1. Latar Belakang

Harga suatu fungsi dapat didekati dengan polinomial Lagrange, sehingga differensial dari fungsi dapat dinyatakan dengan differensial dari polinomial Lagrange tersebut. Sesuai dengan namanya, polinomial Lagrange adalah berbentuk polinomial, dimana turunannya dapat dihitung dengan mudah. Dengan demikian, bila fungsi pada persamaan differensial didekati dengan polinomial Lagrange, maka differensial fungsi dapat digantikan dengan differensial dari polinomial Lagrange. Selanjutnya dengan memasukan harga syarat batas, diperoleh harga fungsi pada titik-titik polinomial.

Dengan polinomial Lagrange ini dihasilkan suatu metoda yang serupa dengan metoda selisih hingga, dengan kelebihan perhitungan dengan ukuran grid yang tidak seragam dapat dilakukan tanpa memerlukan

formulasi khusus. Dengan metoda ini perhitungan pada domain yang memerlukan ukuran grid yang tidak seragam dapat dilakukan dengan mudah. Sehingga metoda ini juga mirip dengan metoda elemen hingga. Metoda elemen hingga untuk elemen garis dan elemen segiempat menggunakan shape function yang dapat diturunkan dengan menggunakan polinomial Lagrange [Stasa L. Frank, 1986], [Zienkiewicz, O.C., Morgan, K]. Perbedaannya adalah bahwa pada metoda elemen hingga terdapat proses minimalisasi kesalahan baik dengan menggunakan weighted residual method maupun variational principle.

Kemudahan lain yang diberikan pada metoda polinomial Lagrange ini adalah bahwa, sebagaimana halnya pada metoda selisih hingga, pada pengerjaan dengan skema explisit tidak memerlukan operasi matrix.

Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 29 Nopember 2005 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 30 Desember 2005 - 7 April 2006. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 7 April 2006 hingga 8 Mei 2006.

^1. Staf Pengajar PST Kelautan-ITB

2. Polinomial Lagrange

Berdasarkan [Anderson John D. JR], suatu fungsi f(x) dapat didekati dengan polinomial Lagrange, yaitu :

\[f(x) = \sum_{i=1}^{n} L_i(x) f_i\] (2.1)

Dimana

\(L_i(x)\) = polinomial Lagrange untuk titik ke i

\[L_i(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_j).....(x - x_n)}{(x_i - x_1)(x_i - x_2)(x_i - x_3)(x_i - x_j).....(x_i - x_n)}\]

dimana \[i = 1, 2, 3 \dots n, J = 1, 2, 3\] (2.2) ...... \(n \neq i\)

Untuk suatu domain yang dibagi atas 3 titik, seperti pada Gambar 2.1., maka:

Gambar 2.1. Ilustrasi polinomial lagrange

\[L_{I} = \frac{(x - x_{2})(x - x_{3})}{(x_{1} - x_{2})(x_{1} - x_{3})}\](2.3a)

\[L_2 = \frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)}\] (2.3b)

\[L_3 = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]Selanjutnya \(f(x)\) pada domain tercebut danat

didekati dengan polinomial Lagrange, vaitu:

\[f(x) = \sum_{i=1}^{n} L_i(x) f_i\] \[f(x) = L_1(x) f_1 + L_2(x) f_2 + L_3(x) f_3\] (2.4)

Harga-harga fungsi pada \(x_1 \le x \le x_3\), dapat dihitung dengan Persamaan (2.4) dengan diketahuinya \(f_1\), \(f_2\) dan \(f_3\). Demikian juga dengan harga-harga turunan df / dx pada \(x_1 \le x \le x_3\) termasuk pada \(x = x_1\), \(x_2\) dan \(x_3\) dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan

\[\frac{df}{dx} = \frac{dL_1}{dx} f_1 + \frac{dL_2}{dx} f_2 + \frac{dL_3}{dx} f_3 \qquad (2.5)\]

Pemakaian polinomial Lagrange untuk menyelesaikan persamaan differensial ini tidak berarti bahwa Persamaan (2.1) dikerjakan pada seluruh domain sekaligus, walaupun hal ini memungkinkan, tetapi dikerjakan persegmen garis atau sub domain. Untuk domain seperti pada Gambar (2.2), maka pengerjaan polinomial Lagrange misal dengan 3 titik polinomial

