1. Pendahuluan

Hutahaean (2007b) dan (2007c), telah merumuskan suatu persamaan potensial aliran gelombang yang mengandung fenomena breaking. Pada (2007b) digunakan kondisi dasar perairan datar sehingga terdapat kemungkinan akan menghasilkan perhitungan shoaling yang kurang tepat. Pada (2007c), perumusan dikerjakan untuk dasar perairan miring dan digunakan untuk pemodelan refraksi gelombang. Model refraksi tersebut dapat memodelkan breaking tetapi pada saat terjadi breaking suatu komponen pada persamaan potensial aliran harus diberi harga tertentu agar simulasi dapat terus berlangsung. Pada model ini breaking terjadi pada saat harga γ pada persamaan potensial aliran (6.1) adalah kurang dari 0.65, dimana setelah breaking harga γ tidak membesar dengan sendirinya dan model terhenti. Agar model dapat terus berjalan, maka pada saat harga γ < 0.65, diberikan harga γ = 0.65.

Penelitian ini dimaksudkan untuk memperbaiki fenomena breaking pada penelitian Hutahaean (2007c) dimana diharapkan breaking dapat disimulasikan tanpa bantuan pemberian suatu harga

tertentu pada suatu komponen persaman potensial aliran.

Hutahaean (2005) mengembangkan persamaan muka air yang merupakan superposisi dari persamaan kontinuitas dengan persamaan kekekalan energi, dimana persamaan tersebut dapat mensimulasikan breaking yang sederhana. Dengan latar belakang ini maka dilakukan pengembangan dari persamaan yang dihasilkan oleh Hutahaean (2007c) dengan mengerjakan persamaan momentum yang terbatas yang dirumuskan berdasarkan persaman keseimbangan momentum yang merupakan salah satu bentuk dari persamaan kekekalan energi juga. Keuntungan lain dari pengerjaan persaman momentum-x yang terbatas ini, yaitu diperhitungkannya peranan percepatan arahz, tanpa harus mengerjakan persamaan momentum pada arah sumbu-z.

2. Persamaan Muka Air dan Kondisi

2.1 Persamaan muka air pendekatan

Pada proses formulasi diperlukan bentuk dari ∂η/∂t dan ∂η/∂x, karena itu perlu diketahui persamaan muka air η. Untuk keperluan tersebut maka digunakan

persamaan muka air dari teori gelombang linier yaitu:

\[\eta = A \cos kx \cos \sigma t\]

Baik potensial kecepatan maupun persamaan muka air adalah bersifat sinusiodal. Untuk mempermudah proses perumusan, maka perumusan dikerjakan pada

\[\cos kx = \sin kx = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2}\sqrt{2}\]

Dimana pada kondisi ini berlaku persamaan:

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\sigma A}{2} \operatorname{dan} \frac{\partial \eta}{\partial x} = -\frac{kA}{2} \tag{1}\]

2.2 Persamaan muka air pemodelan

Persamaan muka air untuk pengembangan model digunakan persamaan kontinuitas yang diintegrasikan terhadap kedalaman.

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = 0\] (2)

3. Persamaan momentum

3.1 Persamaan momentum permukaan fluida ideal

Sebagai persamaan momentum digunakan persamaan momentum permukaan untuk fluida ideal, Hutahaean (2007b dan 2007c), yaitu:

\[\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2}+w_{\eta}^{2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t}\right)=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}\](3)

3.2 Persamaan keseimbangan momentum

Persamaan keseimbangan momentum dirumuskan dengan prosedur sebagaimana halnya perumusan persamaan kontinuitas, yaitu sebagai berikut:

Hukum kekekalan masa, pada sistim input-output pada gambar di atas untuk fluida tak mampat adalah:

\[(u - (u + \delta u)) \delta z + (w - (w + \delta w)) \delta x = 0\]

Persamaan dibagi dengan \(\delta x\) dan \(\delta z\).

\[\frac{\delta u}{\delta x} + \frac{\delta w}{\delta z} = 0\]

Persamaan ini adalah persamaan kekekalan masa dimana bila diambil

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \quad \text{dan} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{diperoleh persamaan nuitas}\]

\[\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0\]

Pada penelitian ini δu/δx dan δw/δz akan dijabarkan dengan cara lain. Berdasarkan deret Taylor,

\[u(x + \delta x, z + \delta z, t + \delta t) = u(x, z, t) + \delta x \frac{\partial u}{\partial x}\]

\[+\delta z \frac{\partial u}{\partial z} + \delta t \frac{\partial u}{\partial t} u(x+\delta x,z+\delta z,t+\delta t)-u(x,t)=\delta x\]

\[\frac{\partial u}{\partial x} + \delta z \frac{\partial u}{\partial z} + \delta t \frac{\partial u}{\partial t}\]

\[\delta u = \delta x \frac{\partial u}{\partial x} + \delta z \frac{\partial u}{\partial z} + \delta t \frac{\partial u}{\partial t}\]

\[\delta u = \left( u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial u}{\partial t} \right) \delta t\]

