1. Pendahuluan
Banyak masalah nyata mempunyai perilaku dinamik yang kompleks. Hal ini mengakibatkan model matematika yang mempresentasikan perilaku dinamik tersebut juga bersifat kompleks karena melibatkan banyak variable dan parameter.
Analisis dinamik struktur balok menjadi kompleks, bila diperhitungkan pengaruh gaya inersia yang dihasilkan akibat adanya perpindahan struktur yang dipengaruhi besaran massa. Analisis yang paling sesuai dan mendekati kondisi sesungguhnya pada kasus ini, karena massa balok terdistribusi sepanjang bentang, perpindahan dan percepatan yang harus
1. - Mahasiwa S3, Departemen Teknik Sipil, Institut Teknologi Bandung.
- Staf Pengajar Jurusan Teknik Sipil, Universitas Mercu Buana, Jakarta.
2. Staf Pengajar & Guru Besar Departemen Teknik Sipil, Institut Teknologi Bandung.
terdefinisi untuk setiap titik sepanjang bentang, adalah persamaan differensial [Paz. 1990].
Kadangkala dilakukan penyederhanaan masalah. Massa balok dianggap terkonsentrasi pada sejumlah titik tertentu. Demikian juga perpindahan dan percepatan hanya ditinjau pada titik tertentu itu pula (koordinat diskrit). Cara ini menguntungkan jika bentuk strukturnya cukup rumit, namun hasil yang diperoleh tentulah kurang mendekati kondisi sesungguhnya.
Pemodelan gerak dinamik balok dalam bentuk persamaan differrensial dimana posisi setiap titik pada balok merupakan variabel yang terpisah, biasa dikenal juga dengan sistim dengan parameter/sifat-sifat terbagi rata
Cara ini merupakan usaha mempresentasikan kondisi nyata balok yang paling mendekati kondisi sesungguhnya. Sehingga metoda ini merupakan teori eksak dalam penyelesaian gerak dinamik struktur balok.
2. Gerak Dinamik Balok
Gerak dinamik balok dapat dimodelkan dalam bentuk :
2.1 Sistim berkoordinat diskrit dan parameter terkelompok
Pada sistim ini masa balok dianggap terkelompok pada tempat-tempat yang ditentukan guna penyederhanaan masalah. Sistem ini cukup praktis dan mudah diselesaikan pada gerak dinamik sembarang struktur. Namun hasil yang diperoleh hanyalah merupakan pendekatan dari sifat gerak dinamik yang sebenarnya, karena pergerakan sistim diwakili oleh beberapa tempat yang ditentukan.
Pengaruh inersia pada struktur dengan sistim ini dapat berbentuk :
2.1.1 Massa terkelompok (lumped-mass)
Cara ini adalah cara termudah dalam meninjuau sifat inersia sebuah sistim dinamis. Massa struktur dianggap terkelompok/terkonsentrasi pada tempat / titik tertentu (koordinat modal) dimana terjadi perpindahan translasi.
2.1.2 Massa sepadan (consistent-mass)
Dengan menggunakan massa sepadan, sistim pergerakan dinamis struktur lebih rasional dibanding massa terkelompok, dimana pengaruh inersia rotasi pada kelompok massa ikut diperhitungkan.
2.2 Sistim dengan parameter yang terbagi rata (distributed - parameter systems)
Ada 2 teori yang lazim digunakan pada sistim ini, yakni :
2.2.1 Teori Euler-Bernoulli
Teori Euler-Bernoulli mengasumsikan bahwa bidang penampang yang tegak lurus sumbu balok akan tetap tegak setelah terjadi deformasi pada balok (lihat Gambar 2.1).
