1. Pendahuluan

Salah satu pekerjaan penting dalam surveying rekayasa (Engineering Surveying) adalah pematokan (setting-out/staking-out). Implementasi staking-out geometri horisontal dan vertikal yang dilakukan adalah untuk memenuhi akurasi tertentu yang diinginkan.

Dalam tulisan ini, stake-out titik-titik geometri horisontal dilakukan menggunakan alat Total Station dengan cara koordinat polar (β, d), yang saat ini banyak dipakai oleh para surveyor. Stake-out titik ini dilakukan dari titik-titik ikat yang diketahui koordinatnya, dimana satu titik ikat dipakai untuk tempat berdiri alat dan titik ikat lainnya dipergunakan sebagai target untuk arah awal jurusan atau arah awal dalam membuat sudut polar (β).

Akurasi titik stake-out yang diinginkan pada surveying rekayasa, misalnya µ^p = ±(1-2)cm, sedangkan pada sistem peralatan mesin yang presisi bisa mencapai ^µΡ = ±(1-2)mm (Anderson and Mikhail, 1998).

Stake-out titik P disini disebut sebagai cara koordinat polar yaitu dengan membuat sudut horisontal β dan jarak horisontal dap dari titik ikat A, sedangkan titik ikat B dipergunakan sebagai target atau arah awal untuk membuat sudut horisontal β, seperti pada Gambar 1.

Prinsip dasar dari teori kesalahan menyatakan bahwa setiap pengukuran selalu mempunyai kesalahan, atau pengukuran tanpa kesalahan adalah tidak mungkin (Wolf and Ghilani, 1997). Oleh karena itu, akurasi yang diperoleh dapat didefinisikan sebagai resultan

Gambar 1. Stake-out titik P dengan cara dari titik ikat A kesalahan koordinat titik ikat yang merupakan titiktitik poligon, titik triangulasi, atau titi-titik jaringan kerangka dasar pemetaan.

Kesalahan-kesalahan yang mempengaruhi pengukuran pada unsur-unsur stake-out yaitu (\beta, d) dapat dinyatakan sebagai standar deviasi titik stake-out yang diperoleh yaitu \(\pm \sigma_P\) (Baykal, unpublished, 2002 dalam Baykal et.al, 2005). Untuk memenuhi akurasi yang diinginkan, maka harus dipenuhi syarat \(|\sigma_P| \le |\mu_P|\)dan harus dipertimbangkan dalam proses perencanaan stake-out titik.

2. Kesalahan-Kesalahan yang Mempengaruhi Stake-Out Titik

Sumber-sumber kesalahan yang mempengaruhi pengukuran diklasifikasikan ke dalam 3 kelompok (Anderson and Mikhail, 1998), yaitu kesalahan alat, kesalahan manusia dan kesalahan akibat atmosfer. Dalam tulisan ini, yang dipertimbangkan hanyalah akibat adanya kesalahan alat, sedangkan faktor-faktor kesalahan dari manusia dan atmosfer diperhitungkan.

Pada umumnya, kesalahan-kesalahan yang terdapat pada alat theodolit adalah kesalahan sumbu vertikal, kesalahan sumbu horisontal, salah kolimasi, salah centering dan kualitas theodolit. Beberapa kesalahan dapat dieliminasi dengan melakukan beberapa pemeriksaan (checking) dan kalibrasi (Anderson and Mikhail, 1998).

Yang dimasukkan ke dalam perhitungan untuk mendapatkan akurasi titik P hasil stake-out, hanya kesalahan centering di titik ikat A, B dan titik rencana P, kualitas alat dan standard deviasi posisi titik ikat yang dipergunakan. Sehingga, akurasi posisi titik stake-out P yang dicapai, bergantung pada kesalahan centering dan kualitas alat serta kesalahan posisi titik ikat yang dipergunakan.

Diasumsikan bahwa akurasi posisi titik stake-out P yang dicapai merupakan dua komponen \(\sigma_{xp}\) dan \(\sigma_{vp}\), seperti pada Gambar 2.