Gambar 2.2. Segmentasi pada pengerjaan polinomial Lagrange

adalah sebagai berikut

Terlihat pada Gambar (2.2) bahwa turunan titik 1 akan dinyatakan oleh harga fungsi pada titik 1, 2 dan 3, hal ini serupa dengan metoda selisih hingga pada skema forward-difference, sedangkan pada titik-titik 2, 3 ........... n-1 akan serupa dengan central-difference, sedangkan pada titik ke n akan serupa dengan backward-difference. Keuntungan lain dari penggunaan polinomial Lagrange adalah bahwa segmen domain dapat dengan mudah diperluas, misal segmen domain dengan 4, 5, 6 dan 7 titik polinomial. Penggunaan segmen dengan 2 titik adalah menjadi pendekatan linier, dengan 3 titik adalah pendekatan kuadratis dan seterusnya.

3. Koefisien Differensial

Yang dimaksud dengan koefisien differensial adalah harga dL_i/dx pada Persamaan (2.5). Koefisien ini dapat langsung dihitung dengan menggunakan definisi dari polinomial Lagrange seperti pada Persamaan (2.2). Tetapi hal ini tentunya kurang praktis bila setiap saat harus menghitung koefisien turunan. Untuk mengatasi hal tersebut, maka dilakukan transformasi koordinat, dari sistim koordinat x, ke sistim koordinat kurvilinier \(\xi\), dengan domain \(-1 \le \xi \le 1\).

Transformasi koordinat pada suatu segmen domain \(x = \sum_{i=1}^{n} L_i(\xi) x_i\) menggunakan Persamaan (3.1)

n = jumlah titik pada segmen domain

\(L_i\) (\(\xi\)) polinomial Lagrange dalam sistim koordinat \(\xi\), mempunyai bentuk yang sama seperti pada Persamaan (2.2) dimana x diganti dengan \(\xi\). \(f(\xi) = \sum_{i=1}^{n} L_i(\xi) f_i \text{ Sedangkan } f \text{ pada suatu} \quad (3.2)\) segmen domain juga dilakukan pendekatan yang sama yaitu:

\[\frac{df}{d\xi} = \frac{df}{dx} \frac{dx}{d\xi}\] Korelasi antara turunan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada domain \(x\) dengan pada doma

dx/dξ dikenal dengan matrix Jacobian, dalam hal ini \(\frac{d x}{d \xi} = \sum_{i=1}^{n} \frac{d L_i}{d \xi} x_i \text{ adalah (1 x 1). Matrix Jacobian ini dapat}\)

dihitung dengan menggunakan Persamaan (3.1), yaitu:

Transformasi koordinat pada Persamaan (3.1), memungkinkan bahwa, walaupun pada domain x digunakan ukuran grid yang tidak seragam, dapat ditransformasikan ke domain \(\xi\) dengan ukuran grid yang seragam, seperti terlihat pada Gambar (3.1)

Pada grid dengan ukuran seragam ini (pada sistim koordinat \(\xi\)), dapat dihitung koefisien turunan yang berharga tetap yang hanya tergantung pada jumlah titik

\[L_{1}(\xi) = \frac{\left(\xi - \xi_{2}\right)\left(\xi - \xi_{3}\right)}{\left(\xi_{1} - \xi_{2}\right)\left(\xi_{1} - \xi_{3}\right)} \text{ a. } \mathbf{Koefisien}\] \[L_{2}(\xi) = \frac{\left(\xi - \xi_{1}\right)\left(\xi - \xi_{3}\right)}{\left(\xi_{2} - \xi_{1}\right)\left(\xi_{2} - \xi_{3}\right)} \text{ a. } \mathbf{Koefisien}\] \[\mathbf{turunan} \quad \mathbf{untuk}\] \[\mathbf{segmen} \quad \mathbf{domain}\] \[\mathbf{dengan} \quad \mathbf{3} \quad \mathbf{titik}\] \[\mathbf{polinomial}\] \[L_{3}(\xi) = \frac{\left(\xi - \xi_{1}\right)\left(\xi - \xi_{2}\right)}{\left(\xi_{3} - \xi_{1}\right)\left(\xi_{3} - \xi_{2}\right)} \quad \text{Dengan 3 titik}\] \[\mathbf{polinomial}\] \[\mathbf{Lagrange} \quad \mathbf{pada} \quad \mathbf{sitik}\] \[\mathbf{polinomial}\] \[\mathbf{Lagrange} \quad \mathbf{pada} \quad \mathbf{sitik}\]

