Keywords:
Linear wave theory: Wave theory derived for very small wave amplitude. Nonlinear wave theory: Wave theory derived for large wave amplitude.
1. Pendahuluan
Nonlinieritas suatu teori gelombang adalah ditinjau dari perumusannya. Bila pada perumusannya diperhitungkan peranan amplitudo gelombang maka persamaan yang dihasilkan disebut dengan persamaan gelombang atau teori gelombang nonlinier. Sedangkan bila pada perumusannya digunakan amplitudo gelombang yang sangat kecil sehingga dapat diabaikan peranannya, maka persamaan yang dihasilkan adalah persamaan gelombang linier.
Pada penelitian ini dikembangkan suatu persamaan gelombang nonlinier. Dengan tujuan mendapatkan suatu persamaan gelombang nonlinier yang lebih
sederhana dari persamaan gelombang nonlinier yang ada tanpa mengurangi ketelitiannya.
2. Persamaan Potensial Kecepatan
Perumusan persamaan potensial kecepatan diawali dengan penyelesaian persamaan Laplace
\[\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0,\] dengan metoda pemisahan variabel. Berdasarkan Dean [3], hasil penyelesaian persamaan tersebut setelah dimasukkan syarat batas lateral dan syarat batas kinematik dasar perairan dengan dasar datar adalah 1. Anggota KK Teknik Kelautan, FTSL-ITB, Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132.
\(\phi = G \cosh(k(h+z)) \cos kx \sin \sigma t\) (2.1)
dimana
\(\phi\) = potensial kecepatan k = bilangan gelombang
h = kedalaman perairan pada muka air diam
\(\sigma\) = frekuensi sudut = \(2\pi/T\)T = perioda gelombang
G = adalah suatu konstanta yang perlu ditentukan harganya
Untuk mendapatkan G, digunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u \, dz \tag{2.2}\]
Perumusan Persamaan (2.2) tersebut dapat dilihat pada Lampiran I.A. Substitusi \(u = -\partial \phi / \partial x\) dan \(\eta = A \cos kx \sin \sigma t\) (Lampiran I.B), dimana A = amplitudo gelombang, ke Persamaan (2.2) diperoleh
\[G = \frac{\sigma A}{k \cosh\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right)\left(\tanh\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right) - \frac{k A}{2}\right)}\](2.3)
\[\phi = \frac{\sigma A \cosh k (h+z) \cos kx \sin \sigma t}{k \cosh \left(k \left(h + \frac{A}{2}\right)\right) \left(\tanh \left(k \left(h + \frac{A}{2}\right)\right) - \frac{k A}{2}\right)} (2.4)\]
3. Persamaan Dispersi
Untuk mendapatkan persamaan dispersi digunakan persamaan momentum dari Euler dengan tekanan hidrodinamis dari Bernoulli. Perumusan persamaan dapat dilihat pada Lampiran I.C. Bentuk persamaan momentum tersebut adalah
\[\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} \left( u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2} \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} \right) = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}\] (3.1)
Substitusi \(\eta = A \cos kx \sin \sigma t\), \(u = -\partial \phi / \partial x\), dengan \(\phi\) dari Persamaan (2.4) diperoleh persamaan dispersi yaitu (Lampiran I.D)
\[\left(\frac{\sigma^2 A k}{2 F} + \frac{\sigma^2 A^2 k}{4 F} \tanh kH + \frac{\sigma^2 A^2 k}{4 F} \frac{\tanh kH}{\cosh kH}\right)\]
\[-\frac{\sigma^2 A^2}{4 F} \frac{tanhkH}{coshkH} + \left(-\frac{\sigma^2 Ak}{2 F} tanh^2 kH + \right)\]
\[\frac{\sigma^2 A k^3}{4 F} \tanh^3 kH + \left(\sigma^2 - \frac{\sigma^2 A k^2}{2} \tanh^2 kH\right)\]
\[+\frac{\sigma^2 A k}{2} \tanh kH = g k F\] (3.2)
dimana \[F = tanh\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right) - \frac{A}{2} dan H = h + \frac{A}{2}\]
4. Analisis Persamaan
a. Persamaan dispersi
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka Persamaan (3.2) menjadi
\[\sigma^2 = g k F\]
Dimana \(F = tanh \ k \ ( \ k \ ( \ k + A/2 \ ) \ ) - A/2\). Untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka \(F = tanh \ kh\). Persamaan dispersi menjadi \(\sigma^2 = gk \ tanh \ kh\) yang merupakan persamaan dispersi dari teori gelombang linier.
Jadi persamaan dispersi yang dihasilkan sama dengan persamaan dispersi dari teori gelombang linier pada amplitudo gelombang yang sangat kecil.
b. Panjang gelombang
Hasil perhitungan panjang gelombang dengan menggunakan persamaan dispersi (Persamaan 3.2) untuk perioda gelombang 6 detik, disajikan pada Tabel 1. Pada amplitudo gelombang 0.0 m, dihasilkan panjang gelombang yang sama dengan panjang gelombang dari teori gelombang linier. Sedangkan pada amplitudo yang besar, panjang gelombang yang dihasilkan oleh Persamaan (3.2) lebih pendek dari panjang gelombang dari teori gelombang linier.