Berdasarkan keseimbangan gaya dan momen pada freebody Gambar 2.1 (b), serta memperhatikan hubungan gaya geser dengan momen dan hubungan momen dengan
\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( EI \frac{\partial^2 y}{\partial^2 x} \right) + m \frac{\partial^2 y}{\partial^2 t} = p(x, t)\] (2.1)
kelengkungan, diperoleh persamaan gerak balok Euler Bernoulli sebagai berikut [Clough and Penzien, 1975],
2.2.2 Teori Timoshenko
Teori Timoshenko merupakan pengembangan dari teori Euller-Bernoulli. Penampang yang tegak lurus terhadap sumbu balok / struktur sebelum berdeformasi, tidak tegak lurus lagi terhadap sumbu terhadap sumbu balok setelah terjadi deformasi. (lihat Gambar 2.2).
Ada dua faktor tambahan yang ikut diperhitungkan pada teori Timoshenko ini, yaitu deformasi sudut akibat gaya geser dan inersia rotasi akibat percepatan
a. Balok dengan beban merata
b. Badan bebas setelah deformasi
Gambar 2.1 Balok Euler-Bernoulli dengan massa dan beban terbagi rata [Clough and Penzien, 1975]
a. Deformasi badan bebas balok
b. Gaya-gaya yang bekerja pada badan bebas balok
Gambar 2.2. Effek deformasi geser dan inersia rotasi pada balok Timoshenko [Clough and Penzien, 1975]
perputaran sudut.
\[EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \rho A\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \rho I \left(\frac{E}{kG} + 1\right) \frac{\partial^4 y}{\partial x^2 \partial t^2} + \frac{\rho^2 I}{kG}\frac{\partial^4 y}{\partial t^4}\]
\[= p + \frac{EI}{kGA} \left( \frac{\rho}{E} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \right)\] Define a gain memperhatikan memperhatikan kecaimbangan gaya yartikal & memperhatikan
keseimbangan gaya vertikal & momen, hubungan gaya geser dengan momen dan hubungan momen dengan kelengkungan, serta hubungan gaya geser V dengan sudut geser \(\delta\) (V = k A G \(\delta\) [Clough and Penzien, 1975]) pada badan bebas Gambar 2.2b, diperoleh persamaan getar balok Timoshenko [Clough and Penzien, 1975]
Persamaan (2.1) dengan mudah dapat diselesaikan secara analitik & numerik yang sederhana [Clough
\[EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \rho A\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \rho I\left(\frac{E}{kG} + 1\right)\frac{\partial^4 y}{\partial x^2 \partial t^2} + \frac{\rho^2 I}{kG}\frac{\partial^4 y}{\partial t^4} = 0\] and Penzien, 1975], [Paz, 1990], namun tidak demikian halnya untuk persamaan (2.2), diperoleh \(y(x,t) = \phi(x) f(t) = \phi(x) (B\cos(\omega t) + C\sin(\omega t))\) (3.2)
persamaan yang cukup rumit, sehingga penyelesaian bentuk ini sering dilakukan secara diskrit dengan \(\left\{ a^2 s^4 + b \, \omega^2 s^2 + \omega^2 \left( c \omega^2 - 1 \right) \right\} = 0 \; , \; \text{dimana} : \; \begin{array}{c} m \, a \, s \, s \, a \\ \text{sepadan} \end{array}\) \(a^2 = \frac{EI}{\rho A} \; ; \; b = \frac{I}{A} \left( E / _{kG} + 1 \right) \; ; \; c = \frac{\rho I}{kGA} \; \begin{array}{c} p \, a \, d \, a \\ s \, u \, b \end{array}\)