koordinat \(\xi\) adalah

Gambar 3.1. Transformasi dari \(\xi\) ke x

\[\frac{df}{d\xi} = \frac{dL_1}{d\xi} f_1 + \frac{dL_2}{d\xi} f_2 + \frac{dL_3}{d\xi} f_3\] \[\frac{df}{d\xi} = -\frac{1}{2} (2\xi - 1) f_1 + \frac{1}{2} (-2\xi) f_2 + \frac{1}{2} (2\xi + 1) f_3\]

Pada titik 1, \(\xi = -1\)

\[\frac{dL_1}{d\xi} = -\frac{1}{2} (2\xi - 1) = \frac{3}{2}, \quad \frac{dL_2}{d\xi} = 2, \quad \frac{dL_3}{d\xi} = -\frac{1}{2}\]

Pada titik 2, \(\xi = 0\) dimana \(\xi_1 = -1\), \(\xi_2 = 0\) dan \(\xi_3 = 1\)

\[\frac{d L_{1}}{d \xi} = -\frac{1}{2} , \frac{d L_{2}}{d \xi} = 0, \frac{d L_{3}}{d \xi} = \frac{1}{2} \frac{L_{1}(\xi) f_{1}}{f_{1} + L_{1}(\xi)}\] \[(\xi) f_{1}\]

Pada titik 3, \(\xi = 1\)

\[\frac{dL_1}{d\xi} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{dL_2}{d\xi} = -2, \quad \frac{dL_3}{d\xi} = \frac{3}{2}\]

\[[C] = \begin{bmatrix} -1.500 & 2.000 & -0.500 \\ -0.500 & 0.000 & 0.500 \\ 0.500 & -2.000 & 1.500 \end{bmatrix}\](3.5)

Pada titik 1

\[\frac{d f}{d x} = \frac{1}{J_{I}} (C_{II} f_{I} + C_{I2} f_{2} + C_{I3} f_{3})\] \[Jadi koefisien\] \[J_{I} = C_{II} x_{I} + C_{I2} x_{2} + C_{I3} x_{3}\] \[V_{I} = 3/2 ; C_{I2} = 2 ; C_{I3} = -2\] \[V_{I} = 3/2 ; C_{I2} = 2 ; C_{I3} = -2\]

Pada titik 2 1/2

Pada titik 2 1/2 \[\frac{d f}{d x} = \frac{1}{J_2} (C_{21} f_1 + C_{22} f_2 + C_{23} f_3) \text{ titik (3.6c)}\] \[J_2 = C_{21} x_1 + C_{22} x_2 + C_{23} x_3 \qquad I/2 ; C_{22} = (3.6d)\] \[0 ; C_{23} = I/2\] Pada titik 3 Pada titik 3 : \(C_{31} = -I/2\) ; \(C_{32} = -I/2\) ; \(C_{32} = -I/2\) ; \(C_{32} = -I/2\) ; \(C_{33} = -I/2\) ; \(C_{34} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(C_{35} = -I/2\) ; \(\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\)

[C] selanjutnya disebut dengan matrix koefisien turunan. Dengan menggunakan [C] dapat dihitung harga turunan, yaitu :

\[\xi_1\] \(\xi_2\) \(\xi_3\) \(\xi_4\) -1 \(-\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\) 1

\[L_{1} = \frac{(\xi - \xi_{2})(\xi - \xi_{3})(\xi - \xi_{4})}{(\xi_{1} - \xi_{2})(\xi_{1} - \xi_{3})(\xi_{1} - \xi_{4})}\] \[L_{2} = \frac{(\xi - \xi_{1})(\xi - \xi_{3})(\xi - \xi_{4})}{(\xi_{2} - \xi_{1})(\xi_{2} - \xi_{3})(\xi_{2} - \xi_{4})}\] \[L_{3} = \frac{(\xi - \xi_{1})(\xi - \xi_{2})(\xi - \xi_{4})}{(\xi_{3} - \xi_{1})(\xi_{3} - \xi_{2})(\xi_{3} - \xi_{4})}\] \[L_{4} = \frac{(\xi - \xi_{1})(\xi - \xi_{2})(\xi - \xi_{3})}{(\xi_{4} - \xi_{1})(\xi_{4} - \xi_{2})(\xi - \xi_{3})}\]