Gambar 2. Komponen-komponen standar deviasi titik stake-out yang dicapai

maka: \[\sigma_P = \pm \sqrt{\sigma_{Xp}^2 + \sigma_{Yp}^2}\] (1)

Standar deviasi titik stake-out \(\sigma_{v_p}\) merupakan resultan dari standard deviasi yang dibentuk oleh sumbersumber kesalahan yang terjadi akibat setting sudut \(\beta\). Kesalahan centering karena melakukan pengukuran (setting) sudut \(\beta\) di titik A adalah \(\sigma_{S_4}\), di titik B adalah \(\sigma_{S^B}\), di titik P adalah \(\sigma_{Sp}\) dan kualitas alat ukur sudut yang dipakai (=\(\sigma_{sa}\)) serta standar deviasi posisi titik ikat A dan B (=\(\sigma_{S_{AB}}\)), sehingga jumlah standar deviasi yang harus dimasukan kedalam hitungan \(\sigma_{v_0}\), sebagai berikut (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{Yp} = \pm \sqrt{\left(\sigma_{s_A} + \sigma_{s_B} + \sigma_{s_P}\right)^2 + \sigma_{sa}^2 + \sigma_{s_{AB}}^2}\] (2)

\[\sigma_{Xp} = \pm \sqrt{\left(\sigma_{d_A} + \sigma_{d_P}\right)^2 + \sigma_{da}^2 + \sigma_{d_{AP}}^2}\] (3)

2.1 Kesalahan-kesalahan dalam melakukan setting sudut \(\beta\)

Stake-out titik P tanpa kesalahan, dapat dilihat pada Gambar 1. Jika terjadi kesalahan centering pada alat theodolit di titik A sehingga posisinya menjadi titik A', maka stake-out titik P akan jatuh di titik P', seperti pada Gambar 3.

2.1.1 Kesalahan centering di titik ikat A

Dengan diketahuinya koordinat titik-titik ikat A \((X_A, Y_A)\), \(B(X_B, Y_B)\) dan koordinat titik yang akan di stake-out yaitu titik rencana \(P(X_P, Y_P)\), maka dapat dihitung unsur-unsur stake-out titik P, yaitu sudut dan jarak (\(\beta\), \(d_{ap}\), \(d_{ab}\)) dimana \(\alpha_{AP}\) dan \(\alpha_{AB}\) adalah sudut jurusan AP dan AB, sehingga:

\[\beta = \alpha_{AP} - \alpha_{AB} = \arctan \frac{Y_P - Y_A}{X_P - X_A} - \arctan \frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\] \[\tag{4}\]

Gambar 3. Kesalahan centering di titik A akibat setting sudut \(\beta\)

\[d_{ap} = \sqrt{(X_P - X_A)^2 + (Y_P - Y_A)^2} \qquad (5) \qquad \sigma_{q_A} = \frac{\max q_A}{2.965} \cong \frac{\max q_A}{3}\]

\[d_{ab} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}\] (6)

Walaupun dalam mengatur alat theodolit dilakukan secara hati-hati, komponen kesalahan centering di titik ikat A tidak dapat diabaikan. Ketika melakukan setting sudut BAP = \(\beta\), dan terjadi kesalahan centering di titik A yaitu \((\varepsilon_A, e_A)\), maka setting sudut BAP menjadi BAP' = \(\beta\) - \(\delta\). Akibatnya, posisi titik P yang tidak mempunyai kesalahan akan jatuh di titik P' yang memiliki kesalahan sebesar \(q_A\).

Kesalahan centering alat di titik ikat A relatif kecil, sehingga sudut \(\delta\) juga relatif kecil dan kesalahan \(q_A\)juga relatif kecil dibandingkan jarak \(d_{ap}\), \(d_{ab}\). Oleh karena itu dapat diasumsikan bahwa

\[A'P' \cong \overline{AP} = d_{ap} \operatorname{dan} \overline{A'B} \cong AB = d_{ab}\]

Kesalahan centering adalah kesalahan sistematik yang terjadi dan tidak diketahui secara langsung oleh pemakai alat. Menurut (Baykal O et.al, 2005), tidak mungkin dapat menghitung kesalahan \(q_A\) dan tidak mungkin pula melakukan koreksi terhadap posisi titik P' dengan besaran \(q_A\) pada saat melakukan stake-out titik. Oleh karena itu, solusinya adalah dengan memasukan pengaruh kesalahan centering ke dalam standar deviasi titik P yang dicapai, yaitu \(\sigma_P\) (Wolf and Ghilani, 1997).

Kesalahan q₄ dari titik stake-out adalah unsur dari sekumpulan data yang terdistribusi normal dan standar deviasinya adalah \(\sigma q_A\). Jika unsur dari sekumpulan data memiliki maksimum yang dinyatakan sebagai max \(q_A\), maka standar deviasi \(\sigma q_A\):

dengan batas kepercayaan 99,7% adalah benar (valid)

(Wolf and Ghilani, 1997).