Persamaan dibagi dengan \(\delta x\),

\[\frac{\delta u}{\delta x} = \left( u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial u}{\partial t} \right) \frac{\delta t}{\delta x}\]

Dengan cara yang sama akan diperoleh

\[\frac{\delta w}{\delta z} = \left( u \frac{\partial w}{\partial z} + w \frac{\partial w}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial t} \right) \frac{\delta t}{\delta z}\]

Substitusí persamaan untuk \(\frac{\delta u}{s}\) dan \(\frac{\delta w}{s}\)

kepersamaan kekekalan masa,

\[\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z}\right) \frac{\delta t}{\delta x} + \left(\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x}\right) + w \frac{\partial w}{\partial z} = 0\]

mengambil \(\delta x = \delta z = \delta\) dan persamaan dibagi dengan \(\delta t/\delta\), maka diperoleh

\[\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + w \frac{\partial w}{\partial z} = 0\] \[(4)\]

Persamaan (4) ini terlihat merupakan persamaan keseimbangan antara percepatan horizontal arah x dan percepatan vertikal arah z. Meskipun persamaan ini dirumuskan dari prinsip kekekalan masa tetapi yang adalah keseimbangan persamaan momentum atau dapat juga disebut dengan persamaan kekekalan momentum atau energi.

Dengan mengerjakan sifat irotasional fluida ideal,

\[\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial w}{\partial x}\] dan \(\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z}\) serta \(u = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\) dan

\(w = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\) persamaan keseimbangan momentum menjadi

\[-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u^2 + w^2\right) - \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial z}\]

\[+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u^2+w^2\right)=0\]

Persamaan berlaku pada seluruh medan aliran termasuk juga pada permukaan,

\[-\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial x} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} \left( u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial z} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial z} \left( u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2} \right) = 0\]

f adalah statu fungsi yang kontinu, maka berlaku

\[\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial x} \text{ begitu juga}\]

\[\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial z}\]

maka persamaan keseimbangan momentum menjadi

\[-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right) = 0\]

3.3 Persamaan momentum yang terbatas

Pada persamaan keseimbangan momentum terlihat bahwa terdapat relasi antara ∂u/∂t dengan ∂w/∂t dimana hal ini menunjukkan bahwa terdapat keseimbangan antara percepatan pada arah sumbu-x dengan percepatan pada arah sumbu-z. Karena itu pada persamaan momentum seharusnya terdapat juga relasi tersebut. Pembentukan persamaan momentum-x dimana terdapat relasi antara \partiau/\partiat dengan \partiaw/\partiat dibentuk dengan menjumlahkan Persamaan (3) dengan Persamaan (5),

\[2\left(-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right) = -g\frac{\partial\eta}{\partial x}\] \[(6)\]

Persamaan (6) adalah persamaan momentum yang terbatas yaitu bahwa \(\partial u/\partial t\) dibatasi oleh \(\partial w/\partial t\). Atau gaya horisontal pada arah sumbu-x, tidak hanya memberi percepatan pada arah sumbu-x, juga menimbulkan percepatan pada arah sumbu-z.

4. Persamaan Potensial Aliran

Persamaan potensial aliran dengan dasar perairan miring pada Hutahaean (2007c) adalah:

\[\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos kx\sin \sigma t \tag{7}\]

\[\beta(z) = \alpha e^{k(h+z)} + e^{-k(h+z)} ;\]
\[\beta_1(z) = \alpha e^{k(h+z)} + e^{-k(h+z)}\] (8)

\[\alpha = \frac{1 + \frac{\partial h}{\partial x}}{1 - \frac{\partial h}{\partial x}} \tag{9}\]

\[k = \text{bilangan gelombang} = \frac{2\pi}{L}\]

L= panjang gelombang

\[\sigma = \text{frekuensi sudut} = \frac{2\pi}{T}\]

T = perioda gelombang

h = kedalaman perairan

(5) \[\frac{\partial h}{\partial x}\] = keiringan dasar perairan

5. Persamaan untuk G

Pada persamaan potencial Persamaan (10), terdapat statu koefisien yatu G. Persamaan untuk G ini dirumuskan dengan menggunaan persamaan mukai air yang terintegrasi terhadap kedalaman yaitu Persamaan (2) dan digunakan kondisi

\[\cos kx = \sin kx = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2}\sqrt{2}\]

dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\sigma A}{2}\] dan \(\frac{\partial \eta}{\partial x} = -\frac{kA}{2}\)