P e n g e r j a a n metoda ini pada domain yang terdiri atas n titik, adalah

\[[C] = \begin{bmatrix} -2.750 & 4.500 & -2.250 & 0.500 \\ -0.500 & 0.750 & 1.500 & -0.250 \\ 0.250 & -1.500 & 0.750 & 0.500 \\ -0.500 & 2.250 & -4.500 & 2.750 \end{bmatrix}\] \[\begin{array}{c} \text{pada } & \text{titk} & 1, \\ \text{digunakan} \\ \text{Persamaan} \\ \text{(3.7)} \\ \text{(3.6a)} & \text{dan} \\ \text{(3.6b)} \end{array}\] pada titik 2 s/d (n-1), digunakan Persamaan (3.6c) dan (3.6d)

pada titik n, digunakan Persamaan (3.6e) dan (3.6f)

b. Koefisien turunan untuk segmen domain dengan 4, 5 dan 7 titik polinomial

Titik-titik koordinat pada segmen domain adalah

\[[C] = \begin{bmatrix} -4.167 & 8.000 & -6.000 & 2.667 & -0.500 \\ -0.500 & 1.667 & 3.000 & -1.000 & 0.167 \\ 0.167 & -1.333 & 0.000 & 1.333 & -0.167 \\ -0.167 & 1.000 & -3.000 & 1.667 & 0.500 \\ 0.500 & -2.667 & 6.000 & -8.000 & 4.167 \end{bmatrix}\] (3.8)

Polinomial Lagrangenva adalah

\[[C] = \begin{bmatrix} -7.350 & 18.000 & -22.500 & 20.000 & -11.250 & 3.600 & -0.500 \\ -0.500 & 3.850 & 7.500 & -5.000 & 2.500 & -0.750 & 0.100 \\ 0.100 & -1.200 & -1.750 & 4.000 & -1.500 & 0.400 & -0.050 \\ -0.050 & 0.450 & -2.250 & 0.000 & 2.250 & -0.450 & 0.050 \\ 0.050 & -4.000 & 1.500 & -4.000 & 1.750 & 1.200 & -1.000 \\ -1.000 & 0.750 & -2.500 & 5.000 & -7.500 & -0.450 & 0.500 \\ 0.500 & -3.600 & 11.250 & -20.000 & 22.500 & -18.000 & 7.350 \end{bmatrix}\]

\[\frac{df}{d\xi} = \frac{df}{dx} \frac{dx}{d\xi}\] \[\frac{d}{d\xi} \left(\frac{df}{d\xi}\right) = \frac{d}{d\xi} \left(\frac{df}{dx} \frac{dx}{d\xi}\right)\] \[\frac{d^2 f}{d\xi^2} = \frac{d}{d\xi} \left(\frac{df}{dx}\right) \frac{dx}{d\xi} + \frac{df}{dx} \frac{d}{d\xi} \left(\frac{dx}{d\xi}\right) \text{ D a r i polinomial tersebut dan}\] \[\frac{d^2 f}{d\xi^2} = \left(\frac{d^2 f}{dx^2} \frac{dx}{d\xi}\right) \frac{dx}{d\xi} + \frac{df}{dx} \frac{d^2 x}{d\xi^2} \text{ koordinat } \xi_l, \xi\] \[\frac{d a p a t}{d\xi^2} = \frac{d^2 f}{dx^2} \left(\frac{dx}{d\xi}\right)^2 + \frac{1}{dx/d\xi} \frac{df}{dx} \frac{d^2 x}{d\xi^2} \text{ dihitung matrix koefisien}\] \[\frac{d^2 f}{d\xi^2} = \frac{1}{(dx/d\xi)^2} \left(\frac{d^2 x}{d\xi^2} - \frac{df}{dx} \frac{d^2 x}{d\xi^2}\right) \text{ waitu:}\] (3.10)

Dengan cara yang sama dapat dihitung matrix koefisien turunan untuk 5, 6, 7

\[\frac{d^2f}{d\xi^2} = \sum_{i=1}^n \frac{d^2L_i}{d\xi^2} f_i \begin{array}{c} \text{..................... n titik polinomial,} \\ \text{dimana perhitungannya dapat} \\ \text{dengan mudah dibuat program} \\ \text{komputernya.} \end{array}\] Koefisien

turunan untuk segmen domain dengan 5 dan 7 titik polinomial adalah sebagai berikut.

