_1 \cdot Q_2 \leq 0\), maka arah whirling adalah backward. Pada Tabel (5) di atas terlihat bahwa perubahan arah whirling terjadi pada selang frekuensi eksitasi 46.67 - 53.33 Hz. Dari perhitungan dengan selang frekuensi yang lebih kecil antara 46.67 - 53.33 Hz, diperoleh frekuensi perubahan arah whirling sekitar 52.75 Hz. Sehingga dapat dikatakan bahwa pada selang frekuensi 0 - 52.75 Hz, arah modus adalah bacward (BW) dan pada frekuensi lebih besar dari 52.75 Hz, arah modus adalah forward (FW).

Respon gaya harmonik serta daerah yang menunjukkan arah whirling dapat dilihat pada Gb. (3).

Modus pertama berada pada daerah backward (BW) dan modus kedua pada daerah forward (FW). Dua frekuensi kritis yang ditunjukkan pada Gb. (3), yaitu 42.35 dan 57.33 Hz.

Dengan menggunakan metode modal testing klasik dan modal testing kompleks pada sistem rotor sederhana pada Gb. (2), didapatkan respon frekuensi pada kecepatan putaran N=4000rpm, seperti terlihat pada Gb. (4) di Lampiran.

Gambar 3 Respon gaya harmonik F = 1 N, N = 4000 rpm

Pada Gb. (4) terlihat bahwa magnitude respon frekuensi modus ke-1 dari metode modal testing kompleks pada daerah frekuensi positif lebih kecil dari pada daerah frekuensi negatif, sehingga modus pertama adalah bacward (1B). Magnitude modus ke-2 pada daerah frekuensi positif lebih besar dari pada daerah frekuensi negatif, sehingga modus kedua adalah forward (2F). Respon frekuensi yang diperoleh dari metode modal testing klasik pada daerah frekuensi negatif merupakan duplikat dari pada daerah frekuensi positif dan modus yang dihasilkan tercampur, sehingga arah modus tidak dapat ditentukan.

Penyimpangan magnitude respon frekuensi pada frekuensi sekitar nol dari daerah frekuensi negatif dan positif, terjadi karena FRF diperoleh dari fungsi pendekatan. Penyimpangan ini relatif sangat kecil (±0.7%) dan dapat diterima.

Untuk sistem rotor multi-DOF dipilih sistem rotor anisotropik Lalanne^[5], seperti terlihat pada Gb. (5). Jumlah pembagian elemen hingga dan kecepatan putaran rotor bervariasi.

Gambar 5 Pemodelan rotor dengan 13 elemen

Data numerik rotor dapat dilihat pada beberapa tabel dibawah ini^[5].

Tabel 6 Data geometri poros

Tabel 7 Data geometri disk

Tabel 8 Data properti material poros dan disk

Tabel 9 Karakteristik bantalan

Kecepatan putaran rotor mulai dari 0 rpm sampai dengan 30000 rpm.

Matriks persamaan gerak sistem rotor pada Gb. (5) berukuran besar (56x56), sehingga sulit diselesaikan secara analitik. Program komputasi yang sudah dibuat sangat membantu dalam analisis dinamik sistem rotor multi-DOF tersebut.

Pada Gb. (6) diperlihatkan diagram Campbell untuk sepuluh frekuensi pribadi pertama yang diperoleh dengan metode pseudo-modal.

Gambar 6 Diagram Campbell

Pada Gb. (7) di Lampiran, ditunjukkan magnitude respon frekuensi sistem rotor pada kecepatan putaran 10000 rpm. Dengan menggunakan respon frekuensi yang diperoleh dari metode modal testing kompleks \(h_{yc}\), \(h_{zc}\)

dan \(h_{uc}\), terlihat bahwa magnitude modus ke-1 pada daerah frekuensi negatif lebih besar dari pada daerah frekuensi positif, sehingga modus pertama adalah backward (1B). Magnitude modus ke-2 pada daerah frekuensi negatif lebih kecil dari pada daerah frekuensi positif, sehingga modus kedua adalah forward (2F) dan untuk modus ke-3 dan ke-4 masing-masing adalah backward (3B) dan forward (4F). Sedangkan dari respon frekuensi yang diperoleh dari metode modal testing klasik \(h_{yy}\), \(h_{yz} = h_{zy}\) dan \(h_{zz}\), magnitude pada daerah

frekuensi positif sama dengan pada daerah frekuensi negatif, sehingga arah modus apakah forward atau backward tidak dapat ditentukan.

