M E S I N

Jurnal Teknik Mesin Vol. XIX, No. 2, Oktober 2004 No. ISSN: 0852-6095

Diterbitkan oleh : Departemen Teknik Mesin, FTI

Institut Teknologi Bandung

Surat ijin : STT No. 964/DIT-JEN/PPG/STT/1982.

DAFTAR ISI

M E S I N

Jurnal Teknik Mesin

Vol. XIX, No. 2, Oktober 2004

Carolus Bintoro¹ , Komang Bagiasna² , Djoko Suharto³ , dan Zainal Abidin²

1 Mahasiswa, Dep. Teknik Mesin ITB 2 Lab. Dinamika, PAU – Ilmu Rekayasa ITB 3 Dep. Teknik Mesin ITB

Ringkasan

Kajian numerik tentang perubahan kekakuan bantalan rol akibat adanya peningkatan keausan dibahas pada tulisan ini. Kajian dilakukan dengan menggunakan metode kontak Hertzian dan merupakan bagian dari penelitian mengenai penentuan respon getaran pada bantalan rol akibat terjadinya peningkatan keausan. Di sini, keausan diasumsikan sebagai diametral clearance, Cd, dan gaya diasumsikan bekerja dalam arah radial. Pada kaji komputasional dapat dibuktikan bahwa peningkatan keausan akan menurunkan kekakuan bantalan. Berdasarkan kajian ini, hubungan antara defleksi dan kekakuan serta gaya radial dan kekakuan sebagai fungsi dari Cd dapat ditentukan.

2. PEMODELAN ELEMEN BANTALAN

2.1. Pemodelan Fisik

Pemodelan sistem poros rotor dengan bantalan gelinding sebagai penumpunya diperlihatkan pada Gambar 3. Pada gambar tersebut tampak bahwa bantalan dimodelkan sebagai sistem pegas-peredam [12]. Dengan mengetahui besar gaya eksitasi yang bekerja serta parameter dinamik bantalan, maka dapat diperkirakan respon getaran yang terjadi. Parameter dinamik yang menjadi kajian dalam penelitian ini adalah kekakuan bantalan.

Wensing [13], memodelkan sistem bantalan menjadi sistem getaran 2 derajat kebebasan, dengan gerakan dalam arah vertikal dan horizontal seperti terlihat pada Gambar 4. Pada gambar tersebut juga diperlihatkan load zone akibat adanya beban radial, F.

Gambar 3. Pemodelan sistem dinamik bantalan rol.

Gambar 4. Load zone bantalan rol [4]

2.2. Pengaruh Load Zone

Penggambaran bantalan sebelum dan sesudah terdefleksi diperlihatkan pada Gambar 5. Defleksi tersebut disebabkan oleh gaya yang bekerja pada poros dan selanjutnya gaya tersebut diteruskan ke rumah bantalan. Fenomena tersebut dimanfaatkan pada teknologi perawatan prediktif untuk mendapatkan informasi mengenai kondisi mesin. Informasi diperoleh dengan mengukur respon getaran yang dilakukan dengan memasang sensor getaran yang orientasinya tertentu (vertikal, horizontal, atau aksial) pada rumah bantalan.

Gambar 5. (a) Bantalan sebelum terdefleksi. (b) Bantalan sesudah terdefleksi [4].

Distribusi gaya radial pada elemen gelinding (load zone) dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu besarnya Cd, preload maupun gaya radial yang bekerja pada bantalan (Gambar 4 dan 6). Besar load zone disimbolkan dengan load distribution factor \(\varepsilon\) yang akan mempengaruhi besar kekakuan bantalan.

Gambar 6. Distribusi beban bantalan gelinding pada berbagai Cd [4].

Pada penelitian ini kekakuan bantalan teoritis ditentukan dengan mengubah besar gaya radial yang bekerja sehingga load zone dan defleksi bantalan juga berubah. Hubungan gaya radial dan defleksi tersebut digunakan untuk menentukan kekakuan bantalan.