Koefisien turunan pada segmen domain dengan 5 titik polinomial

Koefisien turunan pada segmen domain dengan 7 titik polinomial

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial (uH)}{\partial x} = 0\] Perhitungan turunan ke dua, dapat (4.1) dilakukan dengan cara sebagai berikut

\[\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + g \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \tag{4.2}\]

Gambar 4.1. Sket variabel pada persamaan gelombang Airy

• • • • • • • • •

Gambar 4.2. Pembagian domain dalam sejumlah grid-point

Perhitungan \(d^2f\) / \(dx^2\) dilakukan dengan menggunakan Persamaan 3.10. Koefisien diferensial untuk \(d^2f\) / \(d\xi^2\) dapat dengan mudah dibentuk yaitu dengan menggunakan persamaan

dimana sebagai koefisien turunan adalah \(d^2L_i / d\xi^2\). Jadi dalam perhitungan turunan orde 2 perlu dibentuk 2 koefisien diferensial, yaitu untuk \(dL_i / d\xi\) dan \(d^2L_i / d\xi^2\).

Gambar 4.3. Grid-point pada perairan dengan kedalaman berubah secara konstan

4. Contoh Pemakaian

Sebagai contoh akan diselesaikan persamaan gelombang Airy satu dimensi, dimana persamaan terdiri atas dua persamaan differensial, yaitu :

a. Persamaan Kontinuitas

b. Persamaan momentum

dimana:

Pada titik \[i = 1\] \(\eta\) = fluktuasi muka air \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{J_I} (C_{II} u_I + C_{I2} u_2 + C_{I3} u_3)\) \(u\) \[J_I = C_{II} x_I + C_{I2} x_2 + C_{I3} x_3) = 0\]

kecepatan rata-rata kedalaman

h = kedalaman perairan pada muka air diam

\(H = h + \eta = \text{kedalaman total}\)

Pada titik \[i = 2\] s/d \((n-1)\) a. Penyelesaian differensial ruang \(\partial/\partial\) \[\frac{\partial u}{\partial x} = (C_{21} u_{i-1} + C_{22} u_i + C_{23} u_{i+1}) \quad x\] \[S e - \frac{\partial (uH)}{\partial x} = \frac{1}{J_2} (C_{21} (uH)_{i-1} + C_{22} (uH)_i + C_{23} (uH)_{i+1})\]

bagaimana halnya dengan metoda selisih hingga, maka daerah perhitun-

\[\frac{\partial (uH)}{\partial x} = \frac{1}{J_3} (C_{31} (uH)_{n-2} + C_{32} (uH)_{n-1} + C_{33} (uH)_n)\]

gan dibagi-bagi dalam sejumlah grid-point, seperti terlihat pada Gambar 4.2 berikut.

Ukuran grid tidak harus seragam, tetapi dapat berbeda-beda. Misal suatu batimetri dengan kedalaman berubah, maka sebaiknya digunakan ukuran grid yang berbeda-beda, dimana pada kedalaman yang lebih kecil digunakan ukuran grid yang lebih kecil. Bila digunakan ukuran grid yang seragam, misal mengacu pada ukuran grid pada perairan dalam, maka perhitungan pada perairan

Pada titik i = 1dangkal yang lebih

\[\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_1} (C_{I1} \eta_I + C_{I2} \eta_2 + C_{I3} \eta_3 + C_{I4} \eta_4 + C_{I5} \eta_5 + C_{I6} \eta_6 + C_{I7} \eta_7)\]

\[J_1 = (C_{11} \ x_1 + C_{12} \ x_2 + C_{13} \ x_3 + C_{14} \ x_4 + C_{15} \ x_5 + \\ C_{16} \ x_6 + C_{17} \ x_7)\]

