1. Pendahuluan

Hutahaean (2005a)(2007a) telah menunjukkan bahwa persamaan gelombang panjang Airy dapat digunakan untuk memodelkan dinamika gelombang pendek, termasuk fenomena pembelokan arah gelombang oleh batimetri (refraksi), penyebaran energi gelombang (difraksi) dan pembesaran tinggi gelombang (shoaling). Dengan latar belakang tersebut, maka dikembangkan persamaan refraksi-difraksi dengan menggunakan persaman kotinuitas dan persamaan momentum, sebagaimana halnya dengan persamaan gelombang panjang Airy.

Latar belakang berikutnya adalah bahwa potensial aliran dari persamaan gelombang nonlinier yang dikembangkan oleh Hutahaean (2007c), mengandung fenomena breaking. Tetapi model refraksi yang dikembangkan pada penelitian tersebut harus dibantu dengan memberikan suatu harga tertentu pada komponen persamaan potensial aliran pada saat terjadi

breaking agar model dapat terus berjalan. Hal ini kemungkinan dikarenakan ketidak harmonisan antara persamaan gelombang dengan persamaan tinggi gelombang atau persamaan amplitudo gelombang yang digunakan dimana pada model tersebut digunakan persamaan kekekalan laju transfer energi dari teori gelombang linier.

Persamaan arah gelombang dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu dengan mensubstitusikan potensial aliran gelombang nonlinier dari Hutahaean (2007c) yang berbentuk φ ⁼ Gekhβ(z)cos kξ sinσt kepersamaan kontinuitas tersebut, dimana persamaan untuk G untuk gelombang yang bergerak pada arah sumbu ξ diketahui. Pada persamaan arah gelombang terdapat suku yang mengandung ∂G / ∂x dan ∂G / ∂y. Persamaan untuk ∂G / ∂x dan ∂G / ∂y diperoleh dengan menggunakan persamaan momentum fluida ideal arah-x dan arah-y dari Hutahaean (2007b,c).

Persamaan muka air diperoleh dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman. Substitusi potensial aliran \(\phi\) kepersamaan, selanjutnya persamaan diintegrasikan terhadap waktu. diperoleh persamaan muka air yang merupakan fungsi dari arah gelombang \(\theta\), bilangan gelombang k, G, \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\). Dengan diketahuinya arah gelombang, k, G, \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\) maka dapat dihitung elevasi muka air pada suatu harga fasa gelombang.

2. Persamaan Potensial Aliran dan Persamaan Dispersi

2.1 Persamaan potensal aliran

Persamaan potensial aliran gelombang nonlinier yang bergerak pada arah sumbu ξ, Hutahaean (2007c), adalah.

\[\phi = Ge^{kh} \beta(z) \cos k\xi \sin \sigma t \tag{1}\]

\[G = \frac{\sigma A}{k \gamma \beta(\eta)} \tag{2}\]

\[\gamma = \frac{\beta_{l}(\eta) - (\alpha - l)}{\beta(\eta)} - \frac{k A}{2} + \left(2 \frac{\beta_{l}(\eta)}{\beta(\eta)} + 2 - \dots - \frac{\partial F}{\partial \xi} = \left(\beta(\eta) - \frac{k A}{2} \beta_{l}(\eta) + 2 \frac{\partial h}{\partial x} (\beta(\eta) + \beta_{l}(\eta))\right) - \frac{3 \alpha}{\beta(\eta)} + \frac{l}{\beta(\eta)} \frac{\partial h}{\partial \xi} \qquad (3) \qquad \left(k \frac{\partial h}{\partial x} - \frac{k^{2} A}{2}\right) \qquad (6)\]

dimana:

\(\phi\) = potensial kecepatan

k = bilangan gelombang

h = kedalaman perairan pada muka air diam

\(= x \cos \theta + v \sin \theta\)

\(\theta\) = arah gelombang terhadap sumbu x

= frekuensi sudut = \(2\pi/T\)