Dengan \(\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos kx\sin \sigma t\), maka

\[u = -\frac{\partial \phi}{\partial x} = Ge^{kh}\beta(z)k\sin kx\sin \sigma t\]

\[-Ge^{kh}(\beta(z)+\beta_1(z))k\frac{\partial h}{\partial x}\cos kx\sin \sigma t\]

\[-\frac{\partial G}{\partial x}e^{kh}\beta(z)\cos kx\sin \sigma t\]

\[\int_{-h}^{\eta} u dz = G e^{kh} B_1 \sin kx \sin \sigma t\]

\[-Ge^{kh}(B_1+B_2)\frac{\partial h}{\partial x}\cos kx\sin \sigma t\]

\[-\frac{\partial G}{\partial x}e^{kh}\frac{B_1}{k}\cos kx\sin \sigma t\]

\[\int_{-h}^{\eta} \beta(z) dz = \frac{\beta_I(\eta) - (\alpha - 1)}{k} = \frac{B_I}{k} ,\]

\[B_1 = \beta_I(\eta) - (\alpha - 1)\]

\[\int_{-h}^{\eta} \beta_1(z) dz = \frac{\beta(\eta) - (\alpha + 1)}{k} = \frac{B_2}{k} ;\]

\[B_2 = \beta(\eta) - (\alpha + 1)\]

\[\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = G e^{kh} B_1 k \cos kx \sin \sigma t\]

\[+Ge^{kh}\frac{\partial B_1}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t + Ge^{kh}B_1k\frac{\partial h}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t\]

\[+Ge^{kh}(B_1+B_2)k\frac{\partial h}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t + \frac{\partial G}{\partial x}e^{kh}B_1\sin kx\sin \sigma t + \frac{\partial G}{\partial x}\frac{B_1}{F^2e^{kh}}\frac{\partial F}{\partial x}\]

dimana

\[\frac{\partial B_1}{\partial x} = \beta(\eta) \left( k \frac{\partial h}{\partial x} - \frac{k^2 A}{2} \right)\]

Dengan hasil integrasi tersebut, persamaan kontinuitas

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + Ge^{kh} B_1 k \cos kx \sin \sigma t + Ge^{kh} \frac{\partial B_1}{\partial x} \sin kx \sin \sigma t\]

\[+Ge^{kh}(2B_1+B_2)k\frac{\partial h}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t\]

\[+\frac{\partial G}{\partial x}e^{kh}B_1\sin kx\sin \sigma t=0\]

digunakan kondisi

\(\cos kx = \sin kx = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2}\sqrt{2}\), maka

\[Ge^{kh}\bigg(B_1k + \frac{\partial B_1}{\partial x} + (2B_1 + B_2)k\frac{\partial h}{\partial x}\bigg)\]

\[= \sigma A - \frac{\partial G}{\partial x} e^{kh} B_1\]

Didefinisikan,

\[F = \left(B_1 k + \frac{\partial B_1}{\partial x} + \left(2B_1 + B_2\right)k\frac{\partial h}{\partial x}\right) \tag{10}\]

\[G = \frac{\sigma A}{e^{kh}F} - \frac{\partial G}{\partial x} \frac{B_1 e^{kh}}{F e^{kh}}\]

\[G = \frac{\sigma A - \frac{\partial G}{\partial x} B_1 e^{kh}}{e^{kh} F}\] (11)

Persamaan (10) diturunkan terhadap x dengan mengabaikan

\[\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\]

\[+Ge^{kh}\frac{\partial B_1}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t + Ge^{kh}B_1k\frac{\partial h}{\partial x}\sin kx\sin \sigma t \qquad \frac{\partial G}{\partial x} = -\frac{\sigma A}{e^{kh}F^2}(\frac{\partial kh}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial x}) - \frac{\partial G}{\partial x}\frac{e^{kh}(\frac{\partial kh}{\partial x} + \frac{\partial B_1}{\partial x})}{Fe^{kh}}\]

\[+\frac{\partial G}{\partial x}\frac{B_1}{F^2e^{kh}}\frac{\partial F}{\partial x} \tag{12}\]

\[\left(1 + \frac{\left(\frac{\partial kh}{\partial x} + \frac{\partial B_1}{\partial x}\right)}{F} - \frac{B_1}{e^{kh}F^2} \frac{\partial F}{\partial x}\right) \frac{\partial G}{\partial x} = -\frac{\sigma A}{e^{kh}F^2} \left(\frac{\partial kh}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial x}\right) \tag{13}\]

