1. Pendahuluan
Penelitian ini adalah kelanjutan dari penelitian sebelumnya yang dilakukan penulis dalam mengembangkan model transformasi gelombang dari perairan dalam menuju perairan dangkal, dimana transformasi tersebut meliputi refraksi gelombang, yaitu pembelokan arah gelombang oleh kontur batimetri dasar perairan, difraksi yaitu penyebaran gelombang, shoaling yaitu pembesaran tinggi gelombang ketika gelombang bergerak menuju perairan yang lebih dangkal dan breaking atau gelombang pecah, dimana bagian yang paling mendapat perhatian dari penulis adalah pada pengembangan kemampuan model dalam mensimulasikan gelombang pecah.
Hutahaean (2007b), mengembangkan persamaan gelombang nonlinier dimana potensial aliran gelombang mengandung fenomena breaking. Berdasarkan persamaan ini maka dikembangkan persamaan gelombang nonlinier pada dasar perairan
miring, dengan menggunakan metoda dan persamaan dasar yang sama dan diaplikasikan pada pemodelan refraksi gelombang dengan menggunakan persamaan refraksi dari Noda, Hutahaean (2007c). Model refraksi gelombang yang dihasilkan dapat memodelkan breaking, dengan sejumlah keterbatasan antara lain breaking yang terjadi hanya satu kali, dan perubahan tingi gelombang kurang kontinu. Meskipun breaking adalah suatu peristiwa yang cepat, tetapi perubahan tinggi gelombang tetap kontinu.
Selanjutnya, dalam usaha memperbaiki fenomena breaking pada model, Hutahaean (2008a) mengembangkan suatu persamaan gelombang nonlinier dengan merumuskan dan mengerjakan persamaan keseimbangan momentum dimana pada persaman ini terdapat suatu koefisien yang disebut dengan koefisien momentum. Pada penelitian tersebut digunakan koefisien momentum berharga satu, namun demikian persamaan gelombang nonliier yang dihasilkan membaik pada fenomena breaking- nya.
Hutahaean (2008b) memperbaiki koefisien momentum pendekatan mengggunakan Dean (1984)gelombang paniang dari menggunakan persamaan keseimbangan momentum tersbut untuk merumuskan persamaan momentum arah vertikal-z dan mengaplikasikannya pada persamaan gelombang panjang dari Airy yang disempurnakan vang dikembangkan oleh Hutahaean (2005) dan (2007a), dan didapatkan perbaikan pada model gelombang panjang tersebut. Dari hal ini maka dikembangkan persamaan gelombang nonlinier dengan mengerjakan persamaan keseimbangan momentum dengan koefisien momentum dirumuskan berdasarkan persamaan gelombang nonlinier. Penyempurnaan lainnya pada perumusan persamaan gelombang nonlinier adalah dengan mengerjakan persamaan kekekalan energi.
Pada Hutahaean (2008c), dikembangkan persamaan refraksi-difraksi dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan persamaan momentum serta dengan menggunakan persamaan gelombang nonlinier seperti yang digunakan pada model refraksi pada Hutahaean (2007c). Pada model ini terdapat perbaikan pada hasil breaking-nya vaitu terlihat perubahan gelombang yang kontinu, tetapi fenomena breaking berulang hanya muncul pada satu kasus saja, meskipun digunakan gelombang dengan perioda dan amplitudo vang sama. Pada penelitian ini pengembangan pada persamaan refraksi-difraksi dilakukan dengan mengerjakan persamaan kekekalan energi. Jadi terdapat dua pengembangan baru pada penelitian ini yaitu pada perumusan persamaan gelombangnya dan persamaan refraksi-difraksi-nya.