T = perioda gelombang

A = amplitudo gelombang

\[\beta(\eta) = \alpha e^{k(h+\frac{A}{2})} + e^{-k(h+\frac{A}{2})}\] \[\beta_{I}(\eta) = \alpha e^{k(h+\frac{A}{2})} - e^{-k(h+\frac{A}{2})}\] \[\alpha = \frac{I + \frac{\partial h}{\partial \xi}}{1 - \frac{\partial h}{\partial \xi}}\] (4)

\[\frac{\partial h}{\partial \xi}\] = kemiringan dasar perairan

Potensial aliran ini mengandung fenomena breaking pada kondisi \(\gamma \rightarrow 0\), Hutahaean (2007c). Keterbatasan persamaan ini adalah pada kemiringan \(\partial h / \partial \xi = 1\), dimana \(\alpha = \sim\).

2.2 Persamaan dispersi

Bentuk dari persamaan dispersi adalah.

\[\text{[rumus tidak dapat ditampilkan dengan baik — lihat PDF asli]}\]

\[\frac{\sigma^2}{k\gamma \,\beta(\eta)} \frac{\partial F}{\partial \xi} + \frac{\sigma}{\gamma \,\beta(\eta)} \frac{\partial F}{\partial t} = g \, k \, \gamma \qquad (5)\]

\[\beta(\eta) = \alpha e^{k(h+\frac{A}{2})} + e^{-k(h+\frac{A}{2})}\]

\[\beta_l(\eta) = \alpha e^{k\left(h + \frac{A}{2}\right)} - e^{-k\left(h + \frac{A}{2}\right)}\]

\[\frac{\partial F}{\partial \theta} = \left(\beta(n) - \frac{kA}{2}\beta_{1}(n) + 2\frac{\partial h}{\partial \theta}(\beta(n) + \beta_{2}(n))\right)\]

(3) \[\left(k\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{k^2 A}{2}\right) \tag{6}\]

\[\frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\sigma A k}{2} \left( \beta(\eta) - \frac{k A}{2} \beta_{I}(\eta) + 2 \frac{\partial h}{\partial \xi} (\beta(\eta) + \beta_{I}(\eta)) \right)\](7)

Persamaan ini adalah persamaan yang digunakan untuk menghitung bilangan gelombang k untuk suatu gelombang yang bergerak pada arah ξ.

3. Persamaan Arah Gelombang

Untuk merumuskan persamaan arah gelombang digunakan persamaan potensial aliran dalam bentuk \(\phi\)= \(Ge^{kh}\beta(z)\cos k\xi \sin \sigma t\). Untuk sumbu \(\xi\) yang membentuk sudut sebesar \(\theta\) terhadap sumbu-x, maka berlaku persamaan \(\xi = x\cos\theta + y\sin\theta\). Dengan relasi ini persamaan potensial kecepatan menjadi,

\[\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos k(x\cos\theta + y\sin\theta)\sin\sigma t\], atau

\[\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos(k_x x + k_y y)\sin\sigma t\] (8)

dimana \(k_x = k \cos \theta\) dan \(k_y = k \sin \theta\)

Selanjutnya dikerjakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman yaitu,

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = 0\]

\(\partial \eta\) / \(\partial t\) didekati dengan persamaan muka air dari teori gelombang linier yaitu

\(\eta = A\cos(k_x x + k_y y)\cos \sigma t\), sehingga diperoleh

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\sigma A}{2}\]

Substitusi \[u = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\] dan \(v = -\frac{\partial \phi}{\partial y}\), dengan \(\phi\) dari Persamaan (1) dan dengan menyelesaikan integrasi dan dengan mengambil kondisi

\[\cos(k_x x + k_y y) = \sin(k_x x + k_y y) = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2} \sqrt{2}\]

diperoleh persamaan arah gelombang adalah,

\[\frac{\partial(\cos\theta)}{\partial x} + \frac{\partial(\sin\theta)}{\partial y} = \frac{\sigma A}{Ge^{kh}B_1} - k\cos^2\theta\] \[-\frac{1}{B_1}\frac{\partial B_1}{\partial x}\cos\theta - \left(2 + \frac{B_2}{B_1}\right)k\cos\theta\frac{\partial h}{\partial x}\] \[-\frac{1}{G}\frac{\partial G}{\partial x}\cos\theta - \frac{1}{G}\frac{\partial G}{\partial x}\cos\theta - \frac{1}{B_1}\frac{\partial B_1}{\partial y}\sin\theta\] \[-\left(2 + \frac{B_2}{B_1}\right)k\sin\theta\frac{\partial h}{\partial y} - \frac{1}{G}\frac{\partial G}{\partial y}\sin\theta\] (9)

Harga G diperoleh dari analisis satu dimensi yaitu Persamaan (2). Persamaan untuk \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\) dirumuskan dari persamaan momentum.