\(s_1^2 = \omega_1^2 \left( -c_1 + h \right) & s_2^2 = \omega_1^2 \left( -c_1 - h \right) \quad (3.4)\)
Getaran Bebas
\[\omega_1^{\ 2} = \ \omega^2 \, \frac{\rho}{2E} \ ; \ c_1 = \left(\frac{E}{kG} + 1\right); \ \ \ \ \ \frac{\ \ Balok}{\ \ Timoshenko}\]
\[h = \sqrt{\left(1 - \frac{E}{kG}\right)^2 + \frac{4EA}{\omega^2 \rho I}} \begin{array}{c} Getaran & bebas & balok \\ Timoshenko & diperoleh \\ dengan & memberi & nilai & 0 \end{array}\]
sesudah tanda sama dengan pada persamaan (2.2), jakni
1. \[\phi(x)_a = D_1 \cos \beta_3 x + D_2 \sin \beta_3 x + D_3\];
\[\omega^2 = \frac{kGA}{\rho I} \frac{Misalkan}{persamaan} \frac{solusi}{(3.1)} di \text{ atas } (3.5)\]
2. \[\phi(x)_b = D_1 \cos \beta_1 x + D_2 \sin \beta_1 x + D_3 \cos \beta_3 x + D_4 \sin \beta_3 x ;\] \[\omega^2 \rangle \frac{kGA}{cl} \text{ adalah} : \qquad (3.6)\]
3. \(\phi(x)_c = D_1 \cosh \beta_2 x + D_2 \sinh \beta_2 x + D_3 \cos \beta_3 x + D_4 \sin \beta_3 x\); Akan diperoleh persamaan karakteristik yang (3.7) berhubungan dengan persamaan (3.1) di atas
\[\beta_1 = \omega \sqrt{\frac{\rho}{2E} \left\{ \left( \frac{E}{kG} + 1 \right) - \sqrt{\left( 1 - \frac{E}{kG} \right)^2 + \frac{4EA}{\omega^2 \rho I}} \right\}} \quad (3.8)\]
\[\beta_2 = \omega \sqrt{\frac{\rho}{2E}} \left\{ \sqrt{\left(1 - \frac{E}{kG}\right)^2 + \frac{4EA}{\omega^2 \rho I}} - \left(\frac{E}{kG} + 1\right) \right\}\] (3.9)
\[\beta_3 = \omega \sqrt{\frac{\rho}{2E} \left\{ \left( \frac{E}{kG} + 1 \right) + \sqrt{\left( 1 - \frac{E}{kG} \right)^2 + \frac{4EA}{\omega^2 \rho I}} \right\}} (3.10)\]
diperoleh, dimana
\(\begin{cases} a^2s^4 - \omega^2 \\ = 0 \end{cases} = 0 \tag{4.1}\) Ada tiga kemungkinan yang terjadi pada nilai \(S_1^2\), yaitu : \(c_1 = h\), \(c_1\)) h atau \(c_1\) (h, \(\phi(x) = D_1 \cos \beta x + D_2 \sin \beta x + D_3 \cosh \beta x + D_4 \sinh \beta x\), dimana \(\beta = \sqrt{\frac{\omega}{a}}\) sehingga diperoleh 3 kemungkinan bentuk persamaan pola getar \(\phi(x)\) balok, yakni
Dimana \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\), dan \(D_4\), merupakan konstanta yang diperoleh dari syarat batas, dan
\[\phi(0) = \phi'(0) = \phi''(\ell) = \phi'''(\ell) = 0 \tag{5.1}\]
4. Getaran \(tg \beta_3^2 \ell = -1\) Bebas Balok Euler-Bernoulli kGA
Untuk balok Euler-Bernoulli, dimana pengaruh gaya geser dan perputaran sudut diabaikan maka suku ke 3 dan ke 4 dari persamaan (3.1) tidak ada, atau pengaruh koefisien b dan c pada persamaan
\[2\beta_1\beta_3^3\cos\beta_1\ell\cos\beta_3\ell+\sin\beta_1\ell\sin\beta_3\ell(\beta_3^4+\beta_1^2\beta_3^2)\\ = \frac{\beta_3}{\beta_1}(\beta_1^4+\beta_3^4) \quad \text{(3.3) tidak ada, sehingga bentuk persamaan}\\ \text{karakteristik dari balok Euler-Bernoulli lebih sederhana, yakni}\]