6. Kandungan Fenomena Breaking pada Persamaan Potensial Aliran

Untuk dasar perairan datar, \(\partial h/\partial x = 0\), dan \(\partial G/\partial x\)dapat diabaikan maka harga G adalah \(G = \sigma A/F_0\)

\[F_0 = e^{kh} \left( B_1 k - \frac{\beta(\eta) k^2 A}{2} \right)\]

Didefinisikan \[\gamma = \left(\beta_1(\eta) - \frac{\beta(\eta)kA}{2}\right)\] maka,

\[F_0 = e^{kh}k\gamma\] sedangkan \(G = \frac{\sigma A}{e^{kh}k\gamma}\)

Persamaan potensial aliran menjadi

\[\phi = \frac{\sigma A}{k\gamma} \beta(z) \cos kx \sin \sigma t \tag{14}\]

Pada persamaan potensial aliran ini terlihat bahwa bila γ sangat kecil, mendekati nol maka φ menjadi sangat besar, demikian juga dengan

\[u = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\] dan \(w = -\frac{\partial \phi}{\partial z}\)

Telah banyak diketahui bahwa pada pada saat breaking terjadi kecepatan arus yang sangat besar. Jadi beraking terjadi pada γ sangat kecil. Bila breaking diambil untuk \(\gamma = 0\), maka

\[\left(\beta_1(\eta) - \frac{\beta(\eta)kA}{2}\right) = 0 \text{ dan } \frac{\beta(\eta)2\pi A}{2L} = \beta_1(\eta)\]

\[\frac{H}{L} = \frac{2}{\pi} \frac{\beta_1(\eta)}{\beta(\eta)} = \frac{2}{\pi} \frac{\alpha e^{k(h+\eta)} - e^{-k(h+\eta)}}{\alpha e^{k(h+\eta)} + e^{-k(h+\eta)}}\]

\[\text{untuk} \ \frac{\partial h}{\partial x} = 0 \ , \ \alpha = 1 \ \frac{H}{L} \ = \frac{2}{\pi} \frac{e^{k(h+\eta)} - e^{-k(h+\eta)}}{e^{k(h+\eta)} + e^{-k(h+\eta)}}\]

Untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil dibandingkan dengan kedalaman h,

\[\frac{H}{L} = \frac{2}{\pi} \frac{e^{kh} - e^{-kh}}{e^{kh} + e^{-kh}} = \frac{2}{\pi} \tanh(kh)\]

Kriteria breaking dari Miche adalah H/L = 0.142 tanhkh, Sarpkaya (1981). Jadi bentuk kondisi breaking dari potensial aliran yang diperoleh adalah sama dengan kondisi breaking dari Miche. Yang terpenting dalam hal ini adalah bahwa pada potensial aliran terdapat karakteristik breaking atau dengan kata lain persamaan potensial aliran dapat memodelkan breaking.

7. Persamaan Dispersi

Persamaan dispersi akan dirumuskan menggunakan persamaan momentum terbatas dari Persamaan (6), vaitu:

\[2\left(-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right) = -g\frac{\partial\eta}{\partial x}\]

dimana, \(\phi = Ge^{kh} \beta(z) coskxsin \sigma t dengan G dari\)

\[G = \frac{\sigma A - \frac{\partial G}{\partial x} B_1 e^{kh} k}{e^{kh} F}\]. Didefinisikan \(R = \frac{p}{F}\)

Didefinisikan \[R = \frac{p}{F}\], dimana \(p = \sigma A - \frac{\partial G}{\partial x} B_1 e^{kh} k\)

sehingga \[G = \frac{p}{e^{kh}F}\]. Dengan harga G ini maka

persamaan potensial kecepatan menjadi \(\phi = R\beta(z)\)coskxsin σt.

\[u = -\frac{\partial \phi}{\partial x} = R\beta(z)k\sin kx\sin \sigma t\]

\[-R\beta_1(z)\frac{\partial kh}{\partial x}\cos kx\sin \sigma t - \frac{\partial R}{\partial x}\beta(z)\cos kx\sin \sigma t\]

\[w = -\frac{\partial \phi}{\partial z} = -R\beta_1(z)k\cos kx\sin \sigma t\]