4. Persamaan untuk \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\)

Persamaan untuk \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\) dirumuskan dengan menggunakan persamaan momentum arah-x dan arah-y

Persamaan momentum-x untuk fluida ideal, Hutahaean (2007b,c) adalah,

\[\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2}+v_{\eta}^{2}+w_{\eta}^{2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t}=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}\] (10)

Persamaan momentum pada sumbu-y

\[\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left(u_{\eta}^{2}+v_{\eta}^{2}+w_{\eta}^{2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\phi_{\eta}}{\partial t}=-g\frac{\partial\eta}{\partial y}\] (11)

Dengan menggunakan persamaan potensial aliran seperti pada Persamaan (8) dan dengan menggunakan pada Persamaan (10-11), diperoleh persamaan untuk persamaan \[u=-\frac{\partial \phi}{\partial x}\], \(v=-\frac{\partial \phi}{\partial y}\) dan \(w=-\frac{\partial \phi}{\partial z}\)

\[\frac{\partial G}{\partial x}\] dan \(\frac{\partial G}{\partial y}\) yaitu,

\[a_1 \frac{\partial G}{\partial x} = b_1 \tag{12}\]

\[a_2 \frac{\partial G}{\partial v} = b_2 \tag{13}\]

Dengan menggunakan Persamaan (12) dan (13), dapat dihitung harga \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\).

5. Persamaan Amplitudo Gelombang

Persamaan amplitudo gelombang dirumuskan dari persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman.

\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = 0\] Substitusi \(u = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\), \(v = -\frac{\partial \phi}{\partial y}\) dan \(w = -\frac{\partial \phi}{\partial z}\)

dengan potensial aliran \(\phi\) dari Persaman (8), dan selanjutnya persamaan diintegrasikan terhadap waktu t, diperoleh persamaan muka air \(\eta(x,y,t)\). Mengingat integrasi yang dilakukan adalah integrasi tak tentu, maka akan terdapat suatu konstanta c(t). Tetapi integrasi persamaan muka air yang bersifat periodik ini, maka berdasarkan Dean (1984) dapat diambil c(t) = 0.

Dengan menggunakan persamaan muka air tersebut dihitung elevasi muka air pada kondisi dimana

\[\cos(k_x x + k_y y) =\]
\[\sin(k_x x + k_y y) = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2} \sqrt{2}\]

yaitu pada kondisi persamaan dispersi dan persamaan refraksi-difraksi dirumuskan. Elevasi muka air pada fasa ini adalah sebesar A / 2.

6. Metoda Perhitungan

Perhitungan \(\theta\) dan A pada suatu titik dilakukan dengan metoda selisih hingga dan integrasi, penjelasan lengkap disajikan pada lampitan A.

7. Contoh Hasil Model

Untuk meninjau hasil model, maka model dikerjakan sejumlah konfigurasi batimetri pantai. Gelombang yang digunakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik dengan amplitudo gelombang \(A_0 = 1.8\) m. Simulasi dilakukan pada suatu batimetri yang membentuk teluk, tanjung dan pulau tenggelam. Pada ke 3 hasil simulasi tersebut terlihat bahwa model vang dikembangkan dapat mensimulasikan peristiwa refraksi-difraksi, shoaling dan gelombang pecah (breaking).

7.1 Kandungan fenomena breaking pada persamaan potensial aliran

Pada \(\gamma \to 0\) potensial aliran menjadi ~, dimana kondisi ini dapat dianggap sebagai kondisi breaking.