Nilai \(\sigma q_A\) dan komponen \(\sigma_P\) yang dicapai, dapat diperoleh dari Persamaan (7) jika nilai max \(q_A\) dapat dihitung. Secara matematik, nilai \(q_A\) terletak pada interval - \(\infty < q_A < +\infty\) dan bergantung pada nilai \(e_A\)yang terletak dalam interval \(0 \le e_A \le \max e_A\). Nilai maksimum \(e_A\) dapat dilihat pada brosur spesifikasi alat yang akan dipakai seperti pada Tabel 1.

\[\sigma_{s_A} = \pm \frac{\max e_A}{3d_{ab}} \sqrt{d_{ab}^2 - 2d_{ab}d_{ap}\cos\beta + d_{ap}^2}\] (8)

2.1.2 Kesalahan centering di titik target B

Target yang diletakan pada titik ikat lainnya yaitu titik B yang dipergunakan sebagai arah awal jurusan dalam membuat sudut \(\beta\) di titik ikat A, sehingga diperoleh titik P yang akan di stake-out. Jika terjadi kesalahan centering target di titik B sebesar \(e_B\), maka titik B akan jatuh ke titik B' dan ketika setting sudut \(\beta\), titik P akan jatuh di titik P', dengan kesalahan \(q_B\) seperti pada Gambar 4.

Tabel 1. Nilai max \(e_A\)

[Schofield, 2001]

(7)

Gambar 4. Kesalahan centering di titik target B akibat setting sudut \(\beta\)

Pada kenyataannya \(e_B\) dan \(q_B\) relatif kecil terhadap \(d_{ab}\)dan \(d_{ap}\), dan sudut \(\delta\) merupakan sudut yang kecil. Dengan asumsi bahwa

\[\overline{AB'} \cong \overline{AB} = d_{ab} \text{ dan } \overline{AP'} \cong \overline{AP} = d_{ap}\]

seperti pada Gambar 4, maka

\[q_B = \delta d_{ap}\] dan \(\delta = \frac{e_B}{d_{ab}} \sin \varepsilon_B\), sehingga:

\[q_B = \frac{d_{ap}}{d_{ab}} e_B \sin \varepsilon_B \tag{9}\]

Oleh karena tidak memungkinkan untuk melakukan koreksi terhadap posisi di titik P' dan tidak mungkin menghitung nilai numerik \(q_B\), maka pengaruh kesalahan centering harus dimasukan kedalam standar deviasi titik stake-out P yang dicapai, yaitu \(\sigma_P\).

Seperti penjelasan pada kesalahan centering di titik ikat A, maka berlaku pula untuk titik ikat lainnya vaitu titik target B, sehingga berlaku pula untuk \(q_B\), \(\sigma_{\beta B}\), max\(q_B\), \(e_B\), max\(e_B\), dan diperoleh (Baykal O et.al,

\[\sigma_{S_B} = \pm \frac{\max e_B d_{ap}}{3d_{ab}} \tag{10}\]

2.1.3 Kesalahan centering di titik stake-out P

Untuk memberi tanda pada titik rencana yang akan di stake-out dapat dipergunakan tanda seperti patok kayu, pin, unting-unting dan lain-lain. Oleh karena itu kesalahan centering di titik P yaitu \((\varepsilon_n, e_n)\) tak dapat dihindarkan lagi, sehingga akan mempengaruhi posisi titik P yang akan di stake-out, seperti pada Gambar 5.

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, maka kesalahan posisi titik P yang di stake-out memiliki komponen \(q_P\)dari \(e_p\) dengan standar deviasi \(\sigma s_P\) (Baykal O et.al, 2005):

Gambar 5. Kesalahan centering di titik stake-out P akibat setting sudut \(\beta\)

\[\sigma_{s_P} = \pm \frac{\max e_p}{3} \tag{11}\]

2.1.4 Kualitas alat

Kualitas alat theodolit umumnya dinyatakan dengan standar deviasi \(\sigma_{\alpha}\)" yang diberikan oleh pabrik, maka standard deviasi setting sudut \(\beta\) dengan pengamatan nkali, menurut (Wolf and Ghilani, 1997) adalah:

\[\sigma_{Sa} = \pm \frac{\sqrt{2\sigma_a}}{\sqrt{n}} \tag{12}\]

Selanjutnya komponen \(\sigma_{SQ}\) ditambahkan ke akurasi titik stake-out P yang dicapai, sehingga standar deviasi setting sudut \(\beta\) dengan kualitas alat theodolit yang memiliki standar deviasi \(\sigma_a''\) adalah (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{sa} = \pm \sqrt{\frac{2}{n} d_{ap} \sigma_a} \tag{13}\]