Pada titik i = 2menjadi kurang sedangkan bila ukuran \(\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_2}\) grid seragam mengacu pada ukuran grid pada perairan yang lebih dangkal, maka

\[(C_{21}\;\eta_{1}+C_{22}\;\eta_{2}+C_{23}\;\eta_{3}+C_{24}\;\eta_{4}+C_{25}\;\eta_{5}+C_{26}\;\eta_{6}+C_{27}\;\eta_{7})\]

\[\begin{array}{lll} J_2 = & (C_{21} \ x_1 + C_{22} \ x_2 + C_{23} \ x_3 + C_{24} \ x_4 + C_{25} \ x_5 + C_{26} \ x_6 + \\ & C_{27} \ x_7) \end{array}\]

jumlah grid akan terlalu banyak. Pada titik i = 3Untuk menentukan ukuran grid \(\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_3} \frac{\text{dapat digunakan kriteria Courant, yaitu } \delta t}{\text{courant, beta courant, beta courant, beta courant}}\)

\[(C_{31} \eta_1 + C_{32} \eta_2 + C_{33} \eta_3 + C_{34} \eta_4 + C_{35} \eta_5 + C_{36} \eta_6 + C_{37} \eta_7)\]

\[J_3 = (C_{31} \ x_1 + C_{32} \ x_2 + C_{33} \ x_3 + C_{34} \ x_4 + C_{35} \ x_5 + \\ C_{36} \ x_6 + C_{37} \ x_7)\]

Pada titik i = 4 s/d (n-3) gelombang, dimana makin \(\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_{\perp}}\) dangkal perairan makin kecil C, sehingga makin kecil ukuran grid.

\[\begin{array}{l} (C_{41} \; \eta_{i \cdot 3} + C_{42} \; \eta_{i \cdot 2} + C_{43} \; \eta_{i \cdot 1} + C_{44} \; \eta_{i} + C_{45} \; \eta_{i + 1} + C_{46} \; \eta_{i + 2} \\ + C_{47} \; \eta_{i + 3}) \end{array}\]

\[\begin{split} J_4 = & \quad \left( C_{41} \ x_{i\text{-}3} + C_{42} \ x_{i\text{-}2} + C_{43} \ x_{i\text{-}1} + C_{44} \ x_i + C_{45} \ x_{i+1} + C_{46} \ x_{i+2} \right. \\ & \quad \left. + C_{47} \ x_{i+3} \right) \end{split}\]

Misal untuk batimetri dengan Pada titik i = n-2 kemiringan konstan, maka ukuran \(\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_5}\) grid yang digunakan berubah juga secara konstan seperti terlihat pada Gambar 4.3. berikut.

\[\begin{array}{l}(C_{51}\,\eta_{n\text{-}6}+C_{52}\,\eta_{n\text{-}5}+C_{53}\,\eta_{n\text{-}4}+C_{54}\,\eta_{n\text{-}3}+C_{55}\,\eta_{n\text{-}2}+C_{56}\,\eta_{n\text{-}1}\\+C_{57}\,\eta_{n})\end{array}\]

\[\begin{array}{lll} J_5 = & (C_{51} \ x_{n-6} + C_{52} \ x_{n-5} + C_{53} \ x_{n-4} + C_{54} \ x_{n-3} + C_{55} \ x_{n-2} + C_{56} \\ & x_{n-1} + C_{57} \ x_n) \end{array}\]

Perhitungan differensial ruang ∂/∂x digunakan Persamaan 3.5a-f, yaitu: Pada titik i = n-1

• Pada titik 1 dikerjakan per- \[\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_6} \text{ samaan } 3.6\text{a-b}\] • Pada titik 2 dikerjakan persamaan \[(C_{61} \eta_{\text{n-6}} + C_{62} \eta_{\text{n-5}} + C_{63} \eta_{\text{n-4}} + C_{64} \eta_{\text{n-3}} + C_{65} \eta_{\text{n-2}} + C_{66} \eta_{\text{n-1}})\]

\[\begin{array}{l} (C_{61}\,\eta_{n\text{-}6} + C_{62}\,\eta_{n\text{-}5} + C_{63}\,\eta_{n\text{-}4} + C_{64}\,\eta_{n\text{-}3} + C_{65}\,\eta_{n\text{-}2} + C_{66}\,\eta_{n\text{-}} \\ + \,C_{67}\,\eta_{n}) \end{array}\]

\[\begin{array}{l} J_6 = (C_{61} \ x_{n\text{-}6} + C_{62} \ x_{n\text{-}5} + C_{63} \ x_{n\text{-}4} + C_{64} \ x_{n\text{-}3} + C_{65} \ x_{n\text{-}2} + \\ C_{66} \ x_{n\text{-}1} + C_{67} \ x_{n}) \end{array}\]