2.3. Pemodelan Kekakuan Bantalan

Lim [8], memodelkan kekakuan bantalan sebagai fungsi defleksi linear dan defleksi angular sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

\[[K]_{b_{i,j}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{bi}}{\partial \delta_{j}} & \frac{\partial F_{bi}}{\partial \beta_{j}} \\ \frac{\partial M_{bi}}{\partial \delta_{j}} & \frac{\partial M_{bi}}{\partial \delta_{j}} \end{bmatrix}\](1)

di mana i, j menyatakan arah x, y, z. Gaya (F) dan momen (M) yang bekerja pada bantalan, diformulasikan oleh Lim dalam pers. (2) dan (3) berikut:

\[\begin{cases} F_{\text{bym}} \end{cases} = \sum_{k=1}^{z} Q_{j} \cdot \begin{cases} \cos \alpha_{k} \cdot \cos \psi_{k} \\ \cos \alpha_{k} \cdot \sin \psi_{k} \\ \sin \alpha_{k} \end{cases}\] (2)

\[\begin{cases} M_{bxm} \\ M_{bym} \\ M_{bzm} \end{cases} = \sum_{k=1}^{z} r_{k} \cdot Q_{k} \cdot \sin \alpha_{k} \begin{cases} \sin \psi_{k} \\ -\cos \psi_{k} \\ 0 \end{cases}\] (3)

Pada penelitian awal ini, kajian hanya dilakukan pada gaya arah radial. Hubungan antara gaya radial dan defleksi serta distribusi beban yang terjadi telah dikaji oleh Harris [3]. Namun kekakuan bantalan oleh Harris dikaji untuk Cd nominal. Pada penelitian ini kekakuan bantalan ditentukan menggunakan kaidah kontak Hertzian dengan perubahan Cd sebagai parameter utama. Penurunannya adalah sebagai berikut:

\[Q = K_n \cdot \delta^n \tag{4}\]

K_n tergantung pada geometri dan material elemen bantalan yang bersentuhan, serta dinyatakan dalam pers. (5) berikut [14]:

\[K_{n} = \frac{4}{3.\pi (h_{1} + h_{2})} \sqrt{\overline{R}}\] (5)

di mana:

\[\overline{R} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\]; \(h_s = \frac{1 - v_s^2}{\pi . E_s}\); \(s = 1, 2\)

Harris [4], menyederhanakan pers. (5) tersebut menjadi persamaan berikut:

\[K_{n} = \left[ \frac{1}{(1/K_{i})^{1/n} + (1/K_{0})^{1/n}} \right]^{n}\] (6)

Besar nilai n, untuk kontak garis (bantalan rol), adalah 1,11, sedangkan \(K_i\) dan \(K_o\) adalah \(K_l\) berikut:

\[K_1 = 7,89 \ 10^4 \ell^{-8/9} \tag{7}\]

Defleksi radial pada setiap posisi elemen gelinding dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut:

\[\delta_{W} = \delta_{\Gamma} \cos \psi - \frac{1}{2} C d \tag{8}\]

Pers. (8) di atas dapat dituliskan dalam fungsi defleksi radial maksimum sebagai berikut:

\[\delta_{\Psi} = \delta_{\text{max}} \left[ 1 - \frac{1}{2.\varepsilon} (1 - \cos \Psi) \right] \tag{9}\]

\[\varepsilon = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{Cd}{2.\delta_r} \right) \tag{10}\]

Hubungan antara \(Q_{\psi}\) dan \(Q_{\text{max}}\) dapat diturunkan dengan menggunakan pers. (4), (8) dan (9), sebagai berikut:

\[Q_{\Psi} = Q_{\text{max}} \left[ 1 - \frac{1}{2 \cdot \varepsilon} (1 - \cos \Psi) \right]^n \tag{11}\]

Dalam hal ini, gaya radial total yang bekerja sama dengan penjumlahan komponen beban radial yang bekerja pada masing-masing elemen gelinding. Dengan demikian, gaya radial yang bekerja pada bantalan dapat diformulasikan sbb:

\[F_{\Gamma} = \sum_{\psi=0}^{\psi=\pm \psi 1} Q_{\psi} \cdot \cos \psi \tag{12}\]

\[F_{\mathbf{r}} = Q_{\text{max}} \cdot \sum_{\psi=0}^{\psi=\pm \psi 1} \left[ 1 - \frac{1}{2\varepsilon} (1 - \cos\psi) \right]^{n} \cdot \cos\psi\] (13)

\[F_{r} = Z.Q_{max} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\psi_{1}}^{\psi_{1}} \left[ 1 - \frac{1}{2\varepsilon} (1 - \cos\psi_{0}) \right]^{n} \cos\psi_{0}\] (14)

\[F_{r} = Z.Q_{max}.J_{r}(\varepsilon)\] (15)

\[Q_{\max} = K_n . \delta_{\psi=0}^n = K_n . (\delta_r - \frac{1}{2} Cd)^n\] (16)

\[F_r = Z.K_n.(\delta_r - \frac{1}{2}Cd)^n.J_r(\varepsilon)\] (17)