bentuk persamaan pola getar \(\phi(x)\) balok
\[\omega^2 = \psi \, \frac{kGA}{\rho I}\] 5. Ragam Getar dan \(\omega^2 \rangle \, \frac{kGA}{\rho I}\) Frekuensi \(\omega^2 \rangle \, \frac{kGA}{\rho I}\) Getar Alami Balok Kantilever
Pada ujung terjepit (x = 0) dari balok, simpangan dan perputaran sudut harus sama dengan nol dan pada
\[\left(\sqrt{3-\frac{3}{\psi}}\right)\left\{\left(\sqrt{3-\frac{3}{\psi}}\right)\cos\beta_{1}\ell\cos\beta_{3}\ell+2\sin\beta_{1}\ell\sin\beta_{3}\ell\right\} \\ = \left\{\beta + \frac{3}{\psi}\right\} \text{ dan } \psi \rangle 1 \\ \text{ ujung bebas } (x = \mathbf{1})\] (5.4)
\(\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\)
\(\omega^2 (\frac{kGA}{\rho^T} a)\) Substitusi syarat batas (5.1) ke persamaan (3.4), diperoleh \(\rightarrow\) tidak mungkin
\[\beta_2^4 + \beta_3^4 + 2\beta_2^2 \beta_3^2 \cosh \beta_2 \ell \cos \beta_3 \ell + \tag{5.5}\]
Dengan demikian kondisi tidak terjadi.
b) Substitusi syarat batas (5.1) ke persamaan (3.5), didapat persamaan karakteristik
Diperoleh satu persamanaan dengan 2 variabel yang belum diketahui yaitu \(\beta_{1\,dan}\,\beta_{3}\). Namun jika diperhatikan persamaan (3.18) dan (3.19), terlihat \(\cosh\beta\ell\cos\beta\ell=-1\) bahwa kedua variabel tersebut saling berhubungan.
Untuk itu diperkenalkan suatu faktor/variabel baru \(\Psi\), dimana :
\[\beta_n \, \ell \approx \big(2n-1\big) \frac{\pi}{2} \ \ \, , \, dimana \; n = 4,5, \; \ldots . \, dst. \qquad (5.7)\] \[\Psi \; bernilai \; > \; 1, \; untuk \; kondisi \; , \\ dan \; bernilai \; < \; 1 \; untuk \; kondisi \; , \label{eq:bernilai}\]
Untuk penampang empat persegi, maka ([Clough and Penzien, 1975] hal 319), sehingga persamaan (5.2) menjadi
Akan diperoleh bahwa tidak ada nilai yang dapat memenuhi persamaan (5.4), sehingga kondisi juga tidak mungkin terjadi
c) Akhirnya kondisi yang memungkinkan adalah jika
\[\begin{split} f(\psi) &= A + B \cosh \beta_2 \ell \cos \beta_3 \ell + S u b s t i t u s i \\ C \sinh \beta_2 \ell \sin \beta_3 \ell &= 0 & s y a r a t \\ batas & (5.1) & ke \end{split}\]
A = \[\beta_2^4 + \beta_3^4\]; B = \(2\beta_2^2\beta_3^2\); C = \(\beta_2\beta_3(\beta_3^2 - \beta_2^2)\) (5.9)
\[\beta_{2} = \sqrt{\frac{\psi}{3 r^{2}} \left\{ \left( 1 + \frac{3}{\psi} \right)^{\frac{1}{2}} - 2 \right\}} ; \quad \beta_{3} = \alpha \beta_{2} ;\] \[\alpha = \left( 2 + \sqrt{1 + \frac{3}{\psi}} \right) \left( \sqrt{\frac{3}{\psi} - 3} \right)^{-1}\] (5.10)
Pasangan nilai \(\Psi\), \(\beta_2\) & \(\beta_3\) yang memberikan \(f(\Psi)\) = 0 merupakan solusi persamaan (5.8). Dan nilai \(\Psi\) yang memberikan = 0 pertama kali, ke 2, ke 3 dst merupakan ragam (mode) ke 1, ke 2, ke 3 dst dari getaran bebas balok kantilever.