Pada titik i = n

\[\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{J_z}\]

\[\begin{array}{l} (C_{71}\;\eta_{n\text{-}6}+C_{72}\;\eta_{n\text{-}5}+C_{73}\;\eta_{n\text{-}4}+C_{74}\;\eta_{n\text{-}3}+C_{75}\;\eta_{n\text{-}2}+C_{76}\;\eta_{n\text{-}1}\\ +\;C_{77}\;\eta_{n}\,) \end{array}\]

\[\begin{split} J_7 = & \;\; (C_{71} \quad x_{n\text{-}6} + C_{72} \quad x_{n\text{-}5} + C_{73} \quad x_{n\text{-}4} + C_{74} \quad x_{n\text{-}3} + C_{75} \quad x_{n\text{-}2} + \\ & C_{76} \quad x_{n\text{-}1} + C_{77} \quad x_{n}) \end{split}\]

3.6c-d

• Pada titik n dikerjakan persamaan 3.6e-f

Jadi pada contoh ini digunakan segmen domain dengan 3 titik polinomial untuk menghitung \(\partial(uH)/\partial x\)dan \(\partial u/\partial x\). Sedangkan untuk perhitungan \(\partial \eta/\partial x\)digunakan segmen domain dengan 7 titik polinomial, yaitu sebagai berikut.

Mengingat pada titik 1 digunakan fluktuasi muka air sebagai syarat batas, maka pada titik tersebut tidak dikerjakan persamaan kontinuitas, atau tidak dilakukan perhitungan \(\partial(uH)/\partial x\).

Pada titik ini persamaan momentum tidak dikerjakan, karena digunakan syarat batas benda padat, yaitu \(u_n =\)0. Pada perhitungan ini harga \(C_{ii}\) digunakan harga [C] pada persamaan (3.5).

Perhitungan \(\partial \eta / \partial x\), digunakan segmen domain dengan a. Kanal untuk eksekusi model

b. Batimetri kanal

Gambar 4.4. Kanal dengan batimetri berubah konstan

Gambar 4.5. Hasil eksekusi model pada kanal dengan kedalaman berubah

7 titik polinomial. Latar belakang perbedaan antara perhitungan ∂(uH)/∂x, ∂u/∂x dan ∂η/∂x dapat dilihat pada [Syawaluddin, H., 2005]. Pada perhitungan ∂η/∂x ini digunakan harga Cij pada Persamaan (3.9).

Hasil simulasi adalah seperti terlihat pada Gambar 4.5. Terlihat pada gambar tersebut terjadi pembesaran tinggi gelombang dengan berkurangnya kedalaman, dimana hal ini menunjukkan bahwa persamaan gelombang Airy juga dapat menghasilkan fenomena shoaling pada gelombang. Perbandingan terhadap solusi analisis (teori gelombang linier), menunjukkan bahwa model memberikan hasil yang cukup dekat dengan teori gelombang linier. Pada paper ini tidak bermaksud meneliti persamaan gelombang Airy ataupun peristiwa shoaling pada persamaan gelombang Airy, mengenai berbagai keterbatasan ataupun kemampuan persamaan gelombang Airy dapat dibaca pada berbagai buku ataupun paper, antara lain [Dean, Robert G., and Dalrymple] dan [Syawaluddin, H., 2005].

5. Diskusi dan Kesimpulan

Seperti telah disebutkan bahwa metoda numeris yang dikembangkan adalah identik dengan metoda selisih

b. Penyelesaian differensial waktu

Penyelesaian differensial waktu digunakan metoda integrasi dengan koefisien integrasi diperoleh dari polinomial Lagrange juga. Metoda integrasi ini dapat dilihat pada [Syawaluddin, H., 2005].

Sebagai contoh eksekusi model, digunakan suatu kanal dengan kemiringan berubah (Gambar 4.4). Pada mulut kanal terdapat gelombang dengan perioda 6 detik, dengan amplitudo 0.05 m.

Pada simulasi ini digunakan grid dengan ukuran tidak seragam sebanyak 300 buah. Bila digunakan ukuran grid yang seragam akan diperlukan grid sebanyak 500 buah agar diperoleh hasil yang baik.

Penyelesaian Persamaan Differensial dengan Menggunakan Polinomial Lagrange Seri I (1 Dimensi)