Pada pers. (17), defleksi bantalan (\(\delta\)) di-nyatakan sebagai (\(\delta_r - \frac{1}{2}Cd\)), sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

\[F_{r} = Z.K_{n}.\delta^{n}.Jr(\varepsilon)\] (18)

Dengan menggunakan pers. (1) dan (18) maka kekakuan bantalan dapat dinyatakan sebagai berikut:

\[K_b = n.Z.K_n.\delta^{n-1}.Jr(\epsilon)\] (19)

Radial load integral, \(J_{\Gamma}(\varepsilon)\) ditentukan dengan menggunakan suaian kurva (curve-fitting) dari tabel hasil kaji numerik yang diperoleh Harris. Hasil suaian kurva dan \(Jr(\varepsilon)\) diperlihatkan dalam Gambar (7).

Bantalan yang aus, memiliki nilai load distribution factor antara 0 hingga 0,5 seperti terlihat dalam Gambar 6. Dengan demikian daerah kerja pada penelitian ini ditunjukkan pada Gambar 7. Besar \(\varepsilon\) yang dihitung dengan pers. (10), akan digunakan untuk menentukan \(Jr(\varepsilon)\). Hasil suaian kurva \(Jr(\varepsilon)\) menghasilkan persamaan berikut:

\[J_{r}(\varepsilon) = \frac{p_{1} \cdot \varepsilon^{5} + p_{2} \cdot \varepsilon^{4} + p_{3} \cdot \varepsilon^{3} + p_{4} \cdot \varepsilon^{2} + p_{5} \cdot \varepsilon + p_{6}}{\varepsilon^{5} + q_{1} \cdot \varepsilon^{4} + q_{2} \cdot \varepsilon^{3} + q_{3} \cdot \varepsilon^{2} + q_{4} \cdot \varepsilon + q_{5}}\](20)

Konstanta persamaan di atas adalah:

Gambar 7. Kurva radial load integral \(J_r(\varepsilon)\)

Pengaruh Cd terhadap kekakuan bantalan ditentukan dengan kaji komputasional pada berbagai nilai Cd. Proses komputasi ini melalui proses iterasi dengan mengasumsikan terlebih dahulu besar \(\epsilon\) pada pers. (10), maka selanjutnya \(J_{\Gamma}(\epsilon)\) dapat ditentukan berdasarkan pers. (20). \(J_{\Gamma}(\epsilon)\) tesebut digunakan untuk menentukan \(\delta\)r dengan menggunakan pers. (18). Hasil \(\delta\)r digunakan untuk menentukan \(\epsilon\) pada pers. (10). Apabila besar \(\epsilon\) perhitungan tidak sama dengan \(\epsilon\) asumsi maka proses iterasi dilanjutkan. Ketika \(\epsilon\) asumsi sama dengan \(\epsilon\) perhitungan, \(\delta\)r digunakan untuk menentukan kekakuan bantalan pada pers. (19).

Besar perubahan kekakuan bantalan akibat pengaruh Cd ditentukan berdasarkan hubungan Cd dan \(\delta\)r dalam pers. (10). Hubungan tersebut digunakan untuk menyederhanakan pers. (19). Kurva persamaan tersebut merupakan fungsi \(\epsilon\) dan memperlihatkan perubahan kekakuan akibat perubahan Cd.

2.4. Studi Kasus

Pada penelitian ini, analisis ditujukkan pada bantalan uji dengan spesifikasi sebagai berikut:

Merek dagang : NTN N305

Type : bantalan silinder rol

\(\begin{array}{lll} \text{Diameter dalam (d)} & : 25 \text{ [mm]} \\ \text{Diameter luar (D)} & : 62 \text{ [mm]} \\ \text{Lebar (B atau B}_i) & : 17 \text{ [mm]} \\ \text{Diameter } \textit{pitch} & : 43,993 \text{ [mm]} \\ \text{Diameter rol} & : 8,9916 \text{ [mm]} \end{array}\)

Jumlah rol : 11 Sudut kontak (\(\alpha\)) : 0°

Basic load rating

\(\begin{array}{ll} \textit{dynamic} \ (C) & : 40.200 \ [N] \\ \textit{static} \ (C_0) & : 36.500 \ [N] \\ \text{Beban dipersyaratkan} & : > 805 \ [N] \end{array}\)

3. SIMULASI DAN DISKUSI

Simulasi kekakuan bantalan akibat pengaruh perubahan Cd ditentukan melalui proses iterasi yang dilakukan memakai pers. (10), (18), (19) dan (20). Secara garis besar, proses simulasi yang dilakukan dapat dinyatakan pada diagram seperti tampak pada Gambar 8.