Sebagaimana halnya dengan formulasi G, maka pada formulasipersamaan dispersi ini digunakan kondisi

\[\cos kx = \sin kx = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2}\sqrt{2}\]

dimana pada kondisi ini dari hasil sebelumnya

\[\begin{split} \frac{\partial \eta}{\partial t} &= -\frac{\sigma A}{2} \text{ dan } \frac{\partial \eta}{\partial x} = -\frac{kA}{2} \text{, diperoleh} \\ u_{\eta} \frac{\partial u_{\eta}}{\partial x} &= \frac{R^2}{4} \beta^2(\eta) k^3 + \frac{R^2}{4} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^3 \frac{\partial h}{\partial x} \end{split}\]

\[+ \frac{R}{4} \frac{\partial R}{\partial x} \beta^{2}(\eta) k^{2}\] \[w_{\eta} \frac{\partial w_{\eta}}{\partial x} = -\frac{R^{2}}{4} \beta_{1}^{2}(\eta) k^{3} + \frac{R^{2}}{4} \beta(\eta) \beta_{1}(\eta) k^{3} \frac{\partial h}{\partial x}\] \[+ \frac{R}{4} \frac{\partial R}{\partial x} \beta_{1}^{2}(\eta) k^{2}\] \[\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} \right) = -\frac{\sigma}{2} R \beta(\eta) k + \frac{\sigma}{2} R \beta_{1}(\eta) k \frac{\partial h}{\partial x}\] \[+ \frac{\sigma}{2} \frac{\partial R}{\partial x} \beta(\eta)\] \[u_{\eta} \frac{\partial u_{\eta}}{\partial z} = \frac{R^{2}}{4} \beta(\eta) \beta_{1}(\eta) k^{3} - \frac{R^{2}}{2} \beta^{2}(\eta) k^{3} \frac{\partial h}{\partial x}\] \[- \frac{R}{2} \frac{\partial R}{\partial x} \beta(\eta) \beta_{1}(\eta) k^{2}\] \[w_{\eta} \frac{\partial w_{\eta}}{\partial z} = \frac{1}{4} R^{2} k^{3} \beta(\eta) \beta_{1}(\eta)\] \[\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} = \frac{\sigma}{2} R \beta_{1}(\eta) k\]

Dengan hasil formulasi tersebut, maka persamaan momentum-x menjadi,

\[\frac{R^{2}}{2}\beta^{2}(\eta)k^{3} + \frac{R^{2}}{2}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)k^{3}\frac{\partial h}{\partial x} + \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta^{2}(\eta)k^{2} - \frac{R^{2}}{2}\beta_{1}^{2}(\eta)k^{3} + \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta_{1}^{2}(\eta)k^{3} + \frac{R^{2}}{2}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)k^{3}\frac{\partial h}{\partial x} + \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta_{1}^{2}(\eta)k^{2} + \sigma R\beta(\eta)k - \sigma R\beta_{1}(\eta)k\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{\sigma^{2}}{2}\beta^{2}(\eta)k^{3}\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{R^{2}}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)k^{2} + \frac{1}{4}R^{2}k^{3}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta) - \frac{\sigma}{2}R\beta_{1}(\eta)k = \frac{gAk}{2} \tag{15}\]

Persamaan (15) adalah persamaan untuk k yang bersifat nonlinier, sehingga peneyelesainnya adalah dengan cara iterasi, antara lain metoda iterasi dari Newton-Rhapson, Arden (1971). Adapun langkah perhitungannya adalah sebagai berikut. Persamaan dispersi dapat ditulis sebagai suatu fungsi f(k) = 0,

\[f(k) = \frac{R^2}{4} \beta^2(\eta) k^3 + \frac{R^2}{4} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^3 \frac{\partial h}{\partial x}\] \[+ \frac{R}{4} \frac{\partial R}{\partial x} \beta^2(\eta) k^2 - \frac{R^2}{4} \beta_1^2(\eta) k^3\] \[+ \frac{R^2}{4} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^3 \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{R}{4} \frac{\partial R}{\partial x} \beta_1^2(\eta) k^2\] \[+ \frac{\sigma}{2} R \beta(\eta) k - \frac{\sigma}{2} R \beta_1(\eta) k \frac{\partial h}{\partial x}\] \[- \frac{\sigma}{2} \frac{\partial R}{\partial x} \beta(\eta) + \frac{R^2}{4} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^3 - \frac{R^2}{2} \beta^2(\eta) k^3 \frac{\partial h}{\partial x}\] \[- \frac{R}{2} \frac{\partial R}{\partial x} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^2 + \frac{1}{4} R^2 k^3 \beta(\eta) \beta_1(\eta)\] \[- \frac{\sigma}{2} R \beta_1(\eta) k - \frac{gAk}{2} = 0\] (16)

8. Karakteristik Linier dari Persamaan Dispersi dan Potensial Aliran

Sampai pada saat ini untuk menentukan validitas suatu persaman gelombang nonlinier adalah bahwa persamaan gelombang tersebut harus mempunyai karakteristik linier yaitu pada dasar perairan datar dan dengan amplitudo sangat kecil mempunyai panjang gelombang yang sama dengan panjang gelombang dari teori gelombang linier, Li (1999) dan Meftah (2004).