2.1.5 Kesalahan posisi titik ikat A dan titik ikat B

Titik ikat A dan B merupakan titik kontrol baru, yang dibangun untuk kegiatan survey rekayasa dan koordinatnya diikatkan ke jaring kontrol nasional seperti Kerangka Dasar Kadaster Nasional (KDKN) yang menggunakan sistem koordinat Transverse Mercator \(3^{\circ}\) ( TM-\(3^{\circ}\) ). Misalkan koordinat A(X_A, Y_A) dan B(X_B, Y_B) dihitung menggunakan hitung-perataan jaringan, maka akan diperoleh matrik variansikovariansi (VCV) koordinat titik A dan B, sebagai berikut:

\[VCV_{AB} = \begin{vmatrix} \sigma_{X_A}^2 & \sigma_{X_A Y_A} & \sigma_{X_A X_B} & \sigma_{X_A Y_B} \\ & \sigma_{Y_A}^2 & \sigma_{Y_A X_B} & \sigma_{Y_A Y_B} \\ & & \sigma_{X_B}^2 & \sigma_{X_B Y_B} \\ & & & \sigma_{Y_B}^2 \end{vmatrix}\] \[(14)\]

Jika hukum perambatan kesalahan diaplikasikan ke Persamaan (4) dengan mempertimbangkan Persamaan (14) dan standar deviasi sudut stake-out \(\beta\) (= \(\sigma_{\beta}\)), maka (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{\beta}^{2} = \frac{1}{d_{ab}^{4}} [A + B + C + 2(D + E + F + G + H + I)]\]

(15)

dimana:

\[A = \frac{\left\{ d_{ab}^{2} (Y_{P} - Y_{A}) - d_{ap}^{2} (Y_{B} - Y_{A}) \right\}^{2}}{d_{ap}^{4}} \sigma_{X_{A}}^{2}\]

\[B = \frac{\left\{-d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})\right\}^{2}}{d_{ap}^{4}}\sigma_{Y_{A}}^{2}\]

\[C = (Y_B - Y_A)^2 \sigma_{X_B}^2 + (X_B - X_A)^2 \sigma_{Y_B}^2\]

\[D = \frac{\left| d_{ab}^{2}(Y_{P} - Y_{A}) - d_{ap}^{2}(Y_{B} - Y_{A}) \right| - d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})}{d_{ap}^{4}} \sigma_{X_{A}Y_{A}}\]

\[E = \frac{\left\{ d_{ab}^{2} (Y_{P} - Y_{A}) - d_{ap}^{2} (Y_{B} - Y_{A}) \right\} (Y_{B} - Y_{A})}{d_{ap}^{2}} \sigma_{X_{A} X_{B}}\]

\[F = \frac{\left\{-d_{ab}^{2}(Y_{P} - Y_{A}) + d_{ap}^{2}(Y_{B} - Y_{A})\right\}(X_{B} - X_{A})}{d_{ap}^{2}}\sigma_{X_{A}Y_{B}}\]

\[G = \frac{\left\{-d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})\right\}(Y_{B} - Y_{A})}{d_{ap}^{2}}\sigma_{Y_{A}X_{B}}\]

\[H = \frac{d_{ab}^{2}(X_{B} - X_{A})(X_{P} - X_{A}) - d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})^{2}}{d_{ap}^{2}}\sigma_{Y_{A}Y_{B}}\]

\[I = \{ -(Y_B - Y_A)(X_B - X_A) \} \sigma_{X_B Y_B}\]

Selanjutnya, komponen standar deviasi \(\sigma_P\) yang dicapai dapat diturunkan dan standar deviasi kesalahan posisi titik ikat yang dibentuk karena setting sudut \(\beta\), sebagai berikut (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{S_{AB}} = \pm \sigma_{\beta} d_{ap} \tag{16}\]

Jika matriks variansi-kovariansi tidak diketahui, maka Persamaan (16) tidak dapat dipergunakan.

2.2 Kesalahan-kesalahan dalam membuat jarak stake-out \((d_{av})\)

Diasumsikan bahwa membuat jarak \(d_{ap}\) di lapangan, dilakukan dengan menggunakan alat Total Station. Kesalahan centering di titik ikat A dan di titik stake-out P, kualitas alat EDM dan kesalahan-kesalahan koordinat titik ikat diperhitungkan sebagai sumbersumber kesalahan dalam membuat jarak stake-out.

2.2.1 Kesalahan centering di titik ikat A dan di titik stake-out P

Kesalahan centering di titik ikat menyebabkan kesalahan longitudinal \(l_A\) (arah AP) pada pemasangan titik stake-out, seperti Gambar 6.