Gambar 8. Diagram alir proses iterasi penentuan kekakuan bantalan

3.1. Hubungan Antara Cd dan δr

Pendekatan polinomial hubungan antara Cd dan δr dapat diperoleh dari proses suaian kurva (Gambar 9), dengan persamaan pendekatan polinomial sbb:

\[\delta \mathbf{r} = \mathbf{p}_1 \, \mathbf{C} \mathbf{d} + \mathbf{p}_2 \tag{21}\]

Koefisien p₁ dan p₂ dapat dinyatakan pada Tabel 1.

Tabel 1. Konstanta pers. hubungan antara δr dan Cd

Gambar 9. Kurva hubungan antara Cd dan δr

Pengaruh Cd terhadap \(K_b\) ditentukan dengan menggunakan hubungan Cd dan \(\delta r\) (pers. (21)). Kemudian hubungan tersebut digunakan untuk menentukan persamaan kekakuan bantalan (pers. (19)) menjadi fungsi Cd. Setelah itu persamaan kekakuan bantalan dapat disederhanakan sebagai berikut:

\[K_{b} = n Z K_{n} C^{0.11} \frac{-0.4 \chi^{5} + 4.7 \chi^{4} + 3.9 \chi^{3} + 13 \chi^{2} + 6.6 \chi + 1.9}{\chi^{5} + 45 \chi - 31 \chi^{3} + 54 \chi^{2} + 1.2 \chi + 20}\]

(22)

Di mana:

\[\chi = \frac{-0.24 \,\text{Cd} + 1.1 \,\text{e}^{-3}}{0.51 \,\text{Cd} + 2.2 \,\text{e}^{-3}}\]\[C = 0.11 \,\text{e}^{-1} \,\text{Cd} + 0.22 \,\text{e}^{-2}\]

Koefisien \(\chi\) dan C pada pers. (22) merupakan fungsi Cd, yang diperoleh dari pers. (19) pada kasus beban 85 Kg. Dengan demikian perubahan pada Cd akan mengubah besaran \(K_b\).

Kurva \(K_b\) terhadap Cd dapat ditampilkan pada Gambar 10. Pada kurva Gambar 10 dapat diamati terjadinya perubahan kekakuan yang cukup signifikan, yakni sebesar \(10^8\) N/m, akibat adanya perubahan Cd yang kecil (1 \(\mu\)m).

Gambar 10. Kurva hubungan Cd vs Kekakuan bantalan uji pada beban 85 Kg

3.2. Kekakuan Non-linear

Kekakuan bantalan bersifat non-linear, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk:

\[K_{b} = K_{\ell} + K_{n\ell} \tag{23}\]

Non-linearitas tersebut mempengaruhi respon getaran sistem

Kekakuan non-linear bantalan ditentukan dengan suaian kurva kekakuan pada berbagai harga Cd. Hasil kaji komputasional dapat ditampilkan pada Gambar 11. Pada gambar tersebut terlihat bahwa dengan meningkatnya nilai Cd maka kekakuan bantalan rol akan menurun. Sifat tersebut sesuai dengan kurva yang diperlihatkan pada Gambar 10.

Gambar 11. Kekakuan vs Defleksi pada berbagai Cd

Pemodelan matematik dilakukan dengan menggunakan fungsi polinomial sbb:

\[K_{h}^{} = c_{1}^{}.\delta^{3} + c_{2}^{}.\delta^{2} + c_{3}^{}.\delta + c_{4}^{}.\delta^{0.5} + c_{5}^{}.\delta^{0.25} + c_{6}^{}.\delta^{0.1} + c_{7}^{} \quad (24)\]

Koefisien persamaan (24) untuk berbagai Cd diperlihatkan pada Tabel 2. Pada tabel tersebut, koefisien c₁ hingga c₆, tidak sama dengan nol, sehingga bantalan yang dikaji memiliki sifat non-linear

Tabel 2. Tabel koefisien suaian kurva polinomial kekakuan vs defleksi

3.3. Hubungan lainnya

Pada beberapa kasus prediksi respon getaran, K merupakan besaran yang tidak diketahui. Untuk itu perlu dicari hubungan antara kekakuan dengan parmeter lain yang diketahui. Dalam hal ini parameter tersebut adalah gaya radial. Hubungan tersebut dinyatakan pada kurva yang diperlihatkan pada Gambar 12.

Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan matematik dengan konstanta yang diperoleh dari suaian kurva sebagai berikut :

\[K_b = c_1 \cdot F^3 + c_2 \cdot F^2 + c_3 \cdot F + c_4 \cdot F^{0.5} + c_5 \cdot F^{0.1} + c_6 \cdot (25)\] dengan konstanta polinomial yang terdapat pada Tabel 3.