Nilai tersebut dapat ditentukan secara numerik dengan metoda Newton-Raphson menurut persamaan
\[\psi_{\text{baru}} = \psi_0 - \frac{f(\psi_0)}{f'(\psi_0)}\]; \(f'(\psi_0)\) adalah turunan pertama \(f(\Psi)\) pada titik \(\Psi_0\)
Iterasi dilakukan sampai dengan nilai \(\Psi_{\text{baru}}\) mendekati nilai \(\Psi_0\), atau \(\Psi_{\text{baru}}\) - \(\Psi_0\)<toleransi yang ditentukan.
Mengingat \(\Psi_0\) yang harus ditentukan lebih dari satu, yaitu untuk ragam 1, 2, 3 dst, maka \(\Psi_0\) awal untuk masing-masing ragam didekati dengan
\[\psi_{0n} = \frac{\omega_{0n}^2 \rho I}{kGA} = \frac{\omega_{0n}^2 \rho r^2}{kG};\] (5.11)
dimana \(\Psi_{0n}\) adalah \(\Psi_0\) awal untuk ragam ke n
\(\Psi_{0n}\)= frekuensi getar alami struktur kantilever tanpa pengaruh inersia rotasi dan deformasi geser
\[= (\beta_n \ell)^2 \sqrt{\frac{EI}{m\ell^4}}\]
Nilai \(\beta_n I\) diperoleh dari penyelesaian secara numerik persamaan (5.7)
Untuk masing-masing \(\Psi_n\) yang diperoleh dapat dihitung pula frekuensi getar alami ragam getarnya menurut persamaan,
\[\omega_{n} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\psi_{n} kG}{\rho}}\] (5.12)
Jika diperhatikan persamaan (5.10), \(\beta_2\) merupakan fungsi akar dari seperti Gambar
Gambar 5.2. Grafik hubungan dengan pada r = 0.04
Hanya ada satu pasangan nilai \(\Psi\) dan \(\beta_2\) untuk setiap ragam getar pada penyelesaian persamaan (5.8) diatas. Untuk itu yang memenuhi syarat hanyalah \(0 < \beta_2 < \beta_{max}\). Untuk penampang empat persegi \(\beta_{max} = 0.36602441/r\), dimana r = jari-jari girasi penampang. Dengan terbatasnya nilai \(\beta_2\), maka terbatas jugalah jumlah ragam getar balok Timoshenko.
6. Studi Kasus
Studi kasus dilakukan pada balok kantilever dengan bentuk penampang empat persegi pejal ukuran 32x32 ft² dan empat persegi berlubang (hollow) dengan ukuran luar 25x25 ft² dan ukuran dalam 20x20 ft².Panjang balok berkisar dari 65.983 ft s/d 700 ft, atau kelangsingan balok (perbandingan antara jari-jari girasi penampang dengan panjang balok - r/I) berkisar antara 0.013 s/d 0.14. Modulus Elastisitas bahan \(5.2 \times 10^8\) lb/ft², Poisson's ratio 0.125 dan rapat massa bahan = 4.658 lb-det²/ft⁴.
Dengan cara yang telah disebutkan di atas diperoleh besaran frekuensi getar alami balok seperti Tabel 6.1 untuk penampang pejal dan Tabel 6.2 untuk penampang berlubang. Berdasarkan kedua tabel tersebut diperoleh grafik hubungan antara frekuensi getar alami struktur dengan r/l pada Gambar 6.1 dan 6.2. Pasangan harga l dan r/l dipilih sedemikian rupa sehingga dapat terlihat dengan jelas bentuk perubahan Grafik hubungan frekwensi getar alami balok terhadap perubahan r/l. Disamping itu juga dapat dilihat perbandingan antara frekwensi getar alami balok Timoshenko berpenampang berlubang dengan penampang pejal pada Tabel 6.3.