Oleh karena tidak memungkinkan untuk melakukan koreksi posisi dengan menghitung besaran kesalahan, maka pengaruh kesalahan dimasukan ke dalam akurasi titik P yang dicapai. Seperti pada penjelasan sebelumnya, maka dari Gambar 6 diperoleh \(l_A = e_A \cos(\beta - \varepsilon_A)\) dan

\[\frac{dl_A}{d\varepsilon_A} = e_A \sin(\beta - \varepsilon_A) = 0 \text{ maka:}\] \[\cos(\beta - \varepsilon_A) = 1\]

Dapat dituliskan bahwa \(\max l_A = \max e_A\) dan diturunkan seperti standar deviasi kesalahan centering di titik ikat A akibat setting jarak \(\sigma l_A\) sebagai berikut (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{d_A} = \pm \frac{\max e_A}{3} \tag{17}\]

Oleh karena titik B tidak dipergunakan untuk setting jarak \(d_{ap}\), maka tidak ada perhitungan standar deviasi kesalahan centering di titik ikat B.

Untuk kesalahan centering di titik stake-out P, \(\sigma d_p\) akibat setting jarak dapat dituliskan sebagai berikut (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{d_P} = \pm \frac{\max e_p}{3} \tag{18}\]

Gambar 6. Kesalahan centering di titik A akibat setting jarak \(d_{ap}\)

yang dimasukan ke dalam akurasi titik P yang dicapai. Nilai-nilai \(\max e_A\) dan \(\max e_D\) dapat diperoleh dari Tabel 1.

2.2.2 Kualitas alat EDM

Kualitas alat EDM dinyatakan oleh standard deviasi yang diberikan oleh pabrik (Wolf and Ghilani, 1997; Schofield, 2001):

\[\sigma_{d(mm)} = \pm a \pm d[ppm] \tag{19}\] dengan a adalah pengaruh kesalahan jarak dan d adalah bagian dari jarak. Dengan mengasumsikan pengaruh kedua kesalahan ini bebas dari lainnya, standard deviasi \(\sigma_{da}\) yang merupakan komponen akurasi P yang dicapai, diperoleh (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{da(mm)} = \pm \sqrt{\left(a_{(mm)}\right)^2 + \left(d_{(mm)}d_{ap(km)}\right)^2} \quad (20)\]

2.2.3Kesalahan koordinat titik ikat A dan titik rencana P

Jarak stake-out dihitung dengan Persamaan (5). Dengan mengaplikasikan hukum perambatan kesalahan dan mempertimbangkan persamaan matriks variansi-kovariansi, maka komponen \(\pm \sigma_{dAp}\) dari akurasi P yang dicapai, sebagai berikut (Baykal O et.al, 2005):

\[\sigma_{d_{AP}} = \pm \sqrt{\frac{1}{d_{ap}^3} \left( (X_P - X_A)^2 \sigma_{X_A}^2 + \right)^2}\]

\[(Y_P - Y_A)^2 \sigma_{Y_A}^2 + 2(X_P - X_A)(Y_P - Y_A)\sigma_{XY_{AP}}\] (21)

Jika matriks variansi-kovariansi tidak diketahui, maka Persamaan (21) tidak dapat dipergunakan.

2.3 Hitungan komponen-komponen kesalahan dalam stake-out titik

Diasumsikan bahwa standard deviasi titik stake-out yang diinginkan adalah µP dan terdiri dari dua komponen yaitu \(\mu_{XP}, \mu_{YP}\) maka seperti pada Persamaan (1) dan Gambar 2, maka dapat dituliskan

\[\mu_{P} = \pm \sqrt{\mu_{X_{P}}^{2} + \mu_{Y_{P}}^{2}}\] dan harus memenuhi akurasi yang dibutuhkan yaitu

\[\left|\sigma_{P}\right| \leq \left|\mu_{P}\right| \; \mathrm{dan} \; \left|\sigma_{X_{P}}\right| \leq \left|\mu_{X_{P}}\right| \; \mathrm{dan} \; \left|\sigma_{Y_{P}}\right| \leq \left|\mu_{Y_{P}}\right|\]

harus valid, dimana \(\sigma_P\) yaitu standar deviasi titik stake-out yang dicapai, dapat dihitung dalam setiap proses stake-out.

Jika \[|\mu_{X_P}| = |\sigma_{X_P}|\] maka \(\mu_{X_P}\)

dapat dihitung. Oleh karena standard deviasi \(\mu_P\) yang diinginkan adalah diketahui, maka

\[\mu_{Y_P}\] dapat dihitung dari \(\mu_{Y_P} = \pm \sqrt{\mu_P^2 - \sigma_{X_P}^2}\)

dan memenuhi \(|\sigma_{Y_P}| \le |\mu_{Y_P}|\)

dimana \(\sigma_{Y_P}\) telah dihitung

Komponen-komponen \(\sigma_{s_A}, \sigma_{s_B}, \sigma_{s_P}, \sigma_{s_{AB}}\) dari \(\sigma_{X_P}\)

adalah besaran yang dapat dihitung dan \(\sigma_{s_a}\) tidak mungkin untuk dihitung karena repetisi n pada Persamaan (13) tidak diketahui. menggunakan Persamaan (3) dan syarat