Tabel 3. Tabel koefisien suaian kurva polinomial

gaya radial vs kekakuan Cd (µm) Cı 1 75 2 42F 1.56F+0 -6.50F+0! 3 13F+0 7 90F+0 6.70F 5.05F+06 4 14F+05 1.05F+08 -2 86F+02 3 86F+06 20 -9.79E+0 1.77E 2.77E+0 -9.13E+04 1.17E+08 1.00E-0 200 -5.43E+00 4.62E+04 -1.44E+05 1.21E+08

Gambar 12. Gaya radial vs kekakuan pada berbagai Cd

4. KESIMPULAN

Berdasarkan kaji komputasional pengaruh beban dan keausan terhadap kekakuan bantalan rol, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

• Pengaruh keausan (Cd) pada bantalan rol (NTN N305) terhadap kekakuan, dapat diperoleh dengan menggunakan metode kontak Hertzian. Berdasarkan hasil kaji komputasional terlihat bahwa peningkatan Cd mengakibatkan penurunan kekakuan bantalan.
• Penurunan kekakuan bantalan rol akibat peningkatan Cd cukup signifikan. Pada Gambar 9, untuk kasus bantalan uji dengan beban 85kgf teramati bahwa peningkatan Cd dari 2 μm menjadi 3 μm, kekakuan bantalan akan turun sekitar 10⁸ [N/m].
• 3. Hasil suaian kurva atas hasil kaji komputasional ini menunjukkan bahwa kekakuan bantalan uji untuk rentang beban dari nol sampai 600 N adalah nonlinear. Untuk beban lebih besar dari 600 N, nilai Cd yang kecil (1,75 sampai 5 μm) menunjukkan kekakuan yang lebih non-linear dibandingkan dengan nilai Cd yang besar. Hal tersebut teramati dari pendekatan polinomial (pers. (24) dan (25)), dengan koefisien yang dinyatakan pada Tabel 2 dan 3, maupun Gambar 12.

5. DAFTAR PUSATAKA

• 1. Tiwari, R., Vyas, N.S., Estimation of non-linear stiffness parameters of rolling element bea-rings from random response of rotor-bearing systems, Journal Sound and Vibration, 1995.
• 2. AV Technology Ltd., E-mail Publication, Case 3, Bearing Outer Race Defect
• 3. Palmgren, A., Ball and Rolling Bearing Analysis, Philadelphia, SKF Industri, Inc., 3rd edition., 1959
• 4. Harris A.T., Rolling Bearing Analysis, John Willey & Sons Inc., 1991
• 5. McFadden, P.D., Smith, J.D., Vibration monitoring of rolling element bearings by the high frequency resonance technique – a review, International Journal of Tribology 17, 3 -10 , 1984.
• 6. Sunnersjo, C.S., Rolling element bearing vibrations – the effects of geometrical imperfections and wear, Jurnal of Sound and Vibration 98, 445-474, 1985.
• 7. White, M.F., Rolling element bearing vibration transfer characteristics: Effect of stiffness, Journal Applied Mechanics, 46, 677-684 (1979).
• 8. Lim, T.C., Singh, R., Vibration transmission through rolling element bearings, Part I : Bearing stiffness formulation, Journal of Sound and Vibration, 139(2), 179-199, 1990.

• 9. Irwanto, Kaji teoritik dan analisis respons getaran sistem poros-rotor yang ditumpu oleh bantalan rol, Tesis Magister, Program Studi Teknik Mesin, Program Pascasarjana ITB, 1997
• 10. Iskandar, I.S., Kaji eksperimental dan analisis teoritik respons getaran sistem poros-rotor karena massa tak seimbang dan cacat pada bantalan, Thesis Magister, Program Studi Teknik Mesin, Program Pascasarjana ITB, 1997.
• 11. Tjahjowidodo T., Bagiasna K., Abidin Z., Irwanto, Respons getaran non-linear pada sistem porosrotor, Bagian I: Pengaruh celah bantalan, Procedings ITB, Vol. 32, No. 1, 2000.
• 12. Technology Article from issue 1/96, Evolution SKF.com
• 13. Wensing, J. A., On the dynamics of ball bearings, Ph.D thesis, University Twente, Enshede, The Netherlands, 1998
• 14. Schwab, A.L., Meijaard, J.P., Meijers, P., A Comparaison of revolute joint clearance models in the dynamic analysis of rigid and elastic mechanical systems, Mechanism and Machine Theory, 2002, Vol.37, pp. 895-913.