Tabel 6.1 Frekuensi getar alami struktur (penampang 4 persegi pejal)
| mode 1 | mode 2 | mode 3 | mode 4 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| L(ft) | r/L | ω | ω′ | Δ (%) | ω | ω′ | ∆(%) | ω | ω' | Δ (%) | ω | ω′ | \(\Delta\) (%) |
| 700 | 0.013 | 0.7 | 0.7 | 1.17 | 4.4 | 4.5 | 1.57 | 12.3 | 13.1 | 6.45 | 24.0 | 23.9 | 0.40 |
| 550 | 0.017 | 1.1 | 1.1 | 1.25 | 7.1 | 7.2 | 2.08 | 19.9 | 21.5 | 8.07 | 38.9 | 37.0 | 4.99 |
| 462 | 0.02 | 1.6 | 1.6 | 1.34 | 10.1 | 10.3 | 2.63 | 28.2 | 27.3 | 3.27 | 55.2 | 51.6 | 6.53 |
| 400 | 0.023 | 2.1 | 2.2 | 1.44 | 13.4 | 13.9 | 3.28 | 37.6 | 37.0 | 1.53 | 73.6 | 67.3 | 8.62 |
| 350 | 0.026 | 2.8 | 2.8 | 1.56 | 17.5 | 18.2 | 4.09 | 49.1 | 49.5 | 0.78 | 96.2 | 85.8 | 10.81 |
| 300 | 0.031 | 3.8 | 3.9 | 1.74 | 23.9 | 23.9 | 0.27 | 66.8 | 70.0 | 4.79 | 131 | 113 | 13.80 |
| 275 | 0.034 | 4.5 | 4.6 | 1.88 | 28.4 | 28.1 | 1.03 | 79.5 | 73.8 | 7.23 | 156 | 131 | 15.69 |
| 250 | 0.037 | 5.5 | 5.6 | 2.05 | 34.4 | 33.6 | 2.30 | 96.2 | 92.6 | 3.71 | 189 | 155 | 17.96 |
| 240 | 0.038 | 5.9 | 6.1 | 2.14 | 37.3 | 36.2 | 2.77 | 104 | 103 | 1.77 | 205 | 166 | 18.99 |
| 231 | 0.04 | 6.4 | 6.6 | 2.23 | 40.3 | 39.0 | 3.06 | 113 | 113 | 0.39 | 221 | 177 | 20.00 |
| 200 | 0.046 | 8.6 | 8.8 | 2.63 | 53.7 | 51.3 | 4.36 | 150 | 139 | 7.71 | 295 | ||
| 154 | 0.06 | 14.4 | 15.0 | 3.77 | 90.5 | 83.4 | 7.89 | 254 | 498 | ||||
| 115 | 0.08 | 25.7 | 27.3 | 6.09 | 161 | 141 | 12.67 | 452 | 885 | ||||
| 92 | 0.1 | 40.2 | 43.9 | 9.39 | 252 | · | 706 | 1383 | |||||
| 77 | 0.12 | 57.8 | 65.9 | 14.03 | 363 | 1016 | 1991 | ||||||
Keterangan:
- ω' = frekuensi getar balok Timoshenko
- ω = frekuensi getar alami balok Euler-Bernoulli
- r = 9.238 ft
- Δ = persentase perbedan frekuensi
Gambar 6.1. Grafik hubungan frekuensi getar alami balok dengan \(\lceil / \rceil\) pada mode 1,2,3 dan 4 untuk penamang empat persegi pejal
Tabel 6.2. Frekuensi getar alami balok penampang 4 persegi berlubang (hollow)
| mode 1 | mode 2 | mode 3 | mode 4 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| L(ft) | r/L | ω | ω′ | Δ (%) | ω | ω′ | Δ (%) | ω | ω′ | Δ (%) | ω | \(\omega'\) | Δ (%) |
| 700 | 0.013 | 0.7 | 0.7 | 1.19 | 4.4 | 4.5 | 1.57 | 12 | 13 | 6.45 | 24 | 24 | 0.40 |
| 550 | 0.017 | 1.1 | 1.1 | 1.25 | 7.1 | 7.2 | 2.08 | 20 | 21 | 8.07 | 39 | 37 | 4.99 |