\[\left|\sigma_{Y_P}\right| \leq \left|\mu_{Y_P}\right|\]

serta memasukan ke dalam Persamaan (13), diperoleh (Baykal O et.al, 2005):

\[n \ge \frac{2d_{ap}^{2}\sigma_{a}^{2}}{\mu_{Y_{P}}^{2} - \left[\left(\sigma_{s_{A}} + \sigma_{s_{B}} + \sigma_{s_{P}}\right)^{2} + \sigma_{s_{AB}}^{2}\right]} \tag{22}\] dengan syarat \[\mu_{Y_P}^2 > (\sigma_{S_A} + \sigma_{S_B} + \sigma_{S_P})^2 + \sigma_{S_{AB}}^2\]

Sehingga untuk melakukan stake-out dapat (23) direncanakan tahap-tahap hitungan sebagai berikut:

• 1. Bentuk \((\sigma_{S^A} + \sigma_{S^B} + \sigma_{S^p})^2\) dipertimbangkan untuk membuat Persamaan (23) dengan pendekatan maxe dari alat centering yang mengacu pada Tabel 1 atau dari spesifikasi alat yang dipakai.
• 2. Hitung \(\sigma_{SAR}^2\) dari Persamaan (16)
• Jumlah repetisi (n) dihitung melalui Persamaan (22). Jumlah repetisi (n) harus beralasan (masuk akal) dan dapat diaplikasikan.

Sebagai contoh hitungan untuk stake-out titik P dari titik ikat A dengan arah target ke titik ikat B, diketahui sebagai berikut (Umarjono et.al, 1998):

Tabel 2. Koordinat titik sistem proyeksi TM-30

dan matriks variansi-kovariansi posisi titik ikat adalah sebagai berikut:

\[VCV_{AB} = \begin{vmatrix} \sigma_{X_A}^2 = 0,000028 & \sigma_{X_A}Y_A = 0 & \sigma_{X_A}X_B = 0,00014 & \sigma_{X_A}Y_B = 0,000014 \\ \sigma_{Y_A}^2 = 0,000027 & \sigma_{Y_A}X_B = -0,000014 & \sigma_{Y_A}Y_B = 0,000014 \\ \sigma_{X_B}^2 = 0,000020 & \sigma_{X_B}Y_B = -0,000014 \\ \sigma_{Y_B}^2 = 0,000020 & \sigma_{X_B}Y_B = 0,000020 \end{vmatrix}\]

Standar deviasi titik P yang diinginkan adalah \(\mu_P = \pm 5mm\)

Direncanakan menggunakan peralatan ketelitian \(e_A = 1\) mm, \(e_B = 3\) mm, \(e_P = 3\) mm, \(\sigma_\alpha = 1\)", \(\sigma_{d} = \pm 2 \pm 2 [ppm]\)

Tahapan hitungan dilakukan, sebagai berikut:

1. Hitungan sudut dan jarak

\[\frac{\text{AB}}{\text{AP}} \frac{349^{0}}{312^{0}} \frac{21' \ 09,"62}{33' \ 39,"20} \frac{20,882}{38,584} \frac{36^{0}}{47' \ 30,"420}\] \[2. \text{Hitung } \sigma_{Xp} = \pm \sqrt{\left(\sigma_{d_A} + \sigma_{d_P}\right)^2 + \sigma_{da}^2 + \sigma_{d_{AP}}^2}\] \[\text{dari persamaan } \left| \mu_{X_P} \right| = \left| \sigma_{X_P} \right| \text{ VCV }, \quad \sigma_{d_A}, \quad \sigma_{d_P}, \quad \sigma_{da}, \quad \sigma_{d_{AP}}, \quad \sigma_{da} = \pm \frac{\max e_A}{3} = \pm \frac{1}{3} = \pm 0.3333mm\] \[\sigma_{d_A} = \pm \frac{\max e_A}{3} = \pm \frac{1}{3} = \pm 0.3333mm\] \[\sigma_{d_A} = \pm \frac{\max e_P}{3} = \pm \frac{3}{3} = \pm 1mm\] \[\sigma_{da(mm)} = \pm \sqrt{\left(a(mm)\right)^2 + \left(d(mm)d_{ap}(km)\right)^2} = \pm \frac{\sigma_{s_A} + \sigma_{s_B} + \sigma_{s_F}}{3} = \pm \frac{\sigma_{AB}}{3} = \pm \frac{1}{3} = \pm 0.01mm\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\] \[\sigma_{s_A} = \pm \frac{\max e_B d_{ap}}{3} = \pm \frac{3}{3} = 1mm\] \[\sigma_{s_A} = \pm \frac{\max e_P}{3} = \pm \frac{3}{3} = 1mm\] \[\sigma_{s_A} = \pm \frac{\min e_P}{3} = \pm \frac{3}{3} = 1mm\] \[\sigma_{s_A} = \pm \frac{1}{3(2082)} \sqrt{(2082)^2 - (2082)(3884)(930817257) + (3884)^2}}{(38,248mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (388mm)^2 + (38\]