2. Perumusan Persamaan Gelombang Nonliner
2.1 Perhitungan bilangan gelombang k
Perhitungan bilangan gelombang k, dilakukan dengan menggunakan analisis satu dimensi untuk gelombang yang bergerak pada arah sumbu-\(\xi\), dengan sistem sumbu seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Sistem sumbu yang digunakan
2.1.1 Persamaan potensial aliran
Potensial aliran gelombang yang bergerak pada arah sumbu-\(\xi\), berdasarkan Hutahaean (2007c) dan (2008a)
\[\phi = Ge^{kh} \beta(z) \cos kx \sin \sigma t\] \[\beta(z) = \alpha e^{k(h+z)} + e^{-k(h+z)} ; \beta_1(z) = \alpha e^{k(h+z)} - e^{k(h+z)}\] (2)
\[\beta(\eta) = \alpha e^{k(h+\eta)} + e^{-k(h+\eta)} \; ; \; \beta_1(\eta) = \alpha e^{k(h+\eta)} - e^{-k(h+\eta)}\] (3)
\[\alpha = \frac{I + \frac{\partial h}{\partial \xi}}{I - \frac{\partial h}{\partial \xi}} \tag{4}\]
\(k = \text{bilangan gelombang}, h = \text{kedalaman perairan}, \sigma =\)frekuensi sudut = \(2\pi / T\) dan T = perioda gelombang, \(\xi\)= sumbu horisontal dan z = sumbu vertikal. Pada persamaan potencial aliran tersebut terdapat kendala vaitu
\[\frac{\partial h}{\partial \xi} = 1\], maka \(\alpha = \sim\).
2.1.2 Persamaan untuk menghitung gelombang k
Untuk menghitung bilangan gelombang k dikerjakan persamaan momentum vang terbatas, Hutahaean (2008a) dan (2008b), vaitu:
\[\left(-\frac{\partial}{\partial \xi} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \xi} \left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) = -\frac{g}{2} \frac{\partial \eta}{\partial \xi} - \left(-\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \phi_{\eta}}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial z} \left(u_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) \frac{1}{2c_{\eta}} \tag{5}\]
Dimana u adalah kecepatan horisontal pada arah-\(\xi\), wadalah kecepatan vertikal-z sedangkan \(\eta\) adalah persamaan fluktuasi muka air terhadap muka air diam. Koefisien momentum \(c_u\) adalah:
\[c_u=\frac{w_\eta}{u_\eta}\] Substitusi \(u=-\frac{\partial\phi}{\partial\xi}\) dan \(w=-\frac{\partial\phi}{\partial z}\)
dengan potensial aliran \(\phi\) dari Persamaan (1) kepersamaan momentum, akan terdapat variabel \(k, G, \partial\)\(G / \partial \xi\) dan \(\partial G / \partial t\). Pada suku \(\partial G / \partial \xi\) akan terdapat suku ∂η / ∂ξ, selain itu pada persamaan momentum itu sendiri terdapat variabel kemiringan muka air \(\partial \eta / \partial \xi\). Yang terakhir adalah bahwa pada suku ∂G / ∂t akan
terdapat variabel \(\partial \eta / \partial t\). Jadi terdapat 5 buah fungsi yang perlu dirumuskan sebelum dapat melakukan perhitungan bilangan gelombang k, yaitu G, \(\partial G / \partial \xi\), \(\partial G / \partial t\), \(\partial \eta / \partial \xi\), dan \(\partial \eta / \partial t\).
2.1.3 Formulasi G dan \(\partial G / \partial \xi\)
Persamaan untuk G dan \(\partial G / \partial \xi\) dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, Hutahaean (2007b) (2007c) dan Hutahaean (2008a). Persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman adalah:
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial \xi} \int_{-h}^{\eta} u \, dz = 0\]
Substitusi \(u=-\frac{\partial \phi}{\partial \xi}\) dan persamaan muka air dari teori gelombang linier yaitu \(\eta = A\cos k\xi \cos \sigma t\) dan persamaan dikerjakan pada suatu kondisi dimana:
\[\cos k\xi = \sin k\xi = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2}\sqrt{2}\], diperoleh persamaan untuk G yaitu:
\[G = \frac{\sigma A}{e^{kh} F} \tag{6}\]
\[F = \left(B_1 k + \frac{\partial B_1}{\partial \xi} + (2B_1 + B_2)k \frac{\partial h}{\partial \xi}\right)\] \[\int_{1}^{\eta} \beta(z) dz = \frac{\beta_1(\eta) - (\alpha - 1)}{k} = \frac{B_1}{k}\] (7)
\[B_1 = \beta_I(\eta) - (\alpha - 1)\] \[\int_1^{\eta} \beta_I(z) dz = \frac{\beta(\eta) - (\alpha + 1)}{k} = \frac{B_2}{k}\] (8)
\[B_2 = \beta(\eta) - (\alpha + 1) \tag{9}\]
Persamaan untuk \(\partial G\) / \(\partial \xi\) diperoleh dengan menurunkan persamaan untuk G, yaitu Persamaan (6).
\[\frac{\partial G}{\partial \xi} = -\frac{\sigma A \left( F k \frac{\partial h}{\partial \xi} + \frac{\partial F}{\partial \xi} \right)}{e^{kh} F^2} \tag{10}\]
Pada persamaan untuk G, Persamaan (6), terdapat kandungan fenomena breaking yaitu pada harga \(F \rightarrow 0\). Penjelasan kandungan breaking pada persamaan tersebut secara lengkap dapat dilihat pada Hutahaean (2007b), (2007b) dan (2008a).