| 462 | 0.02 | 1.6 | 1.6 | 1.34 | 10.1 | 10.3 | 2.63 | 28 | 27 | 3.27 | 55 | 52 | 6.53 |
| 400 | 0.023 | 2.1 | 2.2 | 1.44 | 13.4 | 13.9 | 3.28 | 38 | 37 | 1.52 | 74 | 67 | 8.62 |
| 350 | 0.026 | 2.8 | 2.8 | 1.56 | 17.5 | 18.3 | 4.10 | 49 | 49 | 0.79 | 96 | 86 | 10.82 |
| 300 | 0.031 | 3.8 | 3.9 | 1.74 | 23.9 | 23.9 | 0.27 | 67 | 70 | 4.81 | 131 | 113 | 13.81 |
| 275 | 0.034 | 4.5 | 4.6 | 1.88 | 28.4 | 28.1 | 1.03 | 80 | 74 | 7.21 | 156 | 131 | 15.71 |
| 250 | 0.037 | 5.5 | 5.6 | 2.05 | 34.4 | 33.6 | 2.31 | 96 | 93 | 3.69 | 189 | 155 | 17.98 |
| 240 | 0.039 | 6.0 | 6.1 | 2.14 | 37.3 | 36.3 | 2.77 | 104 | 103 | 1.75 | 205 | 166 | 19.00 |
| 231 | 0.04 | 6.4 | 6.6 | 2.23 | 40.2 | 39.0 | 3.06 | 113 | 113 | 0.39 | 221 | 177 | 20.00 |
| 200 | 0.046 | 8.6 | 8.8 | 2.63 | 53.7 | 51.4 | 4.36 | 150 | 139 | 7.67 | 295 | ||
| 154 | 0.06 | 14.4 | 15.0 | 3.77 | 90.5 | 83.4 | 7.89 | 254 | 497 | ||||
| 116 | 0.08 | 25.7 | 27.2 | 6.09 | 161 | 141 | 12.67 | 451 | 884 | ||||
| 92 | 0.1 | 40.1 | 43.9 | 9.39 | 252 | 705 | 1382 | ||||||
| 77 | 0.12 | 57.8 | 65.9 | 14.03 | 363 | 1015 | 1990 | ||||||
Keterangan:
- \(\omega'\) = frekuensi getar alami alami balok
- φ = frekuensi getar alami balok Euler- Bernoulli
- r = 9.238 ft
- Δ = persentase perbedaan frekuensi
Gambar 6.2. Grafik hubungan frekuensi getar alami balok dengan \(\frac{r}{\ell}\) pada mode 1,2,3 dan 4 untuk penamang empat persegi berlubang
Tabel 6.3. Perbandingan frekwensi getar alami penampang berlubang (hollow) dengan penampang pejal pada balok Timoshenko
| Frekwensi getar alami (ω)' | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mode 1 | mode 2 | mode 3 | mode 4 | ||||||||||
| L(ft) | r/L | hollow | pejal | Δ (%) | hollow | pejal | \(\Delta\) (%) | hollow | pejal | Δ (%) | hollow | pejal | Δ (%) |
| 700 | 0.013 | 0.708 | 0.708 | 0.06 | 4.453 | 4.451 | 0.05 | 13.068 | 13.062 | 0.05 | 23.962 | 23.950 | 0.05 |
| 550 | 0.017 | 1.148 | 1.147 | 0.05 | 7.249 | 7.246 | 0.05 | 21.491 | 21.479 | 0.05 | 37.025 | 37.004 | 0.06 |
| 461.88 | 0.02 | 1.627 | 1.628 | 0.05 | 10.326 | 10.331 | 0.05 | 27.250 | 27.263 | 0.05 | 51.595 | 51.621 | 0.05 |
| 400 | 0.023 | 2.173 | 2.172 | 0.05 | 13.868 | 13.861 | 0.05 | 37.025 | 37.004 | 0.06 | 67.321 | 67.289 | 0.05 |
| 350 | 0.026 | 2.842 | 2.841 | 0.05 | 18.256 | 18.247 | 0.05 | 49.492 | 49.463 | 0.06 | 85.819 | 85.785 | 0.04 |