\[\sigma_{d_{AP}} = \pm 0.845 mm\]

\[\begin{split} \sigma_{X_P} &= \pm \sqrt{(\sigma_{d_A} + \sigma_{d_P})^2 + \sigma_{da}^2 + \sigma_{d_{AP}}^2} = \\ \sigma_{X_P} &= \pm \sqrt{(0.3333 + 1)^2 + (2.001488171)^2 + (0.844815192)^2} = \pm 2.549 nm \end{split}\]

3. Hitung \[\mu_{Y_P} = \pm \sqrt{\mu_P^2 - \sigma_{X_P}^2}\]
\(\mu_{Y_P} = \pm \sqrt{(5)^2 - (2.549)^2} = \pm 4.301 mm\)

4. Dari persamaan \(\mu_{Y_P}^2 > (\sigma_{S_A} + \sigma_{S_R} + \sigma_{S_P})^2 + \sigma_{S_R}^2\)

\[\sigma_{S_A} = \pm \frac{\max e_A}{3d_{ab}} \sqrt{d_{ab}^2 - 2d_{ab}d_{ap} \cos \beta + d_{ap}^2}\]

\[\sigma_{S_A} = \pm \frac{1}{3(20882)} \sqrt{(20882)^2 - 2(20882)(38584)(0.800817267) + (38584)^2} = \pm 0.402mm\]

\[\sigma_{S_B} = \pm \frac{\max e_B d_{ap}}{3d_{ab}} = \pm \frac{3 \times 38584}{3 \times 20882} = \pm 1,848mm\]

\[\sigma_{SP} = \pm \frac{\max e_p}{3} = \pm \frac{3}{3} = 1mm\]

\[(\sigma_{s_A} + \sigma_{s_B} + \sigma_{s_P})^2 = (0.402034839 + 1.847715736 + 1)^2 = (3.249750575)^2\]

\[\sigma_{S_{AB}} = \pm \sigma_{\beta} d_{ap} \text{ dihitung dari}\] \[\sigma_{\beta}^2 = \frac{1}{d_{ab}^4} \left[ A + B + C + 2(D + E + F + G + H + I) \right]\] dengan:

\[A = \frac{\left\{ d_{ab}^{2} (Y_{P} - Y_{A}) - d_{ap}^{2} (Y_{B} - Y_{A}) \right\}^{2}}{d_{ap}^{4}} \sigma_{X_{A}}^{2} =\] \[A = \frac{\left\{ (20,882)^{2} (26,095) - (38,584)^{2} (20,521) \right\}^{2}}{(38,584)^{4}} (0,000028) =\]

0.004643307235

\[B = \frac{\left\{-d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})\right\}^{2}}{d_{ap}^{4}}\sigma_{Y_{A}}^{2} =\]

\[B = \frac{\left[ -(20,882)^2 (-28,417) + (38,584)^2 (-3,858) \right]^2}{(38,584)^4} (0,000027) =\]

0.0005384075491

\[C = (Y_B - Y_A)^2 \sigma_{X_B}^2 + (X_B - X_A)^2 \sigma_{Y_B}^2 = (20,521)^2 (0,000020) + (-3,858)^2 (0,000020)\]

C = 0.0087199121

\[D = \frac{\left|d_{ab}^{2}(Y_{P} - Y_{A}) - d_{ap}^{2}(Y_{B} - Y_{A})\right| - d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})}{d_{ap}^{4}}\sigma_{X_{A}Y_{A}} = D = \frac{\left|(2082)^{2}(2602) - (3854)^{2}(2052)\right| - (3854)^{2}(2052) - (3854)^{2}(2052)\right| - (3854)^{2}(-28417) + (3854)^{2}(-3858)}{(3854)^{4}}(0) = \frac{\left|(2082)^{2}(2602) - (3854)^{2}(2052)\right| - (3854)^{2}(2052)}{(3854)^{4}}\]