Pada dasar perairan datar, berlaku persamaan \(R = \sigma A/\sigma\)F, sedangkan persamaan momentum menjadi,

\[\frac{R^2}{2}\beta^2(\eta)k^3 + \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta^2(\eta)k^2 - \frac{R^2}{2}\beta_1^2(\eta)k^3\] \[+ \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta_1^2(\eta)k^2\] \[+ \sigma R\beta(\eta)k - \sigma\frac{\partial R}{\partial x}\beta(\eta) + \frac{R^2}{4}\beta(\eta)\beta_1(\eta)k^3\] \[- \frac{R}{2}\frac{\partial R}{\partial x}\beta(\eta)\beta_1(\eta)k^2 + \frac{1}{4}R^2k^3\beta(\eta)\beta_1(\eta)\] \[- \frac{\sigma}{2}R\beta_1(\eta)k = \frac{gAk}{2}\]

Substitusi \[R = \frac{\sigma A}{F}\] \[\frac{\sigma^2 A^2}{2F^2} \beta^2(\eta) k^3 - \frac{\sigma^2 A^2}{2F^3} \frac{\partial F}{\partial x} \beta^2(\eta) k^2\] \[-\frac{\sigma^2 A^2}{2F^2} \beta_1^2(\eta) k^3 - \frac{\sigma^2 A^2}{2F^3} \frac{\partial F}{\partial x} \beta_1^2(\eta) k^2\] \[+\frac{\sigma^2 A}{F} \beta(\eta) k - \frac{\sigma^2 A}{F^2} \frac{\partial F}{\partial x} \beta(\eta)\] \[+\frac{\sigma^2 A^2}{4F^2} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^3 + \frac{\sigma^2 A^2}{2F^3} \frac{\partial F}{\partial x} \beta(\eta) \beta_1(\eta) k^2\] \[+\frac{\sigma^2 A^2}{4F^2} k^3 \beta(\eta) \beta_1(\eta) - \frac{\sigma^2 A}{2F} \beta_1(\eta) k = \frac{gAk}{2F}\]

Persamaan dikalikan dengan \(\frac{2F}{4}\)

\[\frac{\sigma^{2}A}{F}\beta^{2}(\eta)k^{3} - \frac{\sigma^{2}A}{F^{2}}\frac{\partial F}{\partial x}\beta^{2}(\eta)k^{2} - \frac{\sigma^{2}A}{F}\beta_{1}^{2}(\eta)k^{3}\] \[-\frac{\sigma^{2}A}{F^{2}}\frac{\partial F}{\partial x}\beta_{1}^{2}(\eta)k^{2} + 2\sigma^{2}\beta(\eta)k\] \[-\frac{2\sigma^{2}}{F}\frac{\partial F}{\partial x}\beta(\eta) + \frac{\sigma^{2}A}{2F}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)k^{3}\] \[+\frac{\sigma^{2}A}{F^{2}}\frac{\partial F}{\partial x}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)k^{2} + \frac{\sigma^{2}A}{2F}k^{3}\beta(\eta)\beta_{1}(\eta)\] \[-\sigma^{2}\beta_{1}(\eta)k = gkF\]

Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, suku yang mengandung unsur A menjadi sangat kecil dan dapat diabaikan.

\[2\sigma^{2}\beta(\eta)k - \sigma^{2}\frac{\partial F}{\partial x}\beta(\eta) - \sigma^{2}\beta_{1}(\eta)k = gkF\]

Dari Persamaan (10), maka untuk dasar perairan datar

\[F = \left(B_1 k + \frac{\partial B_1}{\partial x}\right) \text{ sedangkan } B_1 = \beta_1(\eta)\] \[\frac{\partial B_1}{\partial x} = \beta(\eta)(k\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{k^2 A}{2}) = 0 \text{ sehigga}\]

\[F = \beta_1(\eta)k \frac{\partial F}{\partial x} = 0\]

Persamaan dispersi menjadi:

\[2\sigma^2\beta(\eta)k - \sigma^2\beta_1(\eta)k = gkF\] atau

\[\sigma^2 \beta(\eta) \left( 2 - \frac{\beta_1(\eta)}{\beta(\eta)} \right) = gF\]

Substitusi \(F = \beta_1(\eta)k\) dan persamaan dibagi dengan

\[\beta(\eta)\], \(\sigma^2(2-\tan kh)=gk \tanh kh\)

dimana pada dasar perairan datar dan amplitudo yang

\[\frac{\beta_1(\eta)}{\beta(\eta)} = \tanh kh\] Pada perairan dalam dimana

\(\tanh kh \to 1\) , maka persamaan dispersi menjadi

\[\sigma^2 = gk \tanh kh\] yang merupakan persamaan dispersi dari teori gelombang linier pada perairan dalam. Jadi persamaan dispersi yang dihasilkan mempunyai karakteristik linier pada perairan dalam, dasar perairan datar dan amplitudo sangat kecil.