| 300 | 0.031 | 3.875 | 3.874 | 0.05 | 23.935 | 23.924 | 0.05 | 70.053 | 70.008 | 0.06 | 112.89 | 112.85 | 0.04 |
| 275 | 0.034 | 4.618 | 4.616 | 0.05 | 28.114 | 28.101 | 0.05 | 73.808 | 73.760 | 0.07 | 131.39 | 131.35 | 0.04 |
| 250 | 0.037 | 5.598 | 5.595 | 0.05 | 33.581 | 33.566 | 0.05 | 92.695 | 92.629 | 0.07 | 154.70 | 154.65 | 0.03 |
| 240 | 0.038 | 6.079 | 6.076 | 0.05 | 36.263 | 36.247 | 0.05 | 102.61 | 102.53 | 0.07 | 165.76 | 165.70 | 0.03 |
| 230.94 | 0.04 | 6.565 | 6.568 | 0.05 | 39.010 | 39.029 | 0.05 | 113.12 | 113.17 | 0.05 | 176.65 | 176.74 | 0.05 |
| 200 | 0.046 | 8.796 | 8.791 | 0.05 | 51.367 | 51.344 | 0.04 | 138.85 | 138.72 | 0.09 | |||
| 153.96 | 0.06 | 14.993 | 14.99 | 0.00 | 83.402 | 83.403 | 0.00 | ||||||
| 115.47 | 0.08 | 27.250 | 27.26 | 0.05 | 140.57 | 140.64 | 0.05 | ||||||
| 92.38 | 0.1 | 43.901 | 43.92 | 0.05 | |||||||||
| 76.98 | 0.12 | 65.902 | 65.93 | 0.05 | |||||||||
Keterangan:
Δ: persentase perbedaan frekuensi getar alami antara penampang berlubang dengan penampang pejal pada balok Timoshenko
7. Kesimpulan
Dari hasil studi kasus yang dilakukan terlihat bahwa :
- 7.1. Dengan menggunakan teori Timoshenko yang memperhitungkan pengaruh inersia rotasi dan deformasi geser, kelangsingan balok (r/l) menentukan jumlah ragam getar (mode) balok. Ini terlihat dari Tabel 6.1, dan 6.2 maupun Gambar 6.1 dan 6.2. Makin besar r/l , makin sedikit jumlah ragam getar balok. Untuk penampang empat persegi dengan r/l > 0.1 jumlah ragam getar yang terjadi hanya satu macam yaitu ragam ke satu saja. Sedangkan jika digunakan teori Euler-Bernoulli jumlah ragam getar balok yang terjadi tak terhingga untuk semua ukuran balok.
- 7.2. Pada r/l yang kecil, pengaruh inersia rotasi dan deformasi geser sangat kecil. Dari Gambar 6.1 s/ d 6.2, makin besar r/l makin berarti juga pengaruh inersia rotasi dan deformasi geser, terutama pada mode yang rendah .
- 7.3. Pengaruh inersia rotasi dan deformasi geser agak kurang beraturan pada ragam getar 3.
- 7.4. Dari Tabel 6.3 terlihat bahwa perbedaan frekuensi getar alami antara balok Timoshenko berpenampang pejal dengan balok berpenampang berlubang (hollow) untuk r/l yang sama, sangat kecil yaitu dibawah 6 %. Dengan kata Frekuensi Getar balok Timoshenko hanya dipengaruhi oleh nilai r /l penampang.