2.1.4 Formulasi persamaan untuk ∂η/∂t dan ∂η/∂ξ
Persamaan untuk \(\partial \eta / \partial t\) dan \(\partial \eta / \partial \xi\) diperoleh dengan menggunakan persamaan muka air dari Hutahaean (2005) dan (2007a), yang merupakan superposisi antara persamaan kekekalan masa atau persamaan kontinuitas dengan persamaan kekekalan energi. Dengan metoda ini maka terdapat interaksi antara persamaan kontinuitas dan persamaan kekekalan energi dengan persamaan momentum. Persamaan muka air tersebut adalah:
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \xi} \int_{-h}^{\eta} u \, dz + \int_{-h}^{\eta} \left( \frac{\partial E_{k\xi}}{\partial t} + \frac{\partial E_{kz}}{\partial t} + \frac{\partial u E_{k\xi}}{\partial \xi} + \frac{\partial w E_{kz}}{\partial z} \right) dz = 0\]
Pada penelitian ini dilakukan pengembangan yaitu persamaan muka air menjadi:
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \xi} \int_{-h}^{\eta} u \, dz + \int_{-h}^{\eta} \left( \frac{\partial E_k}{\partial t} + \frac{\partial u E_k}{\partial \xi} + \frac{\partial w E_k}{\partial z} \right)\] \[dz = 0\] (11)
Persamaan (11) dapat ditulis menjadi persamaan untuk \(\partial \eta / \partial t\) yaitu,
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial \xi} \int_{-h}^{\eta} u \, dz - \int_{-h}^{\eta} \left( \frac{\partial E_k}{\partial t} + \frac{\partial u E_k}{\partial \xi} + \frac{\partial w E_k}{\partial z} \right) dz\] (12)
\[\mathrm{dimana}\,E_{\scriptscriptstyle k}=E_{\scriptscriptstyle k\xi}+E_{\scriptscriptstyle kz}\,,\,\,E_{\scriptscriptstyle k\xi}=\frac{u^2}{2g}\,\,,\,\,\mathrm{adalah\,\,energi}\]
kinetik dari kecepatan u, sedangkan energi kinetik dari kecepatan vertikal w adalah:
\[E_{{\it k}z}=\frac{w^2}{2g}\] . Substitusi \(u=-\frac{\partial \phi}{\partial \xi}\) dan \(w=-\frac{\partial \phi}{\partial z}\)
ke Persamaan (12), diperoleh persamaan untuk \(\partial \eta / \partial t\) yang merupakan fungsi dari k, G dan \(\partial G / \partial \xi\) dimana persamaan ini digunakan untuk mensubstitusi suku \(\partial \eta / \partial t\) pada persamaan momentum.
Bila Persamaan (11) diintegrasikan terhadap waktu, diperoleh persamaan muka air \(\eta(\xi,t)\). Selanjutnya dengan menurunkan persamaan muka air tersebut terhadap \(\xi\) diperoleh persamaan kemiringan muka air \(\partial \eta / \partial \xi\) yang juga merupakan fungsi dari k, G dan \(\partial G / \partial \xi\). Pemakaian persamaan kemiringan muka air ini adalah untuk mensubstitusi suku \(\partial \eta / \partial \xi\) pada persamaan momentum.
Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan untuk
\[G, \frac{\partial G}{\partial \xi}, \frac{\partial G}{\partial t}, \frac{\partial \eta}{\partial \xi}, \operatorname{dan} \frac{\partial \eta}{\partial t} \operatorname{dimana} \frac{\partial G}{\partial t} \operatorname{diperoleh}\] dengan menurunkan Persamaan (6) terhadap waktu t, kepersamaan momentum, Persamaan (5), maka diperoleh persamaan nonlinier untuk bilangan gelombang k yang dapat diselesaikan dengan metoda iterasi dari Newton-Rhapson.