Respon frekuensi dari metode modal testing klasik dan modal testing kompleks dapat juga dinyatakan dalam plot besaran ril dan imajiner pada daerah frekuensi positif dan negatif, seperti terlihat pada Gb. (8) di Lampiran. Plot nyquist yang menyatakan hubungan besaran ril dan imajiner juga ditampilkan, tetapi daerah frekuensi tidak dapat terlihat secara langsung. Arah whirling juga dapat ditentukan dari ril dan imajiner \(h_{uc}\)yang diperoleh dari metode modal testing kompleks. Plot besaran ril respon frekuensi menunjukkan bahwa, modus ke-1 pada daerah frekuensi negatif lebih besar dari pada daerah frekuensi positif, sehingga modus pertama backward (1B), modus ke-2 pada daerah frekuensi negatif lebih kecil dari pada daerah frekuensi positif, sehingga modus kedua forward (2F). Plot besaran imajiner respon frekuensi pada daerah frekuensi positif berharga negatif sedangkan pada daerah frekuensi negatif berharga positif dan dari harga tersebut juga dapat ditentukan arah whirling yaitu modus pertama backward (1B) dan modus kedua forward (2F). Arah whirling sulit ditentukan berdasarkan plot nyquist respon frekuensi dari metode modal testing kompleks. Hal ini disebabkan karena daerah frekuensi tidak dapat terlihat secara langsung. Plot ril, imajiner dan nyquist ini dapat digunakan untuk identifikasi parameter dinamik sistem rotor dimana dari metode modal testing klasik tidak dapat ditentukan.

6. KESIMPULAN

Disimpulkan beberapa kelebihan dan kekurangan dari metode-metode yang digunakan dalam identifikasi arah whirling orbit sistem rotor.

• ☐ Metode analitik
  • Arah whirling orbit dinyatakan dalam selang frekuensi, seperti terlihat pada Gb. (3). Modus ke-1 berada pada daerah backward, maka modus tersebut backward dan modus ke-2 berada pada daerah forward, maka modus tersebut forward.
  • Hanya dapat digunakan untuk sistem rotor dengan jumlah DOF kecil.
• □ Metode modal testing klasik
  • Magnitude respon frekuensi pada daerah positif dan negatif sama, dan modus-modus yang secara fisik berbeda tercampur, sehingga arah whirling orbit tidak dapat ditentukan.
• ☐ Metode modal testing kompleks
  • Respon frekuensi dapat dipisah dengan baik ke dalam dua daerah frekuensi.
  • Arah whirling orbit dapat ditentukan dari respon frekuensi yang diperoleh.
  • Respon frekuensi yang diperoleh dapat digunakan untuk identifikasi parameter dinamik sistem rotor.

PUSTAKA

• 1. Ewins, D.J., 1995, "Modal Testing: Theory and Practice", John Wiley & Sons Inc.,
• Genta, G., 1995, "Vibration of Structures and Machines (2^nd edition)", Springer-Verlag, New York.
• Jei, Y.G., and Kim, Y.J., 1993, "Modal Testing Theory of Rotor-Bearing Systems", Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 115, pp. 165-176.
• 4. Lee, C.W., 1990, "A New Modal Test Theory in Rotating Machinery', Proceedings of the 8th IMAC, Florida, pp. 148-154.
• 5. Lalanne, M., Ferraris, G., 1990, "Rotordynamics Prediction in Engineering", John Wiley & Sons Inc., New York.

\(\mathbf{H}_{yc}, \mathbf{H}_{zc}, \mathbf{H}_{uc}\)

Matrik respon frekuensi \(H_{yy}\), \(H_{yz}\), \(H_{zy}\), \(H_{zz}\)

hyc, hzc, huc

Elemen fungsi respon \(h_{yy}\), \(h_{yz}\), \(h_{zy}\), \(h_{zz}\)

frekuensi

Elemen matriks kekakuan \(k_{yy}\), \(k_{yz}\), \(k_{zy}\), \(k_{zz}\)

Matriks kekakuan Matriks massa

Massa dari disk rigid

\(\mathbf{m}_{yy}\), \(\mathbf{m}_{yz}\), \(\mathbf{m}_{zy}\), \(\mathbf{m}_{zz}\): Elemen matriks massa

Bagian riil Indeks atas: R

Modus ke-r Transposisi

Ujung kiri Ujung kanan

Arah sirkular Indeks bawan: c

: Modus ke-r y, z : Arah y, z

Gambar 4 Respon frekuensi sistem rotor sederhana pada N = 4000rpm

Metode modal testing klasik

Metode modal testing kompleks

Gambar 7 Respon frekuensi sistem rotor multi-DOF pada 10000 rpm

MESIN Vol. XVI No. 2

Gambar 8 Plot ril, imajiner dan nyquist respon frekuensi sistem rotor multi-DOF pada 10000 rpm