Pada amplitudo 0.5 m dan 0.80 m, pada kedalaman 22 m sampai dengan 40 m, terlihat terjadi pengurangan panjang gelombang dengan bertambahnya kedalaman. Fenomena ini mencerminkan peristiwa wave setdown. yaitu berkurangnya kedalaman rata-rata akibat adanya gelombang. Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat perbedaan panjang gelombang dengan panjang gelombang dari teori gelombang linier mengecil, seiring dengan semakin dangkalnya perairan. Peristiwa ini mencerminkan fenomena wave setup. Kemampuan persamaan memodelkan fenomena wave setup dan wave setdown tersebut memang masih memerlukan penelitian lebih lanjut, fenomenanya sudah terlihat.
Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat pengaruh amplitudo gelombang yaitu bahwa semakin besar amplitudo semakin pendek panjang gelombang.
Tabel 1. Perbandingan panjang gelombang, antara teori gelombang linier dengan teori gelombang nonlinier, perioda gelombang 6 detik
| h | L-linier | L-0.0 | L-0.5 | L-0.8 |
|---|---|---|---|---|
| (m) | (m) | (m) | (m) | (m) |
| 40.00 | 56.19 | 56.19 | 52.78 | 50.21 |
| 38.00 | 56.18 | 56.18 | 52.78 | 50.23 |
| 36.00 | 56.17 | 56.17 | 52.79 | 50.26 |
| 34.00 | 56.15 | 56.15 | 52.80 | 50.30 |
| 32.00 | 56.12 | 56.12 | 52.81 | 50.35 |
| 30.00 | 56.07 | 56.07 | 52.81 | 50.40 |
| 28.00 | 56.00 | 56.00 | 52.80 | 50.46 |
| 26.00 | 55.88 | 55.88 | 52.77 | 50.52 |
| 24.00 | 55.71 | 55.71 | 52.71 | 50.58 |
| 22.00 | 55.44 | 55.44 | 52.58 | 50.60 |
| 20.00 | 55.05 | 55.05 | 52.35 | 50.56 |
| 18.00 | 54.47 | 54.47 | 51.96 | 50.41 |
| 16.00 | 53.62 | 53.62 | 51.33 | 50.05 |
| 14.00 | 52.42 | 52.42 | 50.36 | 49.36 |
| 12.00 | 50.73 | 50.73 | 48.90 | 48.18 |
| 10.00 | 48.41 | 48.41 | 46.78 | 46.30 |
| 8.00 | 45.22 | 45.22 | 43.75 | 43.43 |
| 6.00 | 40.87 | 40.87 | 39.47 | 39.20 |
| 4.00 | 34.77 | 34.77 | 33.31 | 32.91 |
| 2.00 | 25.58 | 25.58 | 23.75 | 22.89 |
Catatan:
L-linier: panjang gelombang dari teori gelombang
linier
L-0.0 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.0
L-0.5 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.5 m
L-0.8 : panjang gelombang dari teori gelombang nonlier dengan amplitudo 0.8 m
c. Persamaan potensial aliran
Persamaan potensial aliran (Persamaan (2.2)),
\[\phi = \frac{\sigma A \cosh(k (h + z)) \cos kx \sin \sigma t}{k \cosh\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right) \left(\tanh\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right) - \frac{k A}{2}\right)}\]
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil persamaan potensial aliran menjadi
\[\phi = \frac{\sigma A}{k} \frac{\cosh(k(h+z))}{\cosh kh \tanh(kh)} \cos kx \sin \sigma t\]
Pada amplitudo yang kecil, persamaan dispersi menjadi \(\sigma^2 = g \ k \ tanh \ (kh)\) atau \(k = \sigma^2 / g \ tanh \ (kh)\). Substitusi k pada persamaan potensial aliran, diperoleh
\[\phi = \frac{g A}{\sigma} \frac{\cosh(k (h + z))}{\cosh(kh)} \cos kx \sin \sigma t\] yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori gelombang linier.
yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori gelombang linier.
d. Breaking
Pada persamaan potensial aliran terdapat factor pembagi tanh (k(h + A/2)) - kA/2. Bila tanh
\[\left(k\left(h + \frac{A}{2}\right)\right) - \frac{kA}{2} = 0\], maka
\[\frac{k A}{2} = \tanh \left( k \left( h + \frac{A}{2} \right) \right)\] \[\frac{2 \pi A}{2 L} = \tanh \left( k \left( h + \frac{A}{2} \right) \right)\]
\[\frac{2A}{L} = \frac{2}{\pi} \tanh \left( k \left( h + \frac{A}{2} \right) \right) \tag{4.1}\]
Kriteria breaking dari Miche,
\[\frac{2A}{L} = 0.142 \tanh kh \tag{4.2}\]
Terlihat bahwa Persamaan (4.1) mempunyai bentuk yang sama dengan Persamaan (4.2).
Pada tanh ( k (h + A/2)) = 0, maka \(\phi\) menjadi ~, dapat dikatakan bahwa kondisi ini adalah kondisi breaking. Jadi persamaan potensial aliran yang dihasilkan mempunyai karakteristik breaking dengan bentuk yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.
5. Kesimpulan
Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan pada penelitian ini mempunyai karakteristik linier pada amplitudo kecil. Bagi sejumlah peneliti [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15] kandungan karakteristik linier pada suatu persamaan gelombang nonlinier merupakan petunjuk untuk validitas suatu teori gelombang nonlinier.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan mempunyai kondisi breaking yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.
Dari hal-hal tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan gelombang yang dihasilkan pada penelitian ini cukup valid.
Pada proses perumusan terdapat hal-hal yang diabaikan, karena itu persamaan masih perlu disempurnakan untuk mendapatkan persamaan yang lebih baik.