3. Persamaan Arah Gelombang
Persamaan potensial aliran untuk gelombang yang bergerak pada arah sumbu x dapat diperoleh dari persamaan potensial aliran untuk gelombang bergerak pada arah sumbu \(\xi\) yang membentuk sudut sebesar \(\theta\) dengan sumbu-x seperti terlihat pada Gambar (1).
Persamaan potensial aliran yang bergerak pada arah sumbu \(\xi\)adalah diberikan oleh Persamaan (1), yaitu k \(\phi = Ge^{kh}\beta(z)\)\(cosk\xi sin\sigma t\). Untuk sumbu \(\xi\) yang membentuk sudut sebesar \(\theta\) terhadap sumbu-x, maka berlaku persamaan \(\xi = x\cos\theta +\)\(vsin\theta\). Dengan relasi ini persamaan potensial aliran untuk gelombang yang bergerak pada bidang x-y adalah:
\[\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos k(x\cos\theta + y\sin\theta)\sin\sigma t\] atau
\[\phi = Ge^{kh}\beta(z)\cos(k_x x + k_y y)\sin\sigma t \tag{13}\]
dimana \[k_x = k \cos \theta \, dan \, k_y = k \sin \theta\]
gelombang diperoleh Persamaan arah mensubstitusikan persamaan potensial Persamaan (13) kepersamaan muka air untuk aliran yang bergerak pada arah x-y, yang merupakan superposisi antara persamaan kontinuitas dengan persamaan kekekalan energi,
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz + \int_{-h}^{\eta} \left( \frac{\partial E_k}{\partial t} + \frac{\partial u E_k}{\partial x} + \frac{\partial v E_k}{\partial y} + \frac{\partial w E_k}{\partial z} \right) dz = 0 \quad (14)\]
Persamaan (14) tersebut adalah merupakan pengembangan dari Hutahaen (2005) dan (2007a), dimana:
\[E_k = E_{kx} + E_{ky} + E_{kz}\], \(E_{kx} = \frac{u^2}{2g}\), \(E_{ky} = \frac{v^2}{2g}\) dan
\[E_{\mathbf{k}\mathbf{z}} = \frac{w^2}{2g}\] · Harga \(\frac{\partial \eta}{\partial t}\) didekati dengan persamaan
muka air dari teori gelombang linier yaitu \(\eta = A\cos k\xi\)cos σt, sehingga diperoleh:
\[\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\sigma A}{2} \cdot \text{Substitusi } u = -\frac{\partial \phi}{\partial x} \ v = -\frac{\partial \phi}{\partial y} \ ,\]
\[w = -\frac{\partial \phi}{\partial z}\] dan dengan menyelesaikan integrasi serta dengan mengambil kondisi \(\cos(k_x x + k_y y) =\)
\[\sin(k_x x + k_y y) = \cos \sigma t = \sin \sigma t = \frac{1}{2} \sqrt{2}\]
diperoleh persamaan arah gelombang adalah:
\[a_{11} \frac{\partial(\cos\theta)}{\partial x} + a_{12} \frac{\partial(\sin\theta)}{\partial y} = b_1\] (15)
Harga G dan k pada persamaan arah gelombang ini diperoleh dari analisis satu dimensi. Pada persamaan arah gelombang ini terdapat suku yang mengandung \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\). Harga kedua besaran ini diperoleh dari persamaan momentum yang akan dibahas pada bagian berikut.
4. Persamaan untuk \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\)
4.1. Persamaan momentum fluida ideal
Persamaan momentum terbatas fluida ideal adalah, Hutahaean (2008a) adalah,
4.1.1 Momentum-x yang terbatas
\[\left(-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) + \\ \left(-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right)\frac{c_{v}}{2c_{u}} + \\ \left(-\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right)\frac{1}{2c_{u}} = -\frac{g}{2}\frac{\partial\eta}{\partial x}\] (16)
4.1.2 Momentum-y yang terbatas
\[\left(-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right)\frac{c_{u}}{2c_{v}} + \left(-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right) + \left(-\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z}\left(u_{\eta}^{2} + v_{\eta}^{2} + w_{\eta}^{2}\right)\right)\frac{1}{2c_{v}} = -\frac{g}{2}\frac{\partial\eta}{\partial y} \tag{17}\]
Dimana \(C_u\) dan \(C_v\) disebut dengan koefisien momentum yang berharga
\[c_u = \frac{w_\eta}{u_n} \text{ dan } c_v = \frac{w_\eta}{v_n} .\]
Dari Persamaan (16) dan (17) tersebut akan diperoleh 2 persamaan simultan untuk \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\).