Selain persamaan dispersi, persaman potensial kecepatan juga mempunyai karakteristik linier pada perairan dalam dan untuk amplitudo gelombang yang kecil dimana pada kondisi ini potensial aliran adalah

\[\phi = \frac{\sigma A}{F} \beta(z) \cos kx \sin \sigma t\]

Telah ditunjukkan bahwa pada dasar perairan datar dan amplitudo kecil,

\(F = \beta_1(\eta)k\), persamaan potensial aliran menjadi

\[\phi = \frac{\sigma A}{k\beta_1(\eta)}\beta(z)\cos kx\sin \sigma t\]

Untuk amplitudo kecil dan dasar perairan datar telah ditunjukkan bahwa persamaan dispersi adalah

\[k = \frac{\sigma^2}{g \tanh kh}\] , persamaan potensial aliran menjadi

\[\phi = \frac{gA \tanh kh}{\beta_1(\eta)} \beta(z) \cos kx \sin \sigma t\]

Berdasarkan definisi dari \(\beta_1(n)\)

Berdasarkan definisi dari \(\beta_l(\eta)\) dan \(\beta(\eta)\), maka untuk amplitudo kecil dan dasar perairan datar, \(\beta_l(\eta) = 2\sinh\)kh sedangkan \(\beta(z) = 2\cosh k(h+z)\), potensial aliran meniadi

\[\phi = \frac{gA}{\sigma \cosh kh} \cosh k(h+z) \cos kx \sin \sigma t\] yang merupakan potensial aliran dari teori gelombang linier. Jadi baik persamaan dispersi maupun persamaan potensial aliran mempunyai karakteristik linier pada dasar perairan datar dan dan untuk amplitudo gelombang yang sangat kecil dan pada perairan dalam.

Pada perairan yang sangat dalam dimana tanh kh = 1, persamaan dispersi menjadi k = s2/g sedangkan persamaan potensial aliran menjadi,

\[\phi = \frac{gA}{2\sigma \sinh kh} \cosh k(h+z) \cos kx \sin \sigma t\]

Jadi karakteristik linier dari persaman potensial aliran terdapat pada kedalaman dimana tanh kh \(\rightarrow\)1.

9. Analisis Shoaling

Shoaling adalah pembesaran amplitudo gelombang akibat pengurangan kedalaman. Perhitungan shoaling dapat dilakukan dengan membentuk persamaan elevasi muka air. Selanjutnya dengan menggunaan persamaan muka air tersebut dibentuk persamaan untuk elevasi muka air tertinggi. Amplitudo gelombang pada suatu kedalaman adalah elevasi muka air maksimum. Sebagai persamaan digunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu:

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u \, dz = 0\]

Selanjutnya digunakan potensial aliran gelombang progressif, vaitu:

\[\phi = -R\beta(z)\sin(kx - \sigma t)\] (Dean, 1984) atau

\[\phi = -R\beta(z)\sin\psi\] dimana \(\psi = kx - \sigma t\).

Dengan potensial aliran ini maka.

\[\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = -RB_1 k \sin \psi + R \frac{\partial B_1}{\partial x} \cos \psi\]

\[+RB_2k\frac{\partial h}{\partial x}\cos\psi + 2\frac{\partial R}{\partial x}B_1\cos\psi\]

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz\]

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = RB_1 k \sin \psi - R \frac{\partial B_1}{\partial x} \cos \psi - RB_2 k \frac{\partial h}{\partial x} \cos \psi\]

\[-2\frac{\partial R}{\partial x}B_1\cos\psi\]

Persamaan diintegrasikan terhadap t,

\[\eta(x,t) = \frac{R}{\sigma} B_1 k \cos \psi + \frac{R}{\sigma} \frac{\partial B_1}{\partial x} \sin \psi + \frac{R}{\sigma} B_2 k \frac{\partial h}{\partial x} \sin \psi + \frac{2}{\sigma} \frac{\partial R}{\partial x} B_1 \sin \psi + c(t)\] (17)

Persamaan (17) ini adalah persamaan muka air, dimana berdasarkan Dean (1984), c(t) =Persamaan muka air diturunkan terhadap \( \mathcal{Y} \),

\[+\frac{R}{\sigma}B_2k\frac{\partial h}{\partial x}\cos\psi + \frac{2}{\sigma}\frac{\partial R}{\partial x}B_1\cos\psi\]

\[\frac{\partial \eta}{\partial \psi} = -\frac{R}{\sigma} B_1 k \sin \psi + \frac{R}{\sigma} \frac{\partial B_1}{\partial x} \cos \psi\]