D=0

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[F = \frac{\left| -d_{ab}^{2}(Y_{P} - Y_{A}) + d_{ap}^{2}(Y_{B} - Y_{A}) \right| (X_{B} - X_{A})}{d_{ap}^{2}} \sigma_{X_{A}Y_{B}} = F = \frac{\left| -(20.882)^{2}(26.095) + (38.584)^{2}(20.521) \right| -3.858}{(38.584)^{2}} (0.000014) = -0.000955445527\]

\[G = \frac{\left| -d_{ab}^{2}(X_{P} - X_{A}) + d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A}) \right| (Y_{B} - Y_{A})}{d_{ap}^{2}} \sigma_{Y_{A}} X_{B} = G = \frac{\left| -(20,882)^{2}(-28,417) + (38,584)^{2}(-3,888) \right| (20,521)}{(38,584)^{2}} (-0,000014) = -0,0001282921975\]

\[H = \frac{d_{ab}^{2}(X_{B} - X_{A})(X_{P} - X_{A}) - d_{ap}^{2}(X_{B} - X_{A})^{2}}{d_{ap}^{2}}\sigma_{Y_{A}Y_{B}} =\]

\[H = \frac{(2088)^2(-3888)(-28417) - (38584)^2(-3888)^2}{(38584)^2}(0000014) = 0000241192823\]

\[I = \{-(Y_B - Y_A)(X_B - X_A)\}\sigma_{X_B}Y_B = \{-(20,521)(-3,858)\}(-0,000014) = -0,001108380252\] \[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[\sigma_B^2 = 4,26517 \left(10^{-9}\right) m^2\]

\[\sigma_{s_{AB}} = \pm \sigma_{\beta} d_{ap} = \pm (0.000065308269)(38.584) = \pm 0.002519854251 m = \pm 2.520 m m\]

syarat \[\mu_{Y_P}^2 > (\sigma_{S_A} + \sigma_{S_B} + \sigma_{S_P})^2 + \sigma_{S_{AB}}^2\] harus dipenuhi.

\((4,301469923)^2 > (3,249750575)^2 + (2,519854251)^2\)18,5026435 > 16,91054425 (terpenuhi)

5. Hitung n dari persamaan

\[n \ge \frac{2d_{ap}^{2}\sigma_{a}^{2}}{\mu_{Y_{P}}^{2} - \left[\left(\sigma_{s_{A}} + \sigma_{s_{B}} + \sigma_{s_{P}}\right)^{2} + \sigma_{s_{AB}}^{2}\right]}\] \[n \ge \frac{2(38584)^{2} \left(\frac{1}{206265}\right)^{2}}{18,5026435 - 16,91054425} = \frac{6,998313787 \times 10^{-2}}{1,59209925}\]

Diperoleh \(n \ge 0.044\), agar dapat diaplikasikan dan beralasan maka setting sudut diambil n = 1.

Untuk n = 1 maka

\[\sigma_{sa} = \pm \sqrt{\frac{2}{1}(38584)(1"/206265")} = 0,612mm\]

6. Hitung kembali

\[\sigma_{Yp} = \pm \sqrt{(\sigma_{S_A} + \sigma_{S_B} + \sigma_{S_P})^2 + \sigma_{Sa}^2 + \sigma_{S_{AB}}^2} =\] \[\sigma_{Y_P} = \pm \sqrt{(3,250)^2 + (0,612)^2 + (2,520)^2} =\] \[\pm \sqrt{17,285} = \pm 4,157mm\]

7. Hitung \[\sigma_P = \pm \sqrt{\sigma_{X_P}^2 + \sigma_{Y_P}^2}\]

\[\sigma_{P} = \pm \sqrt{(2,549)^2 + (4,157)^2} = \pm 4,876mm\]

syarat s \(p \le \mu p\) terpenuhi.

3. Kesimpulan

Dari uraian dan hasil hitungan dalam perencanaan proses hitungan data stake-out, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk memenuhi spesifikasi dalam proses stakeout, akurasi titik stake-out yang dicapai harus lebih kecil dari pada akurasi titik stake-out vang dibutuhkan yaitu dengan memperhitungkan kesalahan yang mempengaruhi akurasi titik stakeout yang dinyatakan sebagai standar deviasi dari posisi titik ikat dan kesalahan-kesalahan penting lainnya dalam pengukuran.

• 2. Dalam setting sudut yang hanya menggunakan bacaan sudut dengan teropong dalam kedudukan Biasa, memungkinkan untuk memenuhi akurasi yang diinginkan.
• 3. Matriks variansi-kovariansi titik-titik ikat yang mewakili jaring kerangka dasar pemetaan, metode pengukuran dan peralatan yang dipilih dalam proses stake-out ini dapat memberikan keputusan yang optimal.
• 4. Metode hitungan data stake-out ini bermanfaat untuk aplikasi stake-out titik yang membutuhkan akurasi tinggi. Prosedur ini umumnya banyak dipergunakan pada pekerjaan surveying rekayasa, seperti stake-out pada bagian-bagian mesin, akselerator elektron, soket (socket) tiang jembatan (viaduct) dan lain sebagainya.