\[a_{11}\frac{\partial G}{\partial x} + a_{12}\frac{\partial G}{\partial v} = b_1 \tag{18}\]
Dengan cara yang sama dikerjakan pada Persamaan (17), diperoleh:
\[a_{21}\frac{\partial G}{\partial x} + a_{22}\frac{\partial G}{\partial y} = b_2 \tag{19}\]
Dari kedua persamaan ini dapat diperoleh harga-harga \(\partial G / \partial x\) dan \(\partial G / \partial y\).
5. Persamaan Amplitudo Gelombang
Persamaan amplitudo gelombang dirumuskan dari persamaan muka air, yaitu Persamaan (14). Persamaan diintegrasikan terhadap waktu t diperoleh persamaan muka air \(\eta = \eta(x,y,t)\) Pada integrasi terhadap waktu tersebut akan terdapat suatu konstanta c(t), dimana berdasarkan Dean (1984) dapat diambil c(t) = 0 Persaman muka air dikerjakan pada kondisi \(cos(k_xx)\)
\[\frac{1}{2}\sqrt{2}\], yaitu kondisi perumusan berbagai persamaan, maka diperoleh statu harga elevasi muka air \(\eta\), dimana pada kondisi ini
\[\eta = \frac{A}{2} \text{ dan } A = 2\eta\]
6. Metoda Perhitungan
Perhitungan \(\theta\) dan A pada suatu titik dilakukan dengan metoda selisih hingga dan integrasi, dengan pengerjaan secara iterasi. Penjelasan lengkap mengenai metoda perhitungan ini dapat dilihat pada Hutahaean (2007c).
7. Contoh Hasil Model
Untuk meninjau hasil model, maka model dikerjakan pada sejumlah konfigurasi batimetri pantai. Gelombang yang digunakan adalah gelombang dengan perioda 6 detik dengan amplitudo gelombang \(A_0=1.8\) m. Simulasi dilakukan pada suatu batimetri yang membentuk teluk, tanjung dan pulau tenggelam. Pada ke 3 hasil simulasi tersebut terlihat bahwa model yang dikembangkan dapat mensimulasikan peristiwa refraksi-difraksi, shoaling dan breaking, dimana breaking yang terjadi adalah berupa multi breaking yaitu breaking-shoaling-braking.
(a) Batimetri berkonfigurasi teluk
(b) Kontur tinggi gelombang pada teluk
(c) Tinggi gelombang pada teluk
Gambar 2. Hasil simulasi refraksi-difraksi pada teluk (a, b, c)
(a) Batimetri berkonfigurasi tanjung
(b) Kontur tinggi gelombang pada tanjung
(c) Tinggi gelombang pada tanjung
Gambar 3. Hasil simulasi refraksi-difraksi pada tanjung (a, b, c)
(a) Batimetri berkonfigurasi pulau tenggelam
(b) Kontur tinggi gelombang pada pulau tenggelam
(c) Tinggi gelombang pada pulau tenggelam
Gambar 4. Hasil simulasi Refraksi-difraksi pada pulau tenggelam (a,b,c)
8. Kesimpulan
Seperti telah ditunjukkan pada hasil model yaitu bahwa model dapat memberikan breaking ganda, yaitu breaking-shoaling-breaking, dimana hal ini merupakan suatu perkembangan dari model-model sebelumnya. Namun terdapat kendala pada model ini, yaitu bahwa konvergensi iterasi bilangan gelombang sangat lambat pada kemiringan besar dimana pada kemiringan batimetri lebih dari 0.18 tidak dapat dicapai konvergensi.
Perkembangan penting yang diharapkan yaitu terjadinya breaking secara otomatis tidak didapatkan dimana pada model ini dikerjakan kriteria breaking yaitu pada saat harga F pada Persamaan (7) kurang dari 1.8, maka dipaksa F berharga 1.8 dimana harga ini hanya untuk perioda gelombang 6 detik, harga ini diperoleh dengan mengamati fenomena breaking pada persamaan dispersi, karena itu masih diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mendapatkan model yang dapat memodelkan breaking secara otomatis dengan kemungkinan perbaikan pada persamaan untuk G maupun F.