Pada dasar perairan datar, \[\gamma = \frac{\beta_1(\eta)}{\beta(\eta)} - \frac{k A}{2}\]

Untuk amplitudo kecil, \(\gamma = \tanh kh - \frac{kA}{2}\), sehingga untuk \(\gamma = 0\) diperoleh persamaan 2 tanh kh = A k atau H / L = 2 / \(\pi\) = tanh kh dimana H = 2A = tinggi gelombang

Kriteria breaking dari Miche adalah H / L = 0.142 tanh kh. Jadi bentuk kondisi breaking dari potensial aliran yang diperoleh adalah sama dengan kondisi breaking dari Miche. Yang terpenting dalam hal ini adalah bahwa pada potensial aliran terdapat fenomena breaking atau dengan kata lain persamaan potensial aliran dapat memodelkan breaking.

Pada Tabel (1) disajikan hasil perhitungan \(\gamma\), untuk gelombang dengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0.5 m, 0.6 m, 0.7 m dan 0.8 m. Terlihat bahwa harga \(\gamma\)berkurang seiring dengan berkurangnya kedalaman.

Pada kedalaman 1.5 m harga γ untuk gelombang dengan perioda 6 detik adalah disekitar 0.45-0.47, selanjutnya pada kedalaman 1 m, harga \(\gamma\) jadi tidak berpola, ada vang meniadi negatif, ada vang meniadi sangat besar. Dari kondisi ini maka dapat disimpulkan bahwa pada harga \(\gamma\) < 0.47 terjadi breaking. Karena itu pada penelitian ini, digunakan kriteria bahwa breaking terjadi pada saat harga \(\gamma < 0.47\). Setelah breaking gelombang tidak langsung menjadi stabil tetapi dapat terjadi breaking terus menerus. Karena itu pada saat \(\gamma\)< 0.47, maka harga \(\gamma\) diubah menjadi 0.47, yaitu harga pada kondisi kritis. Pada penelitian ini, setelah kondisi kritis tersebut amplitudo gelombang dapat membesar dengan sendirinya dan mengecil lagi sejiring dengan terjadinya shoaling yang selanjutnya akan diikuti dengan breaking berikutnya.

Tabel 1. Hasil perhitungan harga \(\gamma\)

Keterangan:

· kedalaman nerairan (m)

: harga g untuk amplitudo gelombang 0.x m.

8. Kesimpulan

Dari hasil ke 3 simulasi tersebut, dapat disimpulkan bahwa model bekerja seperti yang diharapkan yaitu dapat mensimulasikan refraksi-difraksi, shoaling dan breaking. Dibandingkan dengan hasil sebelumnya yaitu pada Hutahaean (2007c) maka perubahan tinggi gelombang menjelang dan sesudah breaking pada penelitian ini terlihat kontinu. Tetapi pada pemodelan breaking ini, seperti pada model sebelumnya, proses breaking masih belum otomatis, yaitu digunakan kriteria breaking dimana pada saat γ pada Persamaan (3) berharga kurang dari 0.47 maka harga γ diubah meniadi 0.47, dimana perlu diingat bahwa harga ini adalah untuk gelombang dengan perioda 6 detik, sedangkan untuk perioda gelombang yang lain diperoleh harga y yang lain. Jadi dari aspek pemodelan breaking, model masih mempunyai kendala.

Pada hasil refraksi-difraksi gelombang, dibandingkan dengan hasil sebelumnya, terlihat pola refraksidifraksi yang lebih jelas yaitu penyebaran energi gelombang pada teluk dan pengumpulan energi gelombang pada tanjung.

Telah diketahui bahwa pada saat gelombang mengalami breaking, terjadi arus sejajar pantai, atau dengan kata lain terjadi perubahan energi potensial gelombang menjadi energi kinetik. Transformasi energi potensial gelombang menjadi energi kinetik terdapat pada persamaan momentum. Karena itu salah satu kemungkinan penyebab keterbatasan model pada pemodelan breaking adalah dikarenakan kurang efisiennya transformasi energi pada persamaan momentum. Dengan demikian untuk pengembangan lebih lanjut perlu diteliti pengembangan pada persamaan momentum.