Harga \(\eta_{\text{max}}\) dicapai pada \(\frac{\partial \eta}{\partial u} = 0\), diperoleh

\[\tan \psi = \frac{\left(\frac{\partial B_1}{\partial x} + B_2 k \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{2B_1}{R} \frac{\partial R}{\partial x}\right)}{B_1}\](18)

Dengan menggunakan \(\Psi\) dari Persamaan (18), dapat dihitung \(\eta_{max}\) dengan menggunakan Persamaan (17) yang merupakan ampitudo gelombang. Jadi amplitudo gelombang pada suatu kedalaman h, dengan amplitudo mula-mula \(A_0\) adalah \(A_0 = \eta_{max}\). R, \(B_1\) dan kdihitung dengan amplitudo mula-mula yaitu \(A_0\). Dengan koefisien shoaling \(k_s\) adalah \(k = A/A_0\).

10. Contoh Hasil Perhitungan

10.1 Panjang gelombang pada perairan dalam

Tabel 1. Panjang gelombang pada perairan dalam

Keterangan:

h : kedalaman perairan

Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier

Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan amplitudo

diperairan dalam 0.x m

Telah banyak diketahui bahwa pada saat terjadi breaking timbul arus dengan kecepatan yang besar, dimana salah satunya adalah arus sejajar pantai (arus littoral). Pada pmodelan 2 dimensi arah x-z ini tidak terdapat komponen kecepatan arah-y yang merupakan komponen kecepatan sejajar pantai. Jadi hasil perhitungan breaking pada model arah x-z ini masih kurang benar.

10.2 Pengaruh kemiringan terhadap shoaling

Pada Tabel 2 disajikan hasil perhitungan koefisien shoaling untuk amplitudo gelombang 0.6 m, perioda gelombang 6 detik, dengan kemiringan dasar perairan bervariasi yaitu 0.002, 0.004 dan 0.008. Pada tabel tersebut terlihat bahwa pada kedalaman 8-20 m, semakin besar kemiringan, semakin kecil koefisien shoaling.

Tetapi pada kedalaman kurang dari 8 m, didapat koefisien shoaling yang sama pada masing-masing kemiringan, atau sedikit lebih besar, yaitu semakin besar kemiringan semakin besar koefisien shoalingnya. Pada kondisi setelah breaking, semakin kecil kemiringan semakin besar pengurangan amplitudo gelombang akibat breaking. Hal ini dikarenakan setelah breaking masih terjadi shoaling sedangkan kemiringan yang lebih besar menghasilkan shoaling yang lebih besar pada perairan dangkal. Kondisi shoaling dengan kemiringan yang cukup besar ini menunjukkan potensi persamaan untuk digunakan pada analisis run-up pada pantai maupun pada bangunan pantai.

Tabel 2. Pengaruh kemiringan terhadap shoaling dan fenomena breaking

Keterangan:

h : kedalaman perairan

Ks-lin : koefisien shoaling hasil teori gelombang linier

Ks-0.x : koefisien shoaling hasil model, dengan kemiringan dasar perairan 0.x

11. Kesimpulan

1. Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan mempunyai karakteristik linier pada perairan dalam dan dengan amplitudo kecil. Hal ini telah dibuktikan baik secara analitis maupun dengan hasil perhitungan. Bagi sejumlah peneliti kandungan karakteristik linier pada suatu persamaan gelombang nonlinier merupakan petunjuk akan validitas suatu persamaan gelombang nonlinier, Li (1999) dan Meftah (2004).

2. Persamaan potensial aliran yang dihasilkan mengandung fenomena breaking dimana pada penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan pemberi harga tertentu pada unsur persamaan potensial aliran.

3. Persamaan potensial aliran yang dihasilkan mengandung fenomena breaking dimana pada penelitian ini pemodelan dapat terus berlangsung pada saat terjadi breaking tanpa dibantu dengan memberi harga tertentu pada suatu unsur persamaan potensial aliran. Hal ini sangat sesuai dengan tujuan penelitian yaitu mendapatkan persamaan potensial aliran yang dapat memodelkan breaking secara otomatis.

4. Meskipun persamaan dapat memodelkan breaking dengan baik, tetapi perlu pengembangan lebih lanjut yaitu pengerjaan persaman kekekalan energi pada persamaan muka air. Hal ini dikarenakan pada saat terjadi breaking terjadi arus yang sangat besar atau terjadi perubahan energi kinetik, karena itu diperlukan suatu media untuk mentransfer energi gelombang menjadi energi kinetik, yaitu persaman